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专题02 不等式与基本不等式
目 录
题型一：不等式性质及解法
易错点01 忽略不等式性质成立的前提条件
易错点02 解分式不等式时变形不等价
易错点03 一元二次型不等式恒成立问题混淆范围
易错点04 解含参不等式讨论不全
易错点05 多变量不等式问题混淆主元
题型二 基本不等式
易错点06 基本不等式求最值忽略前提条件
题型一：不等式性质及解法
易错点01：忽略不等式性质成立的前提条件
典例 2．（24-25 高三上·上海·期中）若
、
、
，
，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质和反例即可判断.
【详解】对于AB：取
，满足
，显然
，
不成立，错误；
对于C：因为
，所以
，正确；
对于D：取
，显然
不成立，错误，
故选：C
1
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【易错剖析】
在应用不等式性质进行判断时，若忽略a,b 是否同号，容易错选A，若忽略a,b 不一定同大于零，容易错选
B，由于忽略c 是否为零，容易错选D.
【避错攻略】
1 不等式的性质及推论
性质1：不等式的传递性：设a，b，c 均为实数，如果a>b 且b>c，那么 a>c
性质2：不等式的加法性质：设a，b，c 均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c
性质3：不等式的乘法性质：设a，b，c 均为实数，如果a>b 且c>0，那么ac>bc，如果a>b 且c<0，那么
ac<bc
推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
【提醒】（1）不等式的性质3 中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；
（2）推论1 逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
（3）推论3、推论5、推论6、推论7 中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得
同向不等式，并无相除式．
2 判断不等关系成立的常用方法：
（1）直接利用不等式的性质进行推理判断.；
（2）比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0 的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、
判断商式与1 的大小、下结论.
（3）构造函数利用函数的单调性；
（4）特殊值排除法.
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前
提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基
础，后者一般是解不等式的理论基础．
2
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1．（24-25 高三上·河北沧州·期中）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对A，举反例；对B，举反例；对C，根据不等式性质推理可得；对D，举反例说明.
【详解】对于A，当
时，不满足
，故A 错误；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，所以
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，不满足
，故D 错误.
故选：C.
2．（2024·福建泉州·一模）若实数
，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性
质判断D.
【详解】因为
在定义域
上单调递减且
，所以
，故A 正确；
因为
在定义域
上单调递增且
，所以
，故B 正确；
当
时，
，故C 不正确；
因为
在定义域
上单调递增且
，所以
，故D 正确.
故选：C.
3．（24-25 高三上·山东泰安·期中）（多选）已知a，b，
，则下列命题正确的是（ ）
3
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A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项.
【详解】A 选项：当
，
时，
，但
，故A 错误；
B 选项：∵
，∴当
时，
，故B 正确；
C 选项：∵
，∴
，
，由∵
，
∴
，故C 正确；
D 选项：
，则
，当
时，
，故D 错误.
故选：BC.
1．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举例说明．
【详解】
，例如
，此时
，
，
，ABC 均错；
时，
，
，即
，D 正确．
故选：D．
2．（23-24 高三上·四川泸州·阶段练习）若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4
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【分析】根据不等式的性质以及作差法可求得结果.
【详解】对于A：因为
，利用不等式的性质得
，故A 错误；
对于B：根据不等式可加性可知：
，则
，故B 错误；
对于C：作差可得
，因为
，所以
，则
，故C 正确；
对于D：
，则
，根据不等式可加性可知：
，故D 错误.
故选：C.
3．（24-25 高三上·山东临沂·期中）已知非零实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件，结合不等式的性质以及作差法，可得答案.
【详解】对于A，当
时，
，故A 错误；
对于B，当
时，显然
，但是
，故B 错误；
对于C，当
时，
，当
时，
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，
，故D 错误.
4．（24-25 高三上·广东·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】D
【分析】对于A,B,C 用特殊值即可排除,对于D,用作差法即可比较大小.
【详解】对于A,取
,此时
,故A 错误；
对于B,取
,满足
,此时
,故B 错误；
对于C,取a=−1,此时
,故C 错误；
对于D,因为
,故
,所以
正确.
故选：D.
5
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5．（24-25 高三上·重庆·期中）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质可得B；举出反例可得A、C、D.
【详解】对A：取
，
，
，
，此时
，故A 错误；
对B：由
，则
，又
，故
，故B 正确；
对C：取
，
，
，
，此时
，故C 错误；
对D：取
，
，
，
，此时
，故D 错误；
故选：B.
