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专题04 指数函数、对数函数及幂函数
目 录
题型一：指数运算及指数函数
易错点01 对根式性质理解不到位出错
易错点02 忽略底数对指数函数性质的影响
题型二 对数运算及对数函数
易错点03 忽视对数式成立的条件而出错
易错点04 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错点05 利用换元法求值域遗忘范围
题型三 幂函数
易错点05 错判幂函数的性质
题型一：指数运算及指数函数
易错点01：对根式性质理解不到位出错
典例 （24-25 高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（ ）
49
①
的平方根为7；②
；③
；④
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49 的平方根是
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
1
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，故④错误．
故选:A．
【易错剖析】
本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为
，
成立而误选C.
【避错攻略】
1.根式的概念
一般地,如果
,那么
叫做
的
次方根,其中
,且
.
（1）当
是奇数时,正数的
次方根是一个正数,负数的
次方根是一个负数,这时,
的
次方根用符号
表示.
（2）当
是偶数时,正数
的
次方根有两个,记为
,负数没有偶次方根.
（3）0 的任何次方根都是0,记作
.
式子
叫做根式,其中
,且
叫做根指数,
叫做被开方数.
2.根式的性质
根据
次方根的意义,可以得到:
（1）
.（2）当
是奇数时,
;当
是偶数时,
3．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义
易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取
值范围不同，如
中当
为奇数时,
为偶数时,
，另外根式的化简结果也不同；
(2) 分数指数幂
中的
不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
2
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1．（2024·河南·三模）若
，则化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【详解】由
，
，
可知，
.
故选：B
2．（2025 高一·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．当
为奇数时，
；当
为偶数时，
【答案】D
【分析】当
为奇数时，
；当
为偶数时，
，即可求解.
【详解】当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
.
故选：D
3．（24-25 高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3
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【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】对于A 选项：
，
，故A 错误；
对于B 选项：
，故B 错误；
对于C 选项：
，故C 正确；
对于D 选项：当
时，
，而当
时，
没有意义，故D 错误.
故选：C
1．（23-24 高一上·北京延庆·期末）
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
2．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）将
写成分数指数幂的形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.
【详解】将
写成分数指数幂的形式为
.
故选：B.
3．（23-24 高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
【答案】D
【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案．
【详解】对于A 选项，
，故A 错误；
对于B 选项，
，故B 错误；
对于C 选项，当
时，
，当
时，
，故C 错误；
对于D 选项，
，故D 正确．
故选：D．
4．（23-24 高三上·广东中山·阶段练习）设
，将
表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C
5．（24-25 高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【答案】BD
【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得.
【详解】对A：当
为偶数时，
，故
不一定成立，故A 错误；
5
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对B：
，故
，故B 正确；
对C：显然不成立，如当
时，左边为
，右边为
，故C 错误；
对D：
，故D 正确.
故选：BD.
6．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可.
【详解】
，故A 错误.
指数幂性质，知道
，B 正确；
对数运算性质，知道
，C 错误；
换底公式逆用，知道
,D 正确.
故选：BD.
7．（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式
有意义，则
．
【答案】1
【分析】由二次根式有意义得到
的取值范围，化简所求代数值，由
的取值范围去掉绝对值符号即可得
到解.
【详解】由题意可知：
，∴
6
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∴
故答案为：1
8．（2023 高三·全国·专题练习）（多选）
的值为 ．
【答案】
【分析】利用根式的性质进行化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：.
易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响
典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数
在
上的最大值为
，则
（）
A．
或3
B．
或2
C．3
D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得
，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为
是奇函数，所以
，所以
．
即
，则
，解得
，
经检验
符合题意，所以
，
当
时，
，
则函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以，
，整理得
，
7
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解得
或
(舍去)，所以
；
当
时，
，
则函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
所以，
，整理得
，
解得
或
(舍去)，所以
，
综上，
或3．
故选：A．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a 进行讨论而漏解.
