2026 年高考数学考试技巧篇-核心知识背记手册
（知识清单）（全国通用）
目录
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧...............................................................................3
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................4
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................4
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧...............................................................................5
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧.......................................................6
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧..............................................................6
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧...................................................................7
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧...................................................................8
考试技巧09 最大最小函数解题技巧...............................................................................................9
考试技巧10 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧.............................................11
考试技巧11 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧.............................................................11
考试技巧12 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧.....................................................13
考试技巧13 函数对称性的应用及解题技巧.................................................................................15
考试技巧14 函数中解不等式的应用及解题技巧.........................................................................16
考试技巧15 整数解的应用及解题技巧.........................................................................................16
考试技巧16 零点的应用及解题技巧.............................................................................................17
考试技巧17 切线与公切线的应用及解题技巧.............................................................................17
考试技巧18 端点效应（必要性探索）解题技巧.........................................................................18
考试技巧19 函数凹凸性解题技巧.................................................................................................20
考试技巧20 洛必达法则解题技巧.................................................................................................22
考试技巧21 导数中的极值点偏移问题的解题技巧.....................................................................24
考试技巧22 半角公式的应用及解题技巧.....................................................................................26
考试技巧23 万能公式的应用及解题技巧.....................................................................................26
考试技巧24 正余弦平方差公式的应用及解题技巧.....................................................................27
考试技巧25 三角函数异名伸缩平移的解题技巧.........................................................................27
考试技巧26 “爪子定理”的应用及解题技巧.............................................................................28
考试技巧27 系数和（等和线）的应用及解题技巧.....................................................................28
考试技巧28 极化恒等式的应用及解题技巧.................................................................................30
考试技巧29 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧.............................................................30
考试技巧30 向量投影法求范围与最值解题技巧.........................................................................31
考试技巧31 向量矩形法求范围与最值解题技巧.........................................................................32
考试技巧32 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧.............................................................33
考试技巧33 角平分线定理的应用及解题技巧.............................................................................34
考试技巧34 张角定理的应用及解题技巧.....................................................................................34
考试技巧35 点对称问题解题技巧.................................................................................................36
考试技巧36 圆中的切线问题解题技巧.........................................................................................36
考试技巧37 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧.....................................................................37
考试技巧38 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧.....................................................................38
考试技巧39 硬解定理解题技巧.....................................................................................................39
考试技巧40 复数的模长及最值的应用及解题技巧.....................................................................41
考试技巧41 复数的轨迹问题解题技巧.........................................................................................41
考试技巧42 柯西不等式的应用及解题技巧.................................................................................43
考试技巧43 琴生不等式解题技巧.................................................................................................43
考试技巧44 定序倍缩法解题技巧.................................................................................................45
考试技巧45 隔板法解题技巧.........................................................................................................45
考试技巧46 平均分组分配及部分平均分组分配解题技巧.........................................................46
考试技巧47 三项展开式解题技巧.................................................................................................48
考试技巧48 二项式乘积解题技巧.................................................................................................48
考试技巧49 数列放缩法解题技巧.................................................................................................49
考试技巧50 帕德近似解题技巧.....................................................................................................50
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用: 若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
例．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．9
D．
因为
，所以
由权方和不等式
可得
当且仅当
，即
时，等号成立．【答案】C
例．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
即
时取等号，故答案为：
.
例．已知
，求
的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当
时取等号，故答案为：60
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
1. 糖水不等式定理，若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式，设
, 则有:
例．（全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【详解】
,又
，
用排除法, 选 A 。
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
(1) 设
, 且
, 则有
(2) 设
, 则有
(3) 上式的倒数形式：设
, 则有
例．（全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 在上述推论中取
, 可得
,
且
.
所以
, 即
, 选 A.
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧
基本不等式链:
, 当且仅当
时, 等号成立.
例．（全国·统考高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
由基本不等式链:
, 可得
（
R），
对于AB
由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
对于C
【法一】由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取
等号，所以C 正确
【法二】由
,得
,
又因为
,所以
,即
.
【法三】
,
又因为
,所以
.
【答案】：BC．
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，则最大值
，最小值
有
即
倍常数
例．已知
分别是函数
+
+1 的最大值、最小值，则
倍常数=2
例．已知函数
，
的最大值为M，最小值为m，则
.
【法一】
倍常数=14
【法二】
例．函数
，
，记
的最大值为
，最小值为
，则
.