6．（24-25 高三上·山东聊城·期中）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ABD，由指数函数的单调性，即可判断C.
【详解】取
，满足
，但是
，故A 错误；
取
，满足
，但是
，故B 错误；
因为
在
上单调递减，由
可得
，故C 正确；
取
，满足
，但是
，故D 错误；
故选：C
7．（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
6
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D．若
，则
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，利用作差法判断C.
【详解】对于A：当
，
时，满足
，但是
，故A 错误；
对于B：当
，
时，满足
，但是
，故B 错误；
对于C：因为
，
又
，所以
，所以
，即
，故C 正确；
对于D：当
时
在
上单调递减，又
，所以
，故D 错误.
故选：C
8．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，则
，
由不等式的基本性质可得
，则
，A 对；
对于B 选项，因为
，不等式的两边同时除以
可得
，
因为
，由不等式的基本性质可得
，B 对；
对于C 选项，因为
，
，则
，
由不等式的基本性质可得
，C 错；
7
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对于D 选项，因为
，
，由不等式的基本性质可得
，则
，
由不等式的基本性质可得
，D 对.
故选：ABD.
9．（24-25 高三上·河南安阳·期中）（多选）已知
为实数，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】由不等式的基本性质即可判断选项AB，不等式的基本性质结合指数函数的性质即可判断C 选项，
不等式的基本性质结合对数函数的性质即可判断D 选项.
【详解】A 选项，当
时结论不成立，A 错误；
B 选项，由不等式的性质可知B 正确；
C 选项，由
，得
，当
时，结论不成立，C 错误；
D 选项，由
，得
，由不等式的性质可知
，D 正确.
故选：BD.
10．（24-25 高三上·山东烟台·期中）（多选）已知
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用作差法结合平方差公式判断A 正确；利用不等式的性质可知选项B 错误；通分之后判断分子
和分母的符号可得选项C 正确；举反例说明选项D 错误.
【详解】A.，由
，
得
，
因为
，所以
，即
，选项A 正确.
B.由
，
，
，即
，选项B 错误.
8
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C. 由
，
得
，
因为
，所以
，选项C 正确.
D.令
，则
不成立，选项D 错误.
故选：AC.
易错点02：解分式不等式时转化不等价
典例 （24-25 甘肃兰州·期中）不等式
的解为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解.
【详解】由
，得
，即
，因此
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A
【易错剖析】
本题求解时容易忽略
这一条件而造成化简不等价而出错.
【避错攻略】
1.基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在
此过程中，变形的等价性尤为重要．
2.基本方法：
①通过移项，将分式不等式右边化为零；
②左边进行通分，化为形如
的形式；
③常见同解变形：
9
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（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
易错提醒：求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变
大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
1．（24-25 高三上·北京·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】函数定义域：二次根式被开方数为非负数.
【详解】由题设
，
∴
，
∴
.
故选：D
2．（24-25 高一上·上海·期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
10
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【分析】由
得
或
，进而根据概念直接求解即可.
【详解】解：解不等式
得：
或
，
因为
是
或
的真子集，
所以，
是
或
的充分不必要条件，
即“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解.
【详解】由已知得
，
，
即
故选：
.
1．（24-25 高三上·江苏宿迁·期中）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解出集合
，再根据交集含义即可得到答案.
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【详解】由题意得
，解得
，即
，
则
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】将
化简，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】
或
，
由
成立可以推出
或
，但
或
成立不能推出
，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
3．（24-25 高三上·河南·阶段练习）不等式
的解集为（ ）
A．R
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断分母的正负，再去分母求解即得.
【详解】由
，得
.
故选：C
4．（2024·陕西西安·三模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求解根式不等式，化简集合A，然后再根据集合交集运算规则即可求解.
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【详解】依题意得
，则
．
故选：C.
5．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.
【详解】由
可得
，解之得
或
，
设
：
，对应
，
：
，其解集对应
，
则
是
的充分不必要条件等价于A 是B 的真子集，所以
.
故选：A
6．（24-25 高三上·河南·阶段练习）使不等式
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分式不等式化简可得
或
，即可根据真子集关系求解.
【详解】由
可得
，解得x>2或
，
设不等式
成立的一个必要不充分条件构成的集合是
,
则
是
的一个真子集，结合选项可知
可以为
，
故选：D
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7．（24-25 高三上·上海·期中）不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．
【详解】
,
故答案为：
．
8．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知不等式
的解集为
，若
，则实数
的取值范围为
【答案】
或
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，得到
，再结合
，从而得到
，即可求解.