【避错攻略】
1 指数函数的概念
一般地，函数y=ax(a>0,
a
且≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，底数a 是一个大于0 且不等
于1 的常量，定义域是
.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定
是因为：
①若
，则
（恒等于1）没有研究价值；
②若
，则
时，
（恒等于0），而当
时，
无意义；
③若
，则
中
为偶数，
为奇数时，
无意义.
④只有当
或
时，即
，
可以是任意实数.
2 底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数a 与1 的大小关系决定了指数函数y=ax(a>0
a
且≠1)图象的“升”与“降”.
①当a>1 时，指数函数的图象是“上升”的，且当x>0 时，底数a 的值越大，函数的图象越
“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当0<a<1 时，指数函数的图象是“下降”的，且当x<0 时，底数a 的值越小，函数的图象越
8
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“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数a 的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1 还是0<a<1 ，底数越大，在第一
象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数a 的大小决定了图象相对位置的高低；
在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1 的大小关系.
1．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）若函数
且
在
上的最小值与最大值的和为3，
则函数
在
上的最大值是 .
【答案】
【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出
值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值.
【详解】当
时，
在[0,1]上为增函数，
则
，解得
；
当
时，
在[0,1]上为减函数，
则
，解得
（舍去）；
于是函数
，显然在
上为增函数，
故当
时，
.
故答案为：.
2．已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【详解】由
且
，得
为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得
，
又
，解得
．
故选：C．
3．函数
在区间
上的最小值是
，则
的值是 .
【答案】
或
【详解】令
，则
，其对称轴为
，
当
时，因为
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，
所以当
时，
，解得
，
当
时，因为
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，
所以当
时，
，解得
.
综上，所以
或
.
故答案为：
或
10
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1．函数y =a
x−2（a>0且a≠1,−1≤x ≤1）的值域是[−5
3 ,1]，则实数a=（ ）
A．3
B．1
3
C．3 或1
3
D．2
3或3
2
【答案】C
【分析】由指数函数的性质分别对0<a<1和a>1的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到
答案.
【详解】函数y =a
x−2（a>0且a≠1,−1≤x ≤1）的值域为[−5
3 ,1]，
又由指数函数的单调性可知，
当0<a<1时，函数y =a
x−2在[−1,1]上单调递减，值域是[a−2,a
−1−2]
所以有¿，即 ¿，解得a= 1
3；
当a>1时，函数y =a
x−2在[−1,1]上单调递增，值域是[a
−1−2,a−2]
所以有¿，即 ¿，解得a=3.
综上所述，a= 1
3或a=3.
故选：C.
2．（23-24 高三上·北京海淀·阶段练习）已知
且
，函数
，若函数
在区
间
上的最大值比最小值大
，则a 的值为（ ）
A．
或2
B．
或2
C．2 或
D．
或
【答案】D
【分析】按照
与1 的大小进行分类讨论，求出函数
在
上的最值，从而可得
的值.
【详解】①当
时，函数
在
上是减函数，在
上也是减函数.
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∵
，∴函数的最大值为
，而
，∴函数
的最小值
为
，
∴
，解得
，符合题意.
②当
时，函数
在
上是增函数，在
上是减函数.
∵
，
∴函数
的最大值为
，而
，
，
当
时，
，此时函数
的最小值为
，因此有
，无解；
当
时，
，此时函数
的最小值为
，因此有
，解得
，
符合题意.
综上所述，实数
的值为
或
.
故选：D
3．（23-24 高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数
(
且
)，若
存
在最小值，则实数
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过对参数
分类讨论，研究
在
和
的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】由题意，不妨令
，
；
，
，
①当
时，
在
上单调递减，
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在
上单调递减，易知
在
上的值域为
，
又因为
存在最小值，只需
，解得，
，
又由
，从而
；
②当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
又因为
存在最小值，故
，
即
，解得，
，这与
矛盾；
③当
时，
，易知
的值域为
，显然
无最小值；
④当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递增，从而
无
最小值.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：A.
5．（23-24 高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数
在
上的最大值与最小值之差为2，
则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】分
和
两种情况，根据题意列方程求解即可.