【法一】
倍常数=4
【法二】
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，有
即
倍常数
例．（全国·高考真题）已知函数
，
，则
．
在定义域内为奇函数
所以
倍常数=2，解得
【答案】－2
例．已知函数
，则
．
，
和
在定义域内为奇函数
所以
2 倍常数=-2
【答案】－2
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
特值与极限
①
②
③
④
特别地：当
时
例如：
，
当
时
例．函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
令
，由奇偶性定义知
为奇函数，排除BD；
【法一】特值
，故选：A.
【法二】极限法
当
时
，
，
所以当
时
，故选：A.
【法三】
当
时，
，所以
【答案】A
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【法一】特值
由图知：
，
对于A ，
，对于B ，
，对于C ，
，对于D ，
排除BD
结合函数零点位置可选A
【法二】猜测近似函数值
由图知
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
【答案】A
考试技巧09 最大最小函数解题技巧
例．已知
表示
，
，中的最大值，例如
，若函数
，则
的最小值为（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数
，
，
的图象，
因为
，所以
的图象如图实线所示：
由
可得
，由
可得
，
由图知
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以
的最小值为，
故选：B.
例．记实数
的最小数为
若
则函数
的最
大值为（ ）
A．4
B．
C．1
D．5
【详解】
如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数
的图象，
而
的图象即是图中勾勒出的实线部分，
要求的函数
的最大值即图中最高点
的纵坐标.
由
联立解得，
，故所求函数
的最大值为
．
故选：B．
例．定义
，对于任意实数
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】设
，则
，
得
，
设
，则
，
令
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
，
得
，
所以
，
得
，即
.
故选：A
考试技巧10 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题
技巧
，
，
，
例．已知
, 则
的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
考试技巧11 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
常见函数的泰勒展开式：
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
常见函数的泰勒展开式：
结论1
．
结论2
．
结论3
（
）．
结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；
结论7
结论8
．
结论9
．
例．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第7 题）设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
泰勒公式法：
因为
，所以
，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
泰勒展开
设
，则
，
，
，计算得
，故选A.
考试技巧12 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
，
，
，
，
，
，
放缩程度综合
，
例．（2022·全国·统考高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
放缩法
因为
，
所以
，即
因为
，
所以
，即
综上所述：
，故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【法一】：不等式放缩一
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
【法二】不等式放缩二
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
考试技巧13 函数对称性的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设函数
的图像与
的图像关于直线
对称，且
，
则
A．
B．
C．
D．
反解
的解析式，可得
，即
，
因为
，所以
，解得解得
，故选C
考试技巧14 函数中解不等式的应用及解题技巧
例2．（全国·高考真题）设函数
,则使
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【特值法】
当
时，
不成立，排除D，当
时，则判断
是否成立，
计算
，
，不成立，故排除B、C,
【答案】A
考试技巧15 整数解的应用及解题技巧
例．已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
若整数解为2，则整数解3 不可取，代入有
，
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
考试技巧16 零点的应用及解题技巧
例4．（全国·高考真题）已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．1
通过观察发现
关于
对称，
也关于
对称，
则唯一零点为1，解得解得
.故选：C.
考试技巧17 切线与公切线的应用及解题技巧
例．（2021·全国·统考高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条
切线.由此可知
.
故选：D.
例．（全国·高考真题）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
．
对函数
求导得
，对
求导得
，设直线
与曲线
相切于
点
，与曲线
相切于点
，则
，由点
在切线上
得
，由点
在切线上得
，这两条直线表示同一条
直线，所以
，解得
.
考试技巧18 端点效应（必要性探索）解题技巧
端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【法一】端点效应一
令
，
得
，且
在
上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足
，而
则
, 令
, 得
当
时, 由于
, 只需证
即可
而
含有参数
, 故可对
进行放缩
即
令
, 其中
设
则
令
则
, 故
在
上递减, 得
则
, 得
在
上单调递增, 则
即
, 满足
成立
当
时，
故存在
, 使得在
上
,
所以
在
上单调递增, 则
, 不成立
特上所述:
.
【法二】端点效应二
(2)
由于
, 且
,
注意到当
, 即
时,
使
在
成立, 故此时
单
调递减
, 不成立.
另一方面, 当
时,
, 下证它小于等于 0 .
单调递减,
. 特上所述:
.
考试技巧19 函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内
, 都有
.
凸函数：对于某区间内
, 都有
.
例．在
中, 求
的最大值.