【详解】由
，得到
，等价于
，
因为
，则有
，即
，解得
或
，
故答案为：
或
.
9．（24-25 高三上·上海浦东新·期中）不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.
【详解】由
，得到
，
等价于
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
14
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易错点03：解含参不等式讨论不全面出错
典例 （24-25 山东高三联考）（多选）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】由
，分类讨论
如下：
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
或
；
当
时，
；
当
时，
或
.
故选：AB.
【易错剖析】
本题在求解过程中对参数a 的分类讨论容易不全面而漏解失分.
【避错攻略】
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)
的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1，或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
∅
15
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的解集
2 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式；
第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象；
第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集．
3 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
【注意】
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
易错提醒：含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，在求解过程紧抓三点就可以
有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的
大小关系是否需要讨论.
1．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）设实数
满足
，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次不等式与二次函数的关系，给合题意，可得答案.
【详解】因为
，所以不等式的解集为
或
.
故选：A.
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2．（23-24 江苏徐州·阶段练习）（多选）对于给定的实数
，关于实数
的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】首先讨论
，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的
解集.
【详解】对于一元二次不等式
，则
当
时，函数
开口向上，与
轴的交点为
，
故不等式的解集为
；
当
时，函数
开口向下，
若
，不等式解集为
；
若
，不等式的解集为
，
若
，不等式的解集为
，
故选：ACD
3．（24-25 高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）已知集合
，
，
则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【分析】讨论
，求集合B，在结合集合关系在各选项的条件下列不等式求
的范围，由此可判断各选项.
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【详解】
.
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
对于选项A，若
，则
，
，故正确.
对于选项B，若
，则
，故
，故正确.
对于选项C，若
，则
，故
，故错误.
对于选项D，若
，则
，故错误.
故选：AB.
1．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知集合
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】由题意确定
,列出不等式即可求解.
【详解】
或
因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以
，
所以
或
.解得:
或
.
故选:C
18
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2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知
，
，且
，那么实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合
，再利用交集的结果列式求解即得.
【详解】不等式
，解得
，
则
，而
，由
，得
，
因此
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：C
3．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）（多选）已知
，关于x 的一元二次不等式
的解
集可能是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】分
，
，
三种情况结合
与
的大小关系讨论，可得不等式的解集.
【详解】当
时，
；
当
时，
或
，故A 正确；
当
时，
，
若
，则解集为空集；
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若
，则不等式的解为：
，故D 正确；
若
，则不等式的解为：
，故C 正确.
故选：ACD
4．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）关于x 的不等式
的解集中恰有4 个
整数，则a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．－1
【答案】AD
【分析】利用已知条件判断
的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可．
【详解】关于
的不等式
的解集中恰有4 个整数，
所以
，因为
时，不等式的解集中的整数有无数多个．
不等式
，对应的方程为：
，
方程的根为：
和
；
由题意知，
，则
，解得
；
当
时，不等式的解集是
，解集中含有4 个整数：0,1,2,3；满足题意．
当
时，不等式的解集是
，解集中含有4 个整数：
,0,1,2；满足题意．
当
时，不等式的解集是
,
，此时
，
解集中含有5 个整数：
,0,1,2,3；不满足题意．
当
时，不等式的解集是
,
，
，
解集中含有整数个数多于4 个，不满足题意．
综上知，
的值可以是
和
．
故选：AD
20
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5．（24-25 高三上·河南安阳·期中）已知不等式
的解集为
.若不存在整数
满足
不等式
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得
，
，然后代入目标不等式化
简即可得解.
【详解】不等式
的解集为
，
则
，且
分别为方程
的两根，
由根与系数的关系，得
即
.
将
代入不等式
，
化简得
，即
.
容易判断
或
时，均不符合题意，所以
.
所以原不等式即为
，
依题意应有
且
，所以
.
故答案为：
6．（2024 高三·全国·专题练习）解关于
的不等式：
（其中
）．
【答案】答案见解析
【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解.
【详解】因为
，不等式可化为
，下面分类讨论：
①当
，即
时，不等式化为
，此时不等式无解；
②当
，即
时，解得
；
21
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③当
，即
时，解得
；
综上：当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
7．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
(1)求
和
的值
(2)求不等式
的解集
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得
.
（2）先因式分解，进而求得不等式的解集.
【详解】（1）依题意，关于
的一元二次不等式
的解集为
所以
，解得
.