【详解】当
时，
单调递减，
所以，
，即
，解得
（负根已舍弃）；
当
时，
单调递增，
所以，
，即
，解得
（不符合条件的根已舍弃）.
13
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综上，实数
的值为
或
.
故选：BD
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
（
且
）在区间
上的最大值是16，求实
数
的值；
【答案】
或
.
【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得.
【分析】当
时，函数
在
上单调递减，
，因此
；
当
时，函数
在
上单调递增，
，因此
，
所以实数
的值为
或2.
7．（2024 高三下·全国·专题练习）函数
（a>0，且
）在
上的最大值为13，求
实数a 的值.
【答案】3 或
【分析】令
，讨论
或
，求出t 的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵
令
，则
，
则
，其对称轴为
.
该二次函数在
上是增函数.
①若
，由
，得
，
故当
，即
时，
，解得
(
舍去).
②若
，由
，可得
，
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故当
，即
时，
.
∴
或
(舍去).
综上可得
或
.
8．（21-22 高一上·河北·阶段练习）已知函数
且
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
在
上的最大值为
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
或.
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断
是奇函数，再由
即可求解；
（2）讨论
和
时，函数
在
上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得
的值.
【详解】（1）因为
的定义域为
关于原点对称，
，
所以
为奇函数，故
.
（2）
，
若
，则
单调递减，
单调递增，
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可得
为减函数，
当
时，
，
解得：
，符合题意；
若
，则
单调递增，
单调递减，
可得
为增函数，
当
时，
解得：
，符合题意，
综上所述：
的值为
或.
9．（23-24 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数
且
.
(1)若
，求函数
的最小值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）换元令
，可得
，结合二次函数即可得最小值；
（2）换元令
，可得
恒成立，结合
运算求解.
【详解】（1）若
，则
，
令
，
故原式化为
，
若
时，可知
在
上单调递增，
16
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可知
在
上单调递增，可知
；
若
时，可知
在
上单调递减，
可知
在
上单调递减，可知
；
综上所述：
，
可知当
时，
取到最小值为1.
（2）因为
，
设
，
由题意得即
恒成立，即
恒成立，
且
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
题型二 对数运算及对数函数
易错点03：忽略对数式成立的条件而出错
典例 （24-25 高三上·山西太原·期中）已知函数
（
，
）的图象经过点
，则不
等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得
，则
，解得
，
由函数
在
上单调递减，
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则
，可得
，解得
，
故答案为：
.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉
这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1．对数的定义
一般地，如果
且
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，其中
叫做对数的底数，
叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数，记为
.在科学技术中常使用以无理数
为底的对数，以
为底的对数称为自然对数，并记为
.
3．指数与对数的互化
当
时，
.
4．对数的性质
（1）
；（2）
；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果
，且
，那么：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
易错提醒：基于对数式
，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0 且a≠1,真数
N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
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1．（24-25 高一上·广东广州·期中）（1）已知
，求
的值；
【答案】4
【分析】根据方程可得
，并结合对数的定义取舍；
【详解】（1）因为
，可得
，解得
或
，
又因为
且
，可得
且
，
综上所述：
；
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）若
，则实数x 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x 的取值范围.
【详解】
，解得
，
故实数x 的取值范围为
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）若
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解两个不等式，分别得到
和
，根据真包含关系，得到
是
的充分不必要条件.
【详解】
，故
，解得
，
，解得
，
因为
是
的真子集，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A
1．（2025·广东·模拟预测）若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．9
D．16
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【答案】D
【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.
【详解】因为
，所以
，
故得
，化简得
，
所以
，故
，故D 正确.
故选：D.
2．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质化简集合
，即可由并集的定义求解.
【详解】由
，则
，所以
，
所以
，
故选：C
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由对数及运算性质可得
，
，再由基本不等式即可求解.
【详解】
，所以
，且
，
所以
，即
，
，
20
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当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：
.
4．（2024·广东广州·模拟预测）若
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断.
【详解】因为
在
上单调递增，
由
可得
，即
，所以
，
但无法保证
，故
不一定成立，充分性不满足；
由
可得
，所以
一定成立，故必要性满足；
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
5．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数
，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知
为定义在R上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即
可.
