26秋十 9月月考真题 补充练习2 讲解与解析(附手写识别文字解析)

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26秋十 · 9月月考真题 补充练习 · 手写解答

第 2 节 · 练习 2 · 共 5 题

第 2 节 · 练习 2

第 1 题

▍题目

1. 已知关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥²+2𝑏𝑥+4≤ 0 的解集为 {𝑥| 𝑚≤ 𝑥≤ 4𝑚}，其中 𝑚<0，则 𝑏 的最小值为（C）

A. −2

B. 1

C. 2

D. 52

▍答案

C（𝑏ₘᵢₙ=2）

▍解析

由解集知 𝑎>0，且 𝑚 与 4𝑚 是方程 𝑎𝑥²+2𝑏𝑥+4=0 的两根。

由根与系数的关系：𝑚· 4𝑚=4=4𝑎，得 𝑎=1；又 𝑚+4𝑚=−2𝑏𝑎=−2𝑏。

∵ 𝑚<0，令 𝑚=−𝑡（𝑡>0），则 2𝑏=−𝑚−4𝑚=𝑡+4𝑡≥ 2√4=4，故 𝑏≥ 2。

当且仅当 𝑡=2，即 𝑚=−2 时取等号，此时 𝑏=2（𝑥²+4𝑥+4≤ 0 的解集为 {−2}，符合题意）。

∴ 𝑏 的最小值为 2，选 C。

第 2 题

▍题目

2. 对于使 −𝑥²+2𝑥≤ 𝑀 成立的所有常数 𝑀 中，我们把 𝑀 的最小值叫做 −𝑥²+2𝑥 的上确界。若 𝑎>0，𝑏>0 且 𝑎+𝑏=