（2）由于
，所以不等式
，
即
，由于
，
所以不等式的解集为
，
22
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所以不等式
的解集
.
易错点04：二次型不等式恒成立问题混淆范围
典例（24-25 高三上·山东临沂·期中）“
”是“不等式
在
上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分离参数得到
在
上恒成立，由基本不等式求出
，得到
，根据
，
求出答案.
【详解】不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
其中
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
由于
，
，
故
是不等式
在
上恒成立的必要不充分条件.
故选：B
【易错剖析】
本题求解时容易忽略在
上这一条件而误认为在R 上恒成立而而出错.
【避错攻略】
对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴
上方，恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，解决一元二次不等式中的恒
成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
1、在R 上的恒成立问题
23
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①二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
②二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
③二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
④二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
2、在给定区间上的恒成立问题
方法一：若
在集合
中恒成立，即集合
是不等式
的解集的子集，可以先求解集，再
由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数
的值域为
，
则
恒成立⇒
，即
；
恒成立⇒
，即
.
易错提醒：求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立
（有解）的区间.
1．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为
真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
，分
和
，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出
为真命题，需
满足
，再利用根的判别式得到
为真命题，需满足
，求交集得到答案.
【详解】
恒成立，
当
时，
，满足要求，
24
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当
时，需满足
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
，
，则
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
综上，
的取值范围为
故选：D
2．（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）若函数
的定义域为
，则实数
取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可知，
在R上恒成立，分
、
两种情况讨论，在
时，直接验证
即可；在
时，可得出
，综合可解得实数
的取值范围.
【详解】由题意，函数
的定义域为R，
等价于
在R上恒成立，
若
，则
在R上恒成立，满足条件；
若
，则
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
，
故选：A．
3．（24-25 高三上·山西·阶段练习）若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为
25
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（ ）
A．
B．4
C．5
D．
【答案】B
【分析】由不等式恒成立，确定
，且
，再由基本不等式即可求解.
【详解】当
时，
不可能对任意的
恒成立，不满足要求，
当
时，
开口向下，不满足题意，
所以
，
令
，得
，
当
时，不等式
对任意的
恒成立，
所以
，即
，且
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4.
故选：B.
1．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）命题“
，使得
”成立的一个充分不必
要条件可以是（ ）
A．（0,1）
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将命题转化为二次函数在R 上恒成立问题，然后求出a 的范围，最后利用集合法得出答案.
【详解】
，使得
,等价于
在R 上恒成立，
令
，由二次函数的性质可得
当
时，
恒成立，解得
，
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要想是命题“
，使得
”成立的一个充分不必要条件,
只需要满足为
的子集即可，
四个选项中，只有选项A 满足题意.
故选：A
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知命题
：
，
是假命题，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解.
【详解】由于“
，
”为假命题，
故其否定为“
，
”为真命题，
则
，得
，
故选：D
3．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知关于x 的不等式
在
上有解，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果.
【详解】当
时，由
可得
，
因为
，由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
.
故选：B.
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4．（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上
的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“
”是假命题，
等价于其否定“
”是真命题，
令
，则
对
恒成立，
即
，需满足
，
而
，
，当且仅当
，即
时取等号.
所以
，即
.
故选：A.
5．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）（多选）已知命题
，则命题
成
立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
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【分析】先求出
的充要条件
，再对照四个选项一一判断.
【详解】由命题
：
，
．
故命题
成立的一个充分条件是
的真子集，
对照四个选项，BD 符合要求.
故选：BD．
6．（24-25 高三上·湖南·期中）已知命题：“
”为真命题，则
的取值范围是 ．
【答案】（
]
【分析】先讨论
成立，然后讨论
时，利用二次函数的图像求解即可.
【详解】因为命题“
”为真命题，当
时，
成立，
当
时，则
，解得
，故
的取值范围是
，
故答案为：
7．（24-25 高三上·黑龙江绥化·期中）命题“
”为假命题，则实数
的范围为
.
【答案】
【分析】根据特称、全称命题为假命题，则其否定为真命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即
可.
【详解】若命题“
”为假命题，
则命题“
”为真命题，
由
，
29
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即
，
令
，
由二次函数的性质知，函数
的对称轴为
，
则函数
，在
上单调递减，在
上单调递增，
故
时，
，
因此可得
，
故答案为：
.
8．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知关于
的不等式
在
上恒成立，
则实数
的取值集合为 ；
【答案】
【分析】令
可得
，解得
，进而分析可知原不等式等价于
在x∈(0,+ ∞)上恒成立，结合二次函数分析求解即可.