【详解】由题意可知：
的定义域为R，且
，
21
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可知
为定义在R上的奇函数，
且当
，则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，所以
在R上单调递增，
因为
，则
，
可得
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：B.
6．（24-25 高三上·湖北·期中）若关于
的函数
的定义域为
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义域为实数集，转化为
且
恒成立，
结合二次不等式恒成立求解即可.
【详解】由题意，
，且对任意
，
，①
且
，②
对于①，
，结合
，得
.
若
，由②知对任意
，矛盾；
若
，由②知对任意
，即
，
则
，得
，
22
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综上，当
时，对任意
，①②同时成立.
故选：C
7．（24-25 高三上·上海闵行·期中）设
，若
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可；
【详解】因为
，所以函数
为减函数，
又
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
8．（23-24 高三下·上海·阶段练习）方程
的解是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算法则计算可得.
【详解】由方程
，可得
，
，解得
.
故答案为：
9．（24-25 高三上·河南·期中）已知函数
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)求满足
的x 的取值范围.
【答案】(1)
23
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(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先求出函数
的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数
为奇函数，所以f (−x)=−f (x)，
则
，
即
，
则
.
（2）由（1）知，
，
由
，解得
，即函数
的定义域为
，
由
，
，
即
，
即
，
即
，
则
，解得
，
又
，则
，
即x 的取值范围为(0,1).
易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
典例（24-25 高三上·辽宁大连·期中）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
24
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【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数
，令
，即
，解得
或
，
所以
的定义域为
，
又
在定义域上单调递增，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的单调递增区间为
.
故选：C
【易错剖析】
本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函
数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【避错攻略】
1.复合型函数单调性规律
若函数
在
内单调，
在
内单调，且集合
.
(1)若
是增函数，
是增(减)函数，则
是增(减)函数
(2)若
是减函数，
是增(减)函数，则
是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为
，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数
的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单
调性的影响；（2）树立定义域优先的思想.
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1．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数
，因为
，解得
．
所以函数
的定义域为
，且
，
．
因为函数
在区间
上单调递增，
在区间(1,2)上单调递减，函数
单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数
在区间
上单调递增，
在区间(1,2)上单调递减,
故选：A
2．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知关于
的函数
在
上单调递增，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间
上单调递减且函数值
一定为正，建立不等式组，求得
的取值范围.
【详解】令
，
则
，∵
，∴
在
上单调递减，
由复合函数的单调性可知，在
单调递减，
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∴
，则
，
∴
故选：D
3．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间.
【详解】由
，解得
或
，
所以
的定义域为
.
函数
在
上单调递增，
的开口向上，对称轴为
，
根据复合函数单调性同增异减可知
的单调递增区间是
.
故答案为：
1．（24-25 高三上·北京房山·期中）已知函数
，下列说法错误的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的图象关于
轴对称
C．
的图象关于原点对称
D．
在
上单调递增
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.
【详解】函数
，则
，即
，解得
，
所以函数的定义域为
，故A 正确；
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又
，
所以
的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B 错误，C 正确；
因为
，又
在
上单调递增，
在定义域
上单调递增，所以
在
上单调递增，故D 正确.
故选：B
2．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
，则“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数
在
上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义
判断即得.
【详解】由函数
在
上单调递增，得
，解得
，
充分性，当“
”时，函数
在
上不一定单调递增，故充分性不成立，
必要性，函数
在
上单调递增，则
，故必要性成立，
则“
”是“函数
在
上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解．
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【详解】解：由
，可得
，
则函数
的定义域为
，
又
，
在
上单调递减，
在
上单调递减，
则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为
．
故选：A．
4．（24-25 高三上·江苏常州·期中）已知函数
（
，且
）.
，使得
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
在
单调递减，
时，
, 即
,
另外，0<a<1时，
单调递减，
在
单调递增，
综上所述，
的取值范围是
.