因为函数
在区间
上是上凸函数, 则
即
, 当且仅当
时, 即
时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在
中,
例. 丹麦数学家琴生
是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数
在
上的导函数为
，
在
上的导函数为
，
若在
上
恒成立，则称函数
在
上为“凸函数”．已知
在
上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
因为
，
所以
，
，
因为
在
上为“凸函数”，
所以
对于
恒成立，
可得
对于
恒成立，
令
，则
，
因为
，所以
在
单调递增，
所以
，
所以
，
【答案】C
考试技巧20 洛必达法则解题技巧
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
例．（全国高考）已知
恒成立, 求
的取值范围
解:
记
,
则
则
所以,
在
单调递增, 且
所以
时,
时,
即
在
上单调递减, 在
上单调递增
所以
所以
分析
上式中求
用了洛必达法则 当
时, 分子
, 分母
, 符合
不定形式, 所以
例．（全国高考）
恒成立, 求
的取值范围
解:
记
,
则
记
则
所以,
在
单调递增, 所以
所以,
在
单调递增, 所以
即在
上
, 所以
在
上单调递增
所以
所以
考试技巧21 导数中的极值点偏移问题的解题技巧
例．（全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
（2）[方法一]：构造函数
由题知,
一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证
,即证
因为
,即证
又因为
,故只需证
即证
即证
下面证明
时，
设
，
则
设
所以
,而
所以
,所以
所以
在
单调递增
即
,所以
令
所以
在
单调递减
即
,所以
；
综上,
,所以
.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令
，则
，
所以
在
上单调递增，故
只有1 个解
又因为
有两个零点
，故
两边取对数得：
，即
又因为
，故
，即
下证
因为
不妨设
，则只需证
构造
，则
故
在
上单调递减
故
，即
得证
考试技巧22 半角公式的应用及解题技巧
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，而
为锐角，
所以
．
考试技巧23 万能公式的应用及解题技巧
例．在 △ABC 中, tan C
2 =3 tan A
2 , 则
2
sin A +
6
sinC 的最小值为
A. 4 B. 2❑√5 C. 4 ❑√5 D. 16
2
sin A +
6
sinC
¿
2
2tan A
2
1+ tan
2 A
2
+
6
2tan C
2
1+ tan
2 C
2
¿
=
1+ tan
2 A
2
tan A
2
+
3(1+ tan
2 C
2)
tan C
2
=
1
tan A
2
+ tan A
2 +
3
tan C
2
+3 tan C
2
=
1
tan A
2
+ tan A
2 +
3
3 tan A
2
+3⋅3 tan A
2
=10 tan A
2 +
2
tan A
2
≥2❑√20= 4 ❑√5.
最小值为4 ❑√5
考试技巧24 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
正弦平方差公式: sin
2 A −sin
2B =sin ( A + B)sin ( A −B)
余弦平方差公式: cos
2 A −sin
2B =cos( A + B)cos( A −B)
例．已知 sin α = 1
2 ,sin β = 1
3, 则 sin (α + β)sin (α −β)=________
由已知可得 sin (α + β)sin (α −β)=sin
2α −sin
2 β =(
1
2)
2
−(
1
3)
2
= 5
36 .
考试技巧25 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
通常用sin x=cos(x−π
2)进行正弦化余弦，用cos x=sin(x+ π
2)进行余弦化正弦
例．若要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
我们可以对平移前
进行变换，
，
从而转化为
的变换；
我们同样也对平移后
进行变换，
，从而转化为
的变换，进而求解变换过程
【答案】D
考试技巧26 “爪子定理”的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
A
B
C
D
解析：由图可想到“爪字形图得：
，解得：
答案：A
考试技巧27 系数和（等和线）的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
=
+
，则
+
的最大值为
A．3
B．2
C．
D．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时，
最大，此时
故选
.
例．边长为2 的正六边形
中，动圆
的半径为1，圆心在线段
(含短点)上运动，
是圆
上及其内部的动点，设向量
，则
的取值范围是（ ）
分析:如图，设
，由等和线结论，
.此为
的最小值；
同理，设
，由等和线结论，
.此为
的最大值.
综上可知
.
考试技巧28 极化恒等式的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
由极化恒等式可得：
，故选A．
例．（2023·全国·统考高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：
故选：B.
