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专题02 不等式与基本不等式
目 录
题型一：不等式性质及解法
易错点01 忽略不等式性质成立的前提条件
易错点02 解分式不等式时变形不等价
易错点03 一元二次型不等式恒成立问题混淆范围
易错点04 解含参不等式讨论不全
易错点05 多变量不等式问题混淆主元
题型二 基本不等式
易错点06 基本不等式求最值忽略前提条件
题型一：不等式性质及解法
易错点01：忽略不等式性质成立的前提条件
典例 2．（24-25 高三上·上海·期中）若
、
、
，
，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质和反例即可判断.
【详解】对于AB：取
，满足
，显然
，
不成立，错误；
对于C：因为
，所以
，正确；
对于D：取
，显然
不成立，错误，
故选：C
1
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【易错剖析】
在应用不等式性质进行判断时，若忽略a,b 是否同号，容易错选A，若忽略a,b 不一定同大于零，容易错选
B，由于忽略c 是否为零，容易错选D.
【避错攻略】
1 不等式的性质及推论
性质1：不等式的传递性：设a，b，c 均为实数，如果a>b 且b>c，那么 a>c
性质2：不等式的加法性质：设a，b，c 均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c
性质3：不等式的乘法性质：设a，b，c 均为实数，如果a>b 且c>0，那么ac>bc，如果a>b 且c<0，那么
ac<bc
推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
【提醒】（1）不等式的性质3 中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；
（2）推论1 逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
（3）推论3、推论5、推论6、推论7 中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得
同向不等式，并无相除式．
2 判断不等关系成立的常用方法：
（1）直接利用不等式的性质进行推理判断.；
（2）比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0 的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、
判断商式与1 的大小、下结论.
（3）构造函数利用函数的单调性；
（4）特殊值排除法.
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前
提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基
础，后者一般是解不等式的理论基础．
2
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1．（24-25 高三上·河北沧州·期中）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·福建泉州·一模）若实数
，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·山东泰安·期中）（多选）已知a，b，
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
1．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·四川泸州·阶段练习）若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·山东临沂·期中）已知非零实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·广东·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
5．（24-25 高三上·重庆·期中）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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6．（24-25 高三上·山东聊城·期中）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
8．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
9．（24-25 高三上·河南安阳·期中）（多选）已知
为实数，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（24-25 高三上·山东烟台·期中）（多选）已知
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点02：解分式不等式时转化不等价
4
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典例 （24-25 甘肃兰州·期中）不等式
的解为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解.
【详解】由
，得
，即
，因此
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A
【易错剖析】
本题求解时容易忽略
这一条件而造成化简不等价而出错.
【避错攻略】
1.基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在
此过程中，变形的等价性尤为重要．
2.基本方法：
①通过移项，将分式不等式右边化为零；
②左边进行通分，化为形如
的形式；
③常见同解变形：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
5
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易错提醒：求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变
大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
1．（24-25 高三上·北京·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·上海·期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（24-25 高三上·江苏宿迁·期中）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
3．（24-25 高三上·河南·阶段练习）不等式
的解集为（ ）
6
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A．R
B．
C．
D．
4．（2024·陕西西安·三模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·河南·阶段练习）使不等式
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·上海·期中）不等式
的解集为 .
8．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知不等式
的解集为
，若
，则实数
的取值范围为
9．（24-25 高三上·上海浦东新·期中）不等式
的解集为 ．
易错点03：解含参不等式讨论不全面出错
典例 （24-25 山东高三联考）（多选）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
7
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【详解】由
，分类讨论
如下：
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
或
；
当
时，
；
当
时，
或
.
故选：AB.
【易错剖析】
本题在求解过程中对参数a 的分类讨论容易不全面而漏解失分.
【避错攻略】
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)
的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1，或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
2 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式；
第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象；
第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集．
3 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
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【注意】
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
易错提醒：含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，在求解过程紧抓三点就可以
有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的
大小关系是否需要讨论.
1．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）设实数
满足
，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
2．（23-24 江苏徐州·阶段练习）（多选）对于给定的实数
，关于实数
的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）已知集合
，
，
则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
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C．若
，则
D．若
，则
1．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知集合
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知
，
，且
，那么实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）（多选）已知
，关于x 的一元二次不等式
的解
集可能是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）关于x 的不等式
的解集中恰有4 个
整数，则a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．－1
5．（24-25 高三上·河南安阳·期中）已知不等式
的解集为
.若不存在整数
满足
不等式
，则实数
的取值范围是 .
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6．（2024 高三·全国·专题练习）解关于
的不等式：
（其中
）．
7．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
(1)求
和
的值
(2)求不等式
的解集
易错点04：二次型不等式恒成立问题混淆范围
典例（24-25 高三上·山东临沂·期中）“
”是“不等式
在
上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分离参数得到
在
上恒成立，由基本不等式求出
，得到
，根据
，
求出答案.