故选：A
5．（2024·海南·模拟预测）已知
且
，若函数
与
在
上的
单调性相同，则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由题意知
在
上只能是单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
得
.
又
单调递增，所以
.
综上得
.
故选：C
6．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数
，以下说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
在区间
单调递增
D．
在区间
单调递减
【答案】BC
【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B 的正误；
根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B 的正误.
【详解】由
，则
，当
时，等号成立，则
的定义域为
，
为偶函数，故A 错误，B 正确；
当
时，函数
且单调递增，函数
且单调递增，函数
单调递增，
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函数
在
单调递增，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
7．（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据对数函数性质分析可知：
在
上单调递增，且g(x)>0，结合二次函
数列式求解即可.
【详解】因为
在定义域(0,+ ∞)内单调递增，
由题意可得：
在
上单调递增，且g(x)>0，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
8．（24-25 高三上·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)证明：
是周期函数；
(2)求
的单调递增区间.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
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【分析】（1）由辅助角公式可得
，利用三角函数周期性即可证明得出结论；
（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.
【详解】（1）由
可得
；
易知
，
所以
，
即可知
是以
为周期的周期函数
（2）由复合函数单调性可知求得
的单调递增区间即可；
易知
恒成立，可得函数
的定义域为
；
因此只需
，解得
；
即
的单调递增区间为
.
9．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数
，且
.
(1)若
，求函数
的单调递增区间；
(2)若函数
的最小值为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案；
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（2）令
，分
和
两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，解得
，
即函数的定义域为
，
，
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
在定义域上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
即得
的单调递增区间为
；
（2）由（1）令
，则
，
，
当
时，函数
在
上单调递增，函数不存在最小值，故舍去；
当
时，函数
在
上单调递减，
，
所以
，解得
，符合题意，故
.
易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围
典例 （24-25 高三上·河南焦作·阶段练习）若函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】根据对数的单调性可得
，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数
在
上单调递增，
又
，
，故
，
令
，
而函数
在
上单调递增，则
，
所以函数
的值域为
.
故选：D.
【易错剖析】
本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.
【避错攻略】
1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域
借助换元法：令
，将求原函数的值域转化为求
的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如
（
，且
）的函数求值域
借助换元法：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值
域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域
借助换元法：令
，先求出
的值域
，再利用
在
上的单调性，再求
出
的值域。
（2）形如
（
，且
）的函数的值域
借助换元法：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域。
易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范
围变大而出错.
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1．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据函数的解析式可判断A；求出
的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据
复合函数的单调性可判断CD.
【详解】对于A，函数
的定义域为R，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
故函数
的值域为
，故B 正确；
对于CD，因为
在R 上是减函数，
在
上是减函数，在
上是增函数，
所以函数
在
上单调递减，C 错误，D 正确.
故选：ABD.
2．（2024·上海·模拟预测）函数
的最小值为 .
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【答案】
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为
，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
当
，即
时，
取到最小值，且
.
故答案为：
3．（22-23 高一下·青海西宁·开学考试）若函数
的值域为
，则a 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】对
分类讨论可知，只有当
且函数
的值域包含
时满足题意，由此即可列出不等式组求解.
【详解】若
，则
，不满足题意；
若
，则
，
当
，即
时，
的值域为
，满足题意.
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故答案为：
.
1．（23-24 高二下·浙江·期末）已知函数
的定义域为集合
，值域为集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先令
，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最
后求出补集.
【详解】由
，即
，解得
或
，
所以函数
的定义域为集合
，则值域为集合
，
所以
.
故选：D
2．（24-25 高三上·山西·阶段练习）已知
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的单调性确定
，再根据复合函数的单调性即可求出
的值
域，即得答案.
【详解】令
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，所以
，
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又
在
上单调递减，且
，所以
，
即
的值域是
.
故选：C.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
单调递增
B．函数
值域为
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
的图象关于
对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求
解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，
与
的关系，即可判断CD.
【详解】
，
函数
，
，则
，
又内层函数
在
上单调递增，外层函数
在(1,+∞)上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数
单调递增，故A 正确；
因为
，所以
，则
，所以函数
的值域为(0,2)，故B 正确；
，
，所以函数
关于点
对称，故C 错误，D
正确.