【详解】因为不等式
在
上恒成立，
令
可得
，解得
，
若
，则
在
上恒成立，
原不等式等价于
在x∈(0,+ ∞)上恒成立，
因为二次函数
的图像开口向上，对称性
，
当
，即
时，
则
在
上恒成立，符合题意；
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当
，即
时，则
，
可知
，符合题意；
综上所述：
的取值集合为
.
故答案为：
.
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将区间里的存在性问题转化为函数的最值问题,结合二次不等式解法可解.
【详解】存在
，使得
，即当
时，
．
函数
图象的对称轴为直线
，所以
在区间
上单调递增，
所以当
时，
．
由
，即
．
解得
，所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
10．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，
．
(1)若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对任意
，存在
，使得
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）变形为
，
，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出答案；
（2）
在
上的值域包含
在
上的值域，其中
，分
和
，
得到
在
上的值域，根据包含关系得到不等式，得到答案.
【详解】（1）
，
，
需满足
，解得
，
故
的取值范围为
.
（2）对任意
，存在
，使得
，
故
在
上的值域包含
在
上的值域，
其中
时，
，
的对称轴为
，
若
，则
在
上单调递增，
故
，
但
不会是
的子集，舍去；
当
时，则
在
上单调递减，
故
，
是
的子集，则
，解得
，
综上，
的取值范围是
.
32
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易错点05：多变量不等式中混淆主元出错
典例 （24-25 齐鲁名校共同体联考）已知函数
是定义在
，
上的奇函数，对于任意
，
，
，
总有
且
（1 ）
．若对于任意
，
，存在
，
，使
成立，则实数的取值范围是
A．
B．
或
C．
或
D．
或
或
【解析】解：
是定义在
，
上的奇函数，
当
、
，
，且
时，有
，
函数
在
，
上单调递增．
（1）
，
的最小值为
（1）
，最大值为
（1）
，
若对于任意
，
，存在
，
，使
成立，
即
对所有
，
恒成立，
，
设
（a）
，则满足
，即
，
或
或
，
故选：
．
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【易错剖析】
因为题设条件中含有两个变量的取值范围，易分不清主元而出错，此时可依次设定主元进行求解.
【避错攻略】
关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一
个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。
易错提醒：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主
元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范
围列式求解。
1．（24-25 年高三专题训练）已知对任意
，
恒成立，则实数x 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对任意
，不等式
恒成立，
即对任意
，
恒成立，
所以对任意
，
恒成立，
所以对任意
，
，
所以
，解得
，
34
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故实数x 的取值范围是
．
故选：D．
2．设
当
时
恒成立，则
的取值范围是
．
【解析】解：
是奇函数且为增函数，
由
得
，
则
，
当
时，不等式等价为
，此时
，
当
时，
，
此时不等式等价为
，
，
，
故答案为：
3．已知二次函数
，对任意
都有
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若对于
，不等式
恒成立，求x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）因为
，所以函数
关于
对称，
则
，解得
，
所以
；
（2）不等式
即为
，
当
时，则
恒成立，
而
，
所以
，即
，
因为
，
所以
；
当
时，
恒成立，此时
；
当
时，则
恒成立，
而
，
所以
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
．
1．（24-25 河北石家庄三中月考）已知任意
，
，若存在实数
使不等式
对任意的
，
恒成立，则
A．
的最小值为4
B．
的最小值为6
C．
的最小值为8
D．
的最小值为10
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【解析】解：由题意可得
，可得
等价为
，
又
时，不等式显然成立，只需考虑
，
可得
，
由任意
，
，即
，
，
可得
即
对
恒成立，
由
在
，
递增，可得函数
在
处取得最大值6，
则
，①
又
即
对
恒成立，
而
在
，
的最小值为
处取得，可得最小值为
，
可得
，则
，②
故由①②可得
，即
的最小值为6，
故选：
．
2．已知
时，不等式
恒成立，则x 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，因为当
，不等式
恒成立，
可转化为关于a 的函数
，
则
对任意
恒成立，
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则满足
，
解得
，
即x 的取值范围为
．
故答案为：
3．设二次函数
.
(1)若对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若存在
，使得函数值
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对任意实数
恒成立，
即
对任意实数
恒成立，
因为
是关于
的一次函数，
所以
所以实数
的取值范围是
；
（2）存在
，使得
成立，即
，
只需
成立，即需
成立，
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因为
所以
（当且仅当
时等号成立），
则
，
所以
，
综上得实数
的取值范围是：
.