【详解】不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
其中
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
由于
，
，
故
是不等式
在
上恒成立的必要不充分条件.
故选：B
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【易错剖析】
本题求解时容易忽略在
上这一条件而误认为在R 上恒成立而而出错.
【避错攻略】
对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴
上方，恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，解决一元二次不等式中的恒
成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
1、在R 上的恒成立问题
①二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
②二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
③二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
④二次型不等式
在
上恒成立或者解集为
时，满足
或
2、在给定区间上的恒成立问题
方法一：若
在集合
中恒成立，即集合
是不等式
的解集的子集，可以先求解集，再
由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数
的值域为
，
则
恒成立⇒
，即
；
恒成立⇒
，即
.
易错提醒：求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立
（有解）的区间.
1．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为
真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）若函数
的定义域为
，则实数
取值范
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围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·山西·阶段练习）若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．5
D．
1．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）命题“
，使得
”成立的一个充分不必
要条件可以是（ ）
A．（0,1）
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知命题
：
，
是假命题，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知关于x 的不等式
在
上有解，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）（多选）已知命题
，则命题
成
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立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·湖南·期中）已知命题：“
”为真命题，则
的取值范围是 ．
7．（24-25 高三上·黑龙江绥化·期中）命题“
”为假命题，则实数
的范围为
.
8．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知关于
的不等式
在
上恒成立，
则实数
的取值集合为 ；
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，
则实数a 的取值范围是 ．
10．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，
．
(1)若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对任意
，存在
，使得
，求
的取值范围．
易错点05：多变量不等式中混淆主元出错
典例 （24-25 齐鲁名校共同体联考）已知函数
是定义在
，
上的奇函数，对于任意
，
，
，
总有
且
（1 ）
．若对于任意
，
，存在
，
，使
成立，则实数的取值范围是
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A．
B．
或
C．
或
D．
或
或
【解析】解：
是定义在
，
上的奇函数，
当
、
，
，且
时，有
，
函数
在
，
上单调递增．
（1）
，
的最小值为
（1）
，最大值为
（1）
，
若对于任意
，
，存在
，
，使
成立，
即
对所有
，
恒成立，
，
设
（a）
，则满足
，即
，
或
或
，
故选：
．
【易错剖析】
因为题设条件中含有两个变量的取值范围，易分不清主元而出错，此时可依次设定主元进行求解.
【避错攻略】
关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一
个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。
易错提醒：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主
元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范
围列式求解。
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1．（24-25 年高三专题训练）已知对任意
，
恒成立，则实数x 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
当
时
恒成立，则
的取值范围是
．
3．已知二次函数
，对任意
都有
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若对于
，不等式
恒成立，求x 的取值范围．
1．（24-25 河北石家庄三中月考）已知任意
，
，若存在实数
使不等式
对任意的
，
恒成立，则
A．
的最小值为4
B．
的最小值为6
C．
的最小值为8
D．
的最小值为10
2．已知
时，不等式
恒成立，则x 的取值范围为 ．
3．设二次函数
.
(1)若对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若存在
，使得函数值
成立，求实数
的取值范围.
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4．已知二次函数
（
，
为实数）
(1)若
时，
且对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
时，
且对
，
恒成立，求实数
的取值范围．
题型二 基本不等式
易错点06：基本不等式求最值忽略前提条件
典例 14．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值
代
入检验.
【详解】对于选项A：令
，可得
，
所以4 不是
的最小值，故A 错误；
对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项C：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为4，故C 正确；
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对于选项D：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
但
，所以
的最小值不为4，故D 错误；
故选：BC.
【易错剖析】
如果忽略“一正”的判断容易错选A；如果忽略“等号”的检验容易错选D.
【避错攻略】
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(沟通两和
与两平方和
的不等关系式)
②
(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
（4）③
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
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3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对
不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数
或加上一个数，“1”的代换法等.
易错提醒：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
注意：形如
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
单调性求解．
1．（24-25 高三上·北京·阶段练习）
的值可以为（ ）
A．−8
B．
C．8
D．9
2．（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
3．（24-25 高三上·上海嘉定·期中）已知
，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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1．（24-25 高三上·广东清远·阶段练习）函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（24-25 高三上·天津滨海新·期中）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．7
C．15
D．
3．（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．6
C．
D．
4．（24-25 高一上·四川成都·期中）若不等式
在区间[0,1]上恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·福建·三模）（多选）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·四川成都·期中）（多选）正实数
，
满足
，则下列选项一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）（多选）设
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
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A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
9．设且，则的最小值是 ．
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