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故选：ABD
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
的最小值是 .
【答案】2
【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数
的值域，然后利用对数函数的
单调性求得外层函数的值域，即可解答.
【详解】根据题意得到，
，解得
，即
，则
的定义域是
．
由于函数
.
化简得到
，由于
，
则
，当且仅当
，即
时取最值．
所以
，则
的最小值是2．
故答案为：2
5．（23-24 高一上·广东茂名·期中）函数
的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元的思想，将复合函数转换为二次函数，结合求指数函数及对数函数的值域，来求解复合
函数的值域问题．
【详解】解：令
，
则
，
因为
，
则
，且
的对称轴为
，
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可知
，
所以
的值域是
．
故答案为：
．
6．（24-25 高三上·重庆涪陵·开学考试）函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】设
，由
的取值范围及指数函数的性质即可求解．
【详解】设
，由
得，
，
所以
，则
，
因为
在
上单调递减，所以
，
故答案为：
．
7．（23-24 高一上·浙江湖州·期末）设函数
，
，则函数
的值域是 ．
【答案】
【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域.
【详解】
，
，
令
，设
，
设
，
40
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，
因为
，则
，
，
，
即
，
，
所以函数
在
上单调递增，又
也为增函数，
所以函数
在
单调递增，
，
所以函数的值域为
.
8．（23-24 高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当
时，函数
的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
令
，由于
，则
，
则原函数可化为
，
，
当
时，
取最小值，当
时，
取最大值
，
故
，即
.
故答案为：
9．（24-25 高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数
满足
．
(1)求
的解析式；
(2)若
，求
的值域；
41
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(3)讨论
的定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）换元法求函数解析式即可；
（2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域；
（3）分类讨论m 的取值范围，再得出函数的定义域.
【详解】（1）令
，得
，
则
，
所以
．
（2）若
，则
，
令
，当且仅当
时，u 取得最小值，且最小值为4．
因为
为减函数，所以
，
故
的值域为
．
（3）
．
当
时，
，则
的定义域为
；
当
时，
，则
的定义域为
；
当
时，由
，得
或
，
则
的定义域为
．
综上，当
时，
的定义域为
；当
时，
的定义域为
．
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题型三 幂函数
易错点06：错判幂函数的性质
典例 （24-25 高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数
（m，
，m，n 互质），下列关于
的结论正确的是（ ）
A．m，n 是奇数时，幂函数
是奇函数
B．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数
是偶函数
C．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数
是偶函数
D．
时，幂函数
在
上是增函数
【答案】ABD
【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接
判断即可.
【详解】对于选项A：若m，n 是奇数时，则
，
此时
的定义域为R，且
，
所以幂函数
是奇函数，故A 正确；
对于选项B：若m 是奇数，n 是偶数时，则
，
此时
的定义域为R，且
，
所以幂函数
是偶函数，故B 正确；
对于选项C：m 是偶数，n 是奇数时，则
，
43
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此时
的定义域为
，不关与原点对称，
所以幂函数
不具有奇偶性，故C 错误；
对于选项D：
时，由幂函数性质可知：
在
上是增函数，故D 正确；
故选：ABD.
【易错剖析】
对于幂函数
，整数m,n 取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，
这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
【避错攻略】
1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果q 为
偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0 的所有实数；
2．如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数．
当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x 大于0 时，函数的值域总是大于0 的实数．
2．在x 小于0 时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a 为正数，0 才进入函数的值域．
由于x 大于0 是对a 的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0 时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x 的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1 时，图象开口向上；0＜a＜1 时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0 时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
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b、在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x 从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴，
当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．
（3）当a＝0 时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1 去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另
外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
1．（24-25 高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数
过点
，若
，则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【分析】设出幂函数解析式
代入点待定
，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.
【详解】设幂函数
，因为函数图象过点
，
则
，解得
，
则
，其定义域为
，且
在
单调递减.
所以由
，
可得
，解得
.