考试技巧29 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
例．（高考真题）已知O，N，P 在
所在平面内，且
，且
，则点O，N，P 依次是
的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心
B．重心外心内心
C．外心重心垂心
D．外心重心内心
因为
，所以
到定点
的距离相等，所以
为
的外心，由
，
则
，取
的中点
，则
，所以
，所以
是
的重心；
由
，得
，即
，所以
，同理
，所以
点
为
的垂心，故选C.
例．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
，
，则P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【详解】
，
令
，
则
是以
为始点，向量
与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即
在
的平分线上，
，
共线，
故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
故选：B
考试技巧30 向量投影法求范围与最值解题技巧
向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影
长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题
例．如图，已知正六边形ABCDEF 边长为1，点P 是其内部一点，（包括边界），则
的取值范围
为
由向量投影法可知，当P 点在A 点和C 点时，分别取得最小值和最大值，
由正六边形的性质得：
，则
，
，
所以
的取值范围为
例．如图，圆O 内接边长为1 的正方形
是弧
（包括端点）上一点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
由向量投影法可知，当P 点在B 点或C 点时，取得最小值1，当P 点在弧
中点时，取得最大值，由几
何关系知，最大值为
考试技巧31 向量矩形法求范围与最值解题技巧
向量矩形法是数学中使用向量来解决范围和最值问题的方法，特别适用于寻找向量的长度范围和最值，
常在小题中使用.
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
例．在矩形
中，
，
，
为矩形
所在平面上一点，满足
，
，则
__________.
连接
，取
的中点
，连接
和
，
因为
，
所以
.
例．已知点
为矩形
所在平面上一点，若
，
，
，则
.
利用向量矩形大法求解即可，答案为：
例．已知O 为矩形
内一点，满足
，
，
，则
．
考试技巧32 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
例．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在
所在平面内，且
，且
考试技巧33 角平分线定理的应用及解题技巧
角平分线定理
（1）在
中，
为
的角平分线，则有
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
例．（2023·全国·统考高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于
D，则
．
由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
则
计算即可，故答案为：
．
考试技巧34 张角定理的应用及解题技巧
张角定理
例．如图，已知
是
中
的角平分线，交
边于点
.
（1）用正弦定理证明：
；
（2）若
，
，
，求
的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为
．
例．在
中,角
所对的边分别为
,已知点
在
边上,
,则
__________
解：如图
由张角定理得:
即
考试技巧35 点对称问题解题技巧
点 (x , y) 关于直线 Ax + By +C =0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax + By +C)
A
2+ B
2
, y −2B ( Ax + By +C)
A
2+ B
2
)
例．点
关于直线
的对称点的坐标是 ．
直线
中，
,所以
，所以
，
答案为：
.
考试技巧36 圆中的切线问题解题技巧
例．已知圆x
2+ y
2=25，则过圆上一点A (3,4)的切线方程为（ ）
A．3 x + 4 y −25=0
B．3 x + 4 y −25=0或x =3
C．3 x−4 y +7 =0
D．4 x−3 y =0
【详解】代入
求解即可，答案为：3 x + 4 y −25=0
例．过圆
上点
的切线方程为 ．
代入
求解即可，答案为：
例．经过点
且与圆
相切的直线方程为 ．
代入
求解即可，答案为：
例．过点
作圆
的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB 方程是 .
过圆外一点
作圆的两条切线,则切点弦方程为
，代入求解即
可
答案为:
考试技巧37 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
例．过双曲线
的右焦点
作倾斜角为
直线，交双曲线于
两点，求弦长
．
由双曲线
得
，又
所以
．
例．（山东·统考高考真题）斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则
=
．
【法一】先求出倾斜角，代入|AB)= 2|p)
sin
2θ
求解即可
【法二】解得
所以
【法三】
设
，则
,
过
分别作准线
的垂线，设垂足分别为
如图所示.
故答案为：
考试技巧38 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）已知椭圆
＋
＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A、B 两点．
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为
A．
＋
＝1
B．
＋
＝1
C．
＋
＝1
D．
＋
＝1
【法一】k AB.kOM =−b
2
a
2，解得b
2
a
2=1
2，因为c=3，所以
.
例．（重庆·高考真题）直线与圆
相交于两点
，
，弦
的中点为
，
则直线的方程为 ．
【答案】
.
【详解】设圆心
，直线的斜率为
，弦AB 的中点为
，
的斜率为
，
则
，所以
由点斜式得
．
例．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
，
两点，若
中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点差法得
，再根据焦点坐标得
，解方程组得
，
，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为
，由题意可得
，设
，
，则
的中点为
，由
且
，得
，
，即
，联立
，解得
，
，故所求双曲线的方程为
．故选D．
考试技巧39 硬解定理解题技巧
1．椭圆&双曲线的硬解定理
如果直线
与曲线
（m ，n 至少一个为正数）有两个交点
，
．
先将直线方程
与曲线方程
进行联立，得到
，
于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
特别地，对于最常见的斜截式
来说，可令
，
，
，
则有以下结论：
①判别式
．
②
③
．
④
．
2．抛物线
的硬解定理
如果
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
3．抛物线
的硬解定理
如果直线
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得
于是有
，
从而
．
（实际上与抛物线
的硬解定理的区别就是把A，B 对调了一下）
例．已知斜率为1 的直线l 过椭圆
的右焦点，交椭圆于A、B 两点，则弦AB 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
由椭圆得，
，所以
，
所以右焦点坐标为
，则直线l 的方程为
，
即
，设
，
使用硬解定理得
．
故选：C.
例．已知A，B 是抛物线
与直线
的交点，求线段AB 的长度．
设点A 的坐标为
，点B 的坐标为
．
因为点A，B 是抛物线
与直线
的交点，
使用硬解定理验证可得
，
．
考试技巧40 复数的模长及最值的应用及解题技巧
例．（全国高考）设
，则
=
A．2
B．
C．
D．1
【答案】C
例．已知
满足
.则
的最大值是（ ）
A．3
B．10
C．20
D．16
【答案】D
【详解】
对应的点在以
为圆心，3 为半径的圆上，
.
故答案为D
考试技巧41 复数的轨迹问题解题技巧
例．（多选）设
，在复平面内z 对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z 的集合对应的图形正确
的是（ ）．
A．若
，则点Z 的集合是圆
B．若
，则点Z 的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若
，则点Z 的集合是y 轴所在的直线
D．若
，则点Z 的集合是一、三象限角平分线
【详解】A：
表示以原点为圆心，1 为半径的圆，对；
B：
表示以原点为圆心，半径分别为1、2 的两个圆所成圆环（含边界），对；
C：
表示到
两点距离相等的点，即为
轴所在直线，对；
D：
表示到
两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错.
故选：ABC
例．已知复数
，
满足
，
，则
的最小值为 ．
【详解】根据复数的几何意义可得，
，则
在复平面内是以
为圆心，为半径的圆上，
，则
在复平面内是以
为圆心，8 为半径的圆上，又两圆心间的距离为
，
故
的最小值为
故答案为：1
例．设复数
，
满足
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【详解】设复数
在复平面内对应的点分别为
因为
，所以
（
为坐标原点），
所以
因为
，所以
的最小值为
.
故选：B
考试技巧42 柯西不等式的应用及解题技巧
例．函数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】注意到，
．
则
．
例．已知x，y，z 满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
,
即
,
所以
最小值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
.
考试技巧43 琴生不等式解题技巧
例．在
中，
的最大值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【详解】因为
在区间
上是凸函数，根据琴生不等式可得，
，
得
，
当且仅当
时等号成立，
即
的最大值是
.
故选：D
例．已知函数
，则
的最小值是 .
【详解】
定义域为R，
，
故
为奇函数，
又
，
故
是周期函数，周期
，
先考虑
，函数
，
在
上恒成立，
故
在
上是上凸函数，
由琴生不等式得
.
当且仅当
时，
.
又因为
是奇函数，所以
.
故答案为：
例．半径为
的球的内接三棱锥的体积
的最大值为 .
【详解】设三棱锥为
，
的外接圆半径为，则
，
当且仅当
时，上式等号成立，
若球心
到平面
的距离为，则
，
当且仅当三棱锥
为正四面体时，上式等号成立.
考试技巧44 定序倍缩法解题技巧
定序倍缩法是一种在排列组合问题中常用的技巧，尤其在处理具有特定顺序要求的元素排列时显得尤
为有效。该方法的核心在于，当某些元素需要按照特定顺序排列时，我们可以通过“倍缩”这些元素来考
虑其排列方式，从而简化问题。掌握这一技巧对于提高排列组合问题的解题能力具有重要意义。
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n 个)进行排列，然后用总
排列数A 除以m 个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
例．某学习小组
、
、
、
、
、
、
七名同学站成一排照相，要求
与
相邻，并且
在
的左
边，
在
的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
由题意可知，
与
相邻，则将
与
捆绑，
然后要求
在
的左边，
在
的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为
种.
例．今有2 个红球，3 个黄球，同色球不加以区分，将这5 个球排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
因为5 个球有
种排法，因为同色球不加以区分，2 个红球有
种排法，3 个黄球排有
种排法，所以共
有
种排法．
故选：D．
考试技巧45 隔板法解题技巧
对于相同元素的分组分配问题我们采用隔板法处理．
1．将m 个相同元素分配给n 个人，
，每人至少1 个．
按以下思路求出不同分配方法的种数：先将m 个元素排成一列，中间有
个空，然后把
个隔
板放入
个空中即可把所有元素分为n 组，再依次把n 组元素给到n 个人即可，于是总的分法有
种，
这种处理问题的方法我们称为隔板法．
2．将m 个相同元素分配给n 个人，
，可以有人分不到．
此时我们可以采用化归的思路处理．先借过来n 个元素，给每个人分一个，于是问题就转化为将
个相
同元素分配给n 个人，每人至少1 个，分完之后每个人再扣除一个即可，于是总的分法有
种．
例．把9 个完全相同的口罩分给6 名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种
A．41 B．56 C．156 D．252
问题可转化为将9 个完全相同的口罩排成一列，再分成6 堆，每堆至少一个，求其方法数，利用隔板法进
行求解．
事实上，只需在上述9 个完全相同的口罩所产生的8 个“空档”中选出5 个“空档”插入档板，即产生符
合要求的方法数．故有
种．故选：B.
例．已知非负整数
，
，
，
，
满足
，则不同的有序实数对
有______种可能．
首先将问题转化为为正整数
，
，
，
，
满足
，再利用隔板法进行求解.
因为
，所以
．于是问题转化为正整数
，
，
，
，
满足
，则不同的有序实
数对
有多少种可能．于是把15 个1 排成1 列，放入4 个隔板即可，共有
（种）可能．
考试技巧46 平均分组分配及部分平均分组分配解题技巧
这类问题在排列组合中较为常见，其核心在于理解“平均”与“部分平均”的概念。平均分组即指将
元素均等地分配到各个组中，不考虑组内的排列顺序；而部分平均分组则是在平均分组的基础上，允许部
分组内的元素数量有所不同，但仍需遵循一定的分配规则。常在小题中考查，需强加练习。
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以
A(n
均分的
数
为
组
)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除
以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排
列数．
例．将6 名志愿者安排到4 个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1 名志愿者，则不同
排法共有（ ）
A．480 种
B．1560 种
C．2640 种
D．640 种
解：先将6 名志愿者分成4 组，然后再分配到不同的社区即可，
若志愿者人数依次为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为：
种；
若志愿者人数依次为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为：
种，
故不同的安排方法共有
种．
故选：B．
例．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步
个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方
法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下
人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有
,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有
种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有
种方法，
再安排余下三人，有
种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有
种，
所以满足条件的不同的报名方法共有
种方法.
故选：C.
考试技巧47 三项展开式解题技巧
三项展开式在模拟题中经常考查，通常涉及到求系数，需强加练习。
三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，
直接当做排列组合求解，可秒解。
例．
展开式中的常数项为 .（用数字作答）
展开式中得到常数项的方法分类如下：
（1）4 个因式全取-1，相乘得到常数项.常数项为
；
（2）4 个因式中有1 个取
，则再取1 个
，其余因式取
，相乘得到常数项.常数项为
；
（3）4 个因式中有2 个取
，则再取2 个
，相乘得到常数项.常数项为
，
合并同类项，所以展开式中常数项为
.
故答案为：49.
例．
的展开式中
的系数为 ．
由题设，含
的项为
,
故其系数为
．
故答案为：672.
考试技巧48 二项式乘积解题技巧
二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。
例．（高考真题）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为-28
故答案为：-28
考试技巧49 数列放缩法解题技巧
例．证明：
．
【详解】记
，则有
．
而
，故
．
于是
，原不等式得证．
例．已知
，证明：
．
【详解】由题意，
，
∵
，
∴当
时，
．
从而
．
例．对任意的
，证明：
.
【答案】见解析
【详解】引入常数
，使得对所有的
均有
取
，得
.
从而，对任意的
有
.
考试技巧50 帕德近似解题技巧
例．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】利用帕德逼近，得
，
，
，综上，
.
故选：B
例．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】利用帕德逼近可得，
综上，
．
故选：B.
例．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，
，
，
综上，
．
故选：B
