文档文本内容
第04 讲 指数与指数函数
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 指数与指数幂的运算......................................................................................................4
考点二 指数函数的图象及其应用..............................................................................................5
考点三 指数（型）函数的单调性..............................................................................................6
考点四 指数（型）函数的值域与最值......................................................................................6
考点五 指数值的大小比较..........................................................................................................7
三阶突破训练.................................................................................................................8
基础过关........................................................................................................................................8
能力提升........................................................................................................................................9
真题感知......................................................................................................................................10
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
判断指数函数的单调性
判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023 年新I 卷，第4 题,5 分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022 年新I 卷，第7 题,5 分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及
指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6 分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识点1 根式的概念及性质
（1）概念：式子n√a叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）①______没有偶次方根．
②0 的任何次方根都是0，记作n√0=______．
③(
n√a)
n=______（n∈N
∗，且n>1）．
④
n√a
n=a（n为大于1 的奇数）．
⑤
n√a
n=|a)={
_ _ _ _ _ _ ,a≥0
_ _ _ _ _ _ ,a<0)（n为大于1 的偶数）．
知识点2 分数的指数幂的意义
分数指
数幂
正分数指数
幂
规定：a
m
n = （a>0,m,n∈N
*，且n>1）
负分数指数
幂
规定：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a>0,m,n∈N
*，且n>1）
性质
0 的正分数指数幂等于 ，0 的负分数指数幂
知识点3 实数指数幂的运算性质
（1）a
r a
s= . (a>0,r ,s∈R).
（2）(a
r)
s= . (a>0,r ,s∈R).
（3）(ab)
r= . (a>0,b>0,r ∈R).
知识点4 指数函数的一般形式
9．一般地，函数 （a>0,a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
知识点5 指数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0,+ ∞)
过定点
过点 ，即x = 时，y =
函数值的变
化
当x>0时，
当x<0时，
当x>0时，
当x<0时，
单调性
是R上的
是R上的
知识点6 解指数不等式
（1）指数不等式的类型为af (x)>ag(x)¿，且a≠1)．
①当a>1时， ；
②当0<a<1时， ．
（2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性
去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．
知识点7 比较大小的方法
（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断；
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断；
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断．
考点一 指数与指数幂的运算
典例1．（2025·河南新乡·二模）
（ ）
A．16
B．
C．32
D．
典例2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
跟踪训练1．（2025·重庆九龙坡·三模）已知
，则
.
跟踪训练2．若
，
，则下列式子值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 指数函数的图象及其应用
典例1．函数
的图象如图所示，其中
，
为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
典例2．（2025·北京海淀·一模）函数
的图象一定经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．设
，如果
，且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知两个指数函数
，
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．函数
与
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于原点对称
D．关于
对称
跟踪训练3．已知函数
的图象经过原点，且无限接近直线
，但又不与该直线相交，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 指数（型）函数的单调性
典例1．（2025·天津红桥·二模）已知命题
，命题
，则命题
是命题
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
典例2．（2025·江西·二模）已知函数
，若关于
的不等式
恒
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·广东广州·模拟预测）若函数
在区间
单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 指数（型）函数的值域与最值
典例1．若函数
有最大值3，则
.
典例2．已知函数
的图象过原点，且无限接近于直线
但又不与该直线相交，当
时，函数
有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
跟踪训练1．若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
跟踪训练2．设
，若函数
在
上的最小值是2，则其在
上的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
考点五 指数值的大小比较
典例1．（2025·辽宁·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．记
，
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·甘肃白银·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，化简
得（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·重庆·模拟预测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江西新余·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
6．（2025·浙江·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
7．函数
，则对任意实数
，下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递增
C．
是奇函数，且在
上单调递减
D．
是偶函数，且在
上单调递减
8．（2025·甘肃白银·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
11．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·广东佛山·二模）已知函数
，命题p：
是奇函数，命题q：
在
上是减函数，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·重庆·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，满足
，则恒有（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
17．（2025·安徽安庆·模拟预测）设
、
是曲线
上两个不同的点，则（）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·陕西汉中·三模）已知函数
，则下列结论中正确的是（ ）
A．当
时，函数
单调递增
B．存在正数
，使得函数
为偶函数
C．函数
的图象与直线
有两个交点
D．若函数
在
上单调递增，则实数
的最小值为
三、填空题
19．（2025·贵州·二模）已知函数
（
）的图象经过点
，
．若
，
则
．
20．（2025·北京海淀·二模）已知函数
，则
的值域为 ，曲线
的对称
中心为 ．
一、单选题
21．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·上海·高考真题）设
．下列各项中，能推出
的一项是（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
23．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
27．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