所以实数a 的取值范围是
.
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故答案为：
.
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数
在区间
上单调递减，则
的一个取值为
．
【答案】
（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为
在
上单调递增，又
在区间
上单调递减，
所以
可以为偶函数，不妨取
，
此时
，函数定义域为
，
且
，故
为偶函数，
满足在区间
上单调递减.
故答案为：
（不唯一）
3．（2025 高三上·全国·专题练习）如图所示是函数
（m、
且互质）的图象，则（ ）
A．m，n 是奇数且
B．m 是偶数，n 是奇数，且
C．m 是偶数，n 是奇数，且
D．m，n 是偶数，且
【答案】B
【分析】根据图象得到函数的奇偶性及
上单调递增，结合m、
且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出
为偶函数，且在
上单调递增，
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故
且
为偶数，又m、
且互质，故n 是奇数.
故选：B
1．（24-25 高三上·上海·期中）下列函数在区间
上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，函数
在区间(0,1)上为减函数；
对于B 选项，函数
在区间(0,1)上为减函数；
对于C 选项，函数
在区间(0,1)上为增函数；
对于D 选项，函数
在区间(0,1)上为减函数.
故选：C.
2．（24-25 高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数
的图象与
轴无交点，则的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值.
【详解】因为幂函数
的图象与
轴无交点，
则
，解得
.
故选：B.
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3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先得到函数
为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨
论函数值的正负得到答案.
【详解】由题意可知，
，又
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时
，结合幂函数的性质可知，D 选项符合；
当
时，若
，
，A 选项符合；
当
时，
，此时
在
和
上单调递增， B 选项符合；
结合选项可知，只有C.选项不可能.
故选：C.
4．（2024·四川南充·二模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，
但是
在
上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，又
为奇函数，
且
在
上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D
5．（23-24 高一上·浙江·期中）幂函数
（
）的大致图像是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状.
【详解】∵
时，
为偶数且大于0，∴
的定义域为
，且在定义域上单调递
增．
只有B 选项符合条件.
答案：B．
6．（24-25 高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数
的说法正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
为偶函数
D．不等式
的解集为
【答案】BD
【分析】根据幂函数的性质判断．
【详解】
的定义域为
，A 错误；
的值域为
，B 正确；
的定义域为
，关于原点对称，又
，所以
为奇函数，
C 错误；
不等式
，则
，解得
，D 正确.
故选：BD．
7．（23-24 高一上·上海浦东新·期中）不等式
的解集为 ．
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【答案】
【分析】根据幂函数的单调性求解即可.
【详解】函数
的定义域为
且在
为减函数，
则由
，
得
或
，或
,
解得
或
,
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
8．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数
在
上单调递减，则
的值
为 .
【答案】
【分析】先根据幂函数定义确定
的可取值，再根据单调性确定出
的值.
【详解】因为
为幂函数，所以
，所以
，
当
时，
，在
上单调递增，不符合；
当
时，
，在
上单调递减，符合；
故答案为：
.
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，且该函数的图象经过点
.
(1)确定m 的值；
(2)求满足条件
的实数a 的取值范围.
【答案】(1)1
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(2)
【分析】（1）代入点的坐标求解即可；
（2）利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为该函数的图象过点
，
所以
，
所以
，所以
或
，
又
，故
.
（2）由（1）知
，故
为
上的增函数，又由
，
得
，解得
.
所以满足条件
的实数a 的取值范围为
.
10．（22-23 高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数
（
）在定义域上不单调．
(1)试问：函数
是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见详解
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义可得
或
，结合函数
的单调性排除增根，结合奇函数和偶
函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）因为
为幂函数，则
，解得
或
，
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若
，则
在定义域
内单调递增，不合题意；
若
，则
在定义域
内单调递减，
但
在定义域
内不单调，符合题意；
综上所述：
，
.
函数
为奇函数，理由如下：
因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数.
（2）由
及
为奇函数，
可得
，
即
，
而
在
上递减且恒负，在
上递减且恒正，
所以
或
或
，解得
或
，
所以实数的取值范围.
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