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专题01 集合与常用逻辑用语
目 录
题型一：集合
易错点01 忽视集合中元素的互异性
易错点02 未弄清集合的代表元素
易错点03 遗忘空集
题型二 常用逻辑用语
易错点04 判断充分性必要性位置颠倒
易错点05 由命题的真假求参数的取值范围
题型一：集合
易错点01：忽视集合中元素的互异性
典例 （24-25 高三上·云南·期中）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.
【详解】因为
，所以
，由
，
所以
或
，解得
或
或1，
经检验集合中元素的互异性，把
或
舍去，所以
.
故选：A.
【易错剖析】
本题易忽略集合元素的互异性而错选D.
1
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【避错攻略】
类型1 集合与元素关系的判断
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定
是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集
合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.
类型2 根据元素与集合以及集合间关系求参数
第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；
第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.
易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：
(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．
(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值
后，再根据其互异性检验．
(3)无序性：常用于判断集合相等．
1．（24-25 高三上·湖南长沙·期中）已知集合
.若
，则实数
的
取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
中所有元素之和为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合
，
，若
中恰有三个元素，则由a 的取
值组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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1．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，且
，则实数
为（ ）
A．2
B．3
C．0 或3
D．
3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合
，若
，则实数a 组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知
，集合
，
，若
，且
的所有元素和为12，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
5．已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
6．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知集合
，若对
都有
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
7．已知
为实数，
，集合
中有一个元素恰为另一个元素的
倍，则实数
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合
，
，
，若
，
则
的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
9．（多选）（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）若集合
，则实数
的取值可以是
（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
3
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10．（多选）（23-24 高三上·福建宁德·期中）设集合
，
，且
，则
的值可
以为（ ）
A．
B．3
C．0
D．1
11．（2024·安徽·三模）已知集合
，若
的所有元素之和为12，则实
数
.
易错点02：未弄清集合的代表元素
典例 （2024·湖南衡阳·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.
【详解】
为函数
的值域，
令
或
，
，
为函数
的定义域，
即
，因为
，所以函数
定义域为
，
故
，
故选：D.
【易错剖析】
本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A 表示的是函数的值域，而集合B 表示的是函数的定义域而
出错.
【避错攻略】
在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：
方法1 列举法
4
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列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
【具体步骤】
第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；
第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；
第三步：定结果。
方法二：赋值法
高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差
异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.
【具体步骤】
第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；
第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；
第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；
第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过
集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定
要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.
1.（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．[1，4]
2.（24-25 高三上·江苏盐城·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．A
B．B
C．
D．
3.（24-25 高三上·山东·期中）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·陕西汉中·期中）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）已知集合
，
，则
的
元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
5．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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易错点03：遗忘空集
典例 （24-25 高一上·重庆万州·期中）已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由并集的定义可知
得到
，讨论集合
是否为空集，得到对应的参数
的范围，再
求并集得到结果.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
，即
；
若
，则
解得
.
综上所述，
的取值范围是
.
故选：B
【易错剖析】
因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对
的
讨论而错选C..
【避错攻略】
1.当已知
求参数时，一定要分析集合为空集的情况；
2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
【具体步骤】
第一步：化简，化简所给集合；
第二步：画图，用数轴表示所给集合；
第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；
第四步：求解，解出不等式(组的解；
第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.
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3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.
易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入
检验的方法加以区分，避免出错.
1.集合
，
，若
，则实数a 的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合
，
.
(1)若
，求
的取值范围.
(2)若
，求
的取值范围.
1．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设集合
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·广东肇庆·阶段练习）已知
，集合
，
，
8
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，则实数
（ ）
A．
或
B．
或0
C．或0
D．
或或0
4．（24-25 高三上·辽宁沈阳·期中）集合
，
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·四川达州·期中）已知集合
.若
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
6．已知集合
，
，若
，则实数a 取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·江苏南通·期中）已知集合
，若
，则实
数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合
，
，若
，则m 的取值范围是 ．
9．（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知集合
，若
，则m 的取值范围是 .
10．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为 .
11．（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则
9
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实数m 的取值范围为 ．
题型二：常用逻辑用语
易错点04：判断充分性必要性位置颠倒
典例 命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求解命题“
”为真命题时
，即可根据真子集求解
命题“
”为真命题,则
对
恒成立，所以
，故
，所以命题
“
”为真命题的充分不必要条件需要满足是
的真子集即可，由于
是
的真子集，故符合，故选：D
【易错剖析】
本题易混淆A 是B 的充分条件和A 的充分条件是B 的区别而出错.
【避错攻略】
1 掌握充分、必要条件的概念及类型
(1)如果p⇒q，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；
(2)如果p⇒q，但q
p
⇏，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p 是q 的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p
q
⇏，则p 是q 的必要不充分条件；
(5)如果p
q
⇏，且q
p
⇏，则p 是q 的既不充分又不必要条件.
【解读】
（1）p 是q 的充分条件，是指以p 为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p 只能推出结论q．一般
来说，给定条件p，由p 可以推出的结论是不唯一的．
（2）“p 是q 的充分条件”与“q 是p 的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．
（3）p 是q 的充要条件意味着“p 成立，则q 一定成立；p 不成立，则q 一定不成立”，要判断p 是否为q
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的充要条件，需要进行两次判断：一是看p 能否推出q，二是看q 能否推出p．若p 能推出q，q 也能推出
p，就可以说p 是q 的充要条件，否则，就不能说p 是q 的充要条件．
2.灵活运用判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断；
(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判
断它们之间的关系.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合,那么若p⊆q,则p 是q 的充分不必要
条件；若p⊇q,则p 是q 的必要不充分条件；若p＝q,则p 是q 的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范
围的数一定在大范围中,即小大
⇒
,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．
(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件,只要找到x0 {
∈x|p},但x0 {
∉x|q}即可．
易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，
为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.
1.已知命题
：
，
，则
为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三上·云南·期中）“
，
”成立的充分必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式
成立的充分条件是
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（24-25 高三上·青海西宁·期中）已知
，
，则使
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．使“
”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
，
B．
，
11
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C．
，
D．
，
3．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知
，使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线
与圆
有公共点的一个充分不必要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·天津和平·二模）若
，下列选项中，使“
”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线
，
和平面
，
，
，
，则
的必要不充
分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，
为实数，则使得“
”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）设
.下列选项中，
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则a 的
取值范围是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）命题
，
，若
的一个充分不必要条件是
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点05：由命题真假求参数范围
典例 （24-25 高三上·福建龙岩·期中）命题“
”为假命题，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】存在性命题为假等价于“
”为真，应用参变分离求解即可.
【详解】解：因为命题“
”为假命题
等价于“
”为真命题，
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所以
，
所以只需
.
设
，
则
在
上单增，所以
.
所以
，即
.
故选：A
【易错剖析】
对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错.
【避错攻略】
1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:
第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题;
第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题;
第三步：求解参数的取值范围.
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可
以有效避免命题为假不易判断的问题.
1.（23-24 高三下·广东·开学考试）已知
，
；
，
．若
为
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假命题，
为真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上·江西·阶段练习）命题“
，使
（
且
）成立”是假命题，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“
”为真命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为
真命题，则a 的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“
，
”是假命题，则m 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·江苏南通·期中）若命题“
，不等式
成立”是假命题，则
实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·福建·阶段练习）命题“
，
”是真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：
．若p 是假命题，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高三上·黑龙江·阶段练习）设命题
：对任意
，不等式
恒成立，命题
：
存在
，使得不等式
成立.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题与命题至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
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