文档文本内容
第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
1.解一元二次不等式.....................................................................................................................3
2.解分式不等式.............................................................................................................................3
3.解单绝对值不等式.....................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 一元二次不等式的解法..................................................................................................3
考点二 三个“二次”之间的关系..............................................................................................4
考点三 一元二次不等式恒成立（有解问题）..........................................................................5
考点四 实根分布..........................................................................................................................5
考点五 一元二次不等式的应用..................................................................................................6
考点六 其他不等式及其解法......................................................................................................7
三阶突破训练.................................................................................................................8
基础过关........................................................................................................................................8
能力提升........................................................................................................................................9
真题感知......................................................................................................................................10
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年天津卷，15 题，6 分
一元二次不等式恒成
立问题
基本不等式
2024 年新I 卷，第1 题,5 分
解三次不等式
交集的概念及计算
2023 年新I 卷，第1 题,5 分
二次函数图象解不等
式
集合间的基本运算
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握三个二次的基
本关系，难度中等偏下
【备考策略】
1.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
2.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】
1.解三次不等式
2.二次函数图象解不等式
3.二次函数单调区间求参数值或范围
1.解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一元二次方程
有两个不等实根
有两个相等实根
无实数根
ax 2+bx +c=0(a≠0)
的根
x1，x2（设x1<x2
）
x1=x2=−b
2a
二次函数
y=ax 2+bx +c (a>0)
的图象
ax 2+bx +c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1
x
或>x2}
{x|x≠−b
2a}
R
ax 2+bx +c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
2.解分式不等式
①g(x)
f (x) <0⇔f (x) g(x)<0 ②g(x)
f (x) >0⇔f (x) g(x)>0
③
g(x)
f (x) ≤0⇒{
f (x)g(x)≤0
f (x)≠0
④
g(x)
f (x) ≥0⇒{
f (x)g(x)≥0
f (x)≠0
3.解单绝对值不等式
|x|≥a(a>0)⇒x≤−a或x≥a ，|x|<a(a>0)⇒−a<x<a
考点一 一元二次不等式的解法
典例1．解下列不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
典例2．解下列关于
的不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
跟踪训练1．若要使
有意义，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
跟踪训练2．（多选）关于
的不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．已知集合
，
且满足
，求实数a
的取值范围．
考点二 三个“二次”之间的关系
典例1．（多选）已知二次函数
图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
典例2．若关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的
解集是 .
跟踪训练1．（多选）已知关于
一元二次不等式
的解集为
（其中
），
关于
一元二次不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当
时，
的最小值为
跟踪训练2．（多选）若关于
的一元二次不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 一元二次不等式恒成立（有解问题）
典例1．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是 ．
典例2．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小
值为 ．
跟踪训练1．当
时，不等式
恒成立，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．若
，
，对
，均有
恒成立，则
的取值范围为
.
考点四 实根分布
典例1．若关于x 的一元二次方程
分别满足下列条件时，求m 的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于
，另一根小于
；
(3)一根在
内，另一根在
内；
(4)一根在
内，另一根不在
内；
(5)一根小于1，另一根大于2；
(6)两根都在区间
内；
(7)在
内有解．
跟踪训练1．关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
跟踪训练2．（多选）若方程
恰有一个实根，则实数
的取值范围可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数
若方程
有5 个不同的实数根，则实数
的取值范围为 .
考点五 一元二次不等式的应用
典例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15 元的价格销售，每天能卖出30 盏；若售价每提高1
元，日销售量将减少2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400 元的销售收入．则这批
台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．某商店购进一批成本为每件30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量
（件）与销售单价
（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量
与销售单价
之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50 元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多
少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
跟踪训练1．（2025 高三·北京·专题练习）某商家为了提高一等品M 的销售额，对一等品M 进行分类销售．
据统计，该商家有200 件一等品M，产品单价为
元．现计划将这200 件一等品分为两类：精品
和优品．其中优品x 件（
，
），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调
整为
元（
），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不
低于分类前一等品M 的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n 的值可能为 .
跟踪训练2．2024 年8 月12 日，为期16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里
随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的
活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会
的吉祥
物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假设购进该款产
品全部售出.若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不
超过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方
式进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润
万元关于购进产品数量
（万件）的函数解析式？（利润
销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
考点六 其他不等式及其解法
典例1．（2025 高三·天津·专题练习）求下列不等式的解集：
(1)
;
(2)
；
(3)
；
典例2．求不等式
的解集．
跟踪训练1．（2025·河南许昌·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．求不等式
的解集．
1.不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
2.
，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.一元二次不等式
的解集为
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·内蒙古包头·阶段练习）设
，则“
”是“
”的必要而不充分条
件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.不等式
的解集是 ．
7.关于
的不等式
的解集为
，求
的值．
8.已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为
．
9.若关于
的方程
的两个根
都在区间
上，则a 的值范围为 ．
10.某工厂2025 年年初用100 万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预
计为50 万元．设使用
年后该设备的维修、保养费用为
万元，盈利总额为
万元．（1）
与
之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利．
11．（25-26 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数
．
(1)若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
(2)解关于
的不等式
（其中
）．
1.已知关于
的不等式
的解集为A，则下列结论错误的是（ ）
A．A 中可能只有一个元素
B．若
，则A 中的元素为负数
C．若
，则
D．A 可能为空集
2.已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知二次函数
．甲同学：
的解集为
或
；乙同学：
的解集为
或
，丙同学：函数
图象的对称轴在
轴右侧．在这三个同学的论述中，只
有一个假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.关于
的方程
至少有一个负根的充要条件是 ．
5.已知
，且
，则
的最大值为 ．
6.已知
，
，若关于
的不等式
在
时恒成立，则
的最小值是
.
7.已知关于
的不等式
的解是
，则关于
的不等式
的解为 ．
8．（2025 高三·天津·专题练习）设实数
满足条件：关于
的方程
至多一个实
数根.
（1）则
的取值范围是 ；
（2）在此条件下，使
有解，则
的取值范围为 .
9.已知函数
满足对任意的实数a，b，都有
，且当
时，
．若
对所有的
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
10.已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知
，且
在
时恒成立，求
的取值范围；
(3)若关于
的方程
有两个不相等的实数根
，且
，求
的取值范围．
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为 ．
3．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为 ．
4．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最
小值为
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是 .