4．已知二次函数
（
，
为实数）
(1)若
时，
且对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
时，
且对
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）将
，
代入得
∴
对
恒成立，
即
对
恒成立，
当
时，由于
在
上单调递增，故
，
∴
，
，
令
，
则
，
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当且仅当
，即
时等号成立，
∴
；
（2）由题意
，
变更主元：令
为主元，视
为参数，
令
，对
，
恒成立，
故只需
，即
，
解得
.
题型二 基本不等式
易错点06：基本不等式求最值忽略前提条件
典例 14．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值
代
入检验.
【详解】对于选项A：令
，可得
，
所以4 不是
的最小值，故A 错误；
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对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项C：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为4，故C 正确；
对于选项D：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
但
，所以
的最小值不为4，故D 错误；
故选：BC.
【易错剖析】
如果忽略“一正”的判断容易错选A；如果忽略“等号”的检验容易错选D.
【避错攻略】
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(沟通两和
与两平方和
的不等关系式)
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②
(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
（4）③
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对
不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数
或加上一个数，“1”的代换法等.
易错提醒：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
注意：形如
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
单调性求解．
1．（24-25 高三上·北京·阶段练习）
的值可以为（ ）
A．−8
B．
C．8
D．9
【答案】B
【分析】分
，
两种情况求得
的取值范围，可得结论.
42
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【详解】当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的取值范围为
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
【答案】C
【分析】将目标式化为
，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条
件.
【详解】由
，则
、
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为6.
故选：C
3．（24-25 高三上·上海嘉定·期中）已知
，则下列结论不恒成立的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用特殊值、绝对值不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，当
时，
，所以A 选项错误.
B 选项，
，
所以
，所以B 选项正确.
C 选项，
，
当且仅当
时等号成立，所以C 选项正确.
D 选项，
，
当且仅当
时等号成立，所以D 选项正确.
故选：A
1．（24-25 高三上·广东清远·阶段练习）函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于
，所以
，
故
，
44
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当且仅当
，即
时取等号，故函数的最小值为5.
故选：D.
2．（24-25 高三上·天津滨海新·期中）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．7
C．15
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
，对
变形可得原式
，再利用乘“1”法及基本不
等式计算可得.
【详解】
，
且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
.
故选：C．
3．（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】D
【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【详解】由
可得
，因
，则
，
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于是
，
因
，当且仅当
时等号成立，
即
，
时，
的最小值为
.
故选：D.
4．（24-25 高一上·四川成都·期中）若不等式
在区间[0,1]上恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】解：令
，因为
，则
，
所以原不等式等价于
在
上恒成立；
令
，
在
时单调递减，在
时单调递增，
所以当
时，
，
若
在
上恒成立，则
，所以
.
故选：A
5．（2024·福建·三模）（多选）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】BCD
【分析】A 由二次函数性质判断；B 利用指数函数性质，结合基本不等式求最小值；C 应用三角恒等变换
得
，结合正弦型函数性质判断；D 函数化为
，应用基本不等式求最小值判断.
【详解】A：
，不符；
B：
，当且仅当
时等号成立，符合；
C：
，则
，故
，符合；
D：
且
，故
，
所以
，当且仅当
时等号成立，符合.
故选：BCD
7．（24-25 高三上·四川成都·期中）（多选）正实数
，
满足
，则下列选项一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式、函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，
，当且仅当
时等号成立，A 选项错误.
B 选项，
，
当且仅当
时等号成立，所以B 选项正确.
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C 选项，
，
，当且仅当
时等号成立，
函数
在
上单调递减，最小值为
，
所以当
时，
有最小值为
，
而
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以C 选项正确.
D 选项，
，当且仅当
时等号成立，D 正确.
故选：BCD
8．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）（多选）设
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】AC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式
判断即可，对于C，
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利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为
，
，
，则
，
当且仅当
时取等号，故A 正确；
对于B，因为
，故
，当且仅当
时取等号，
即
的最小值
，故B 不正确；
对于C，
，
当且仅当
且
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为9，故C 正确；
对于D，
，故
，
当且仅当
时取等号，即
的最大值
，故D 错误.
故选：AC
9．设
且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
，
所以
，
因为
，
所以由基本不等式得
，
49
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当且仅当
即
时，等号成立，
综上所述：
的最小值是
.
故答案为：.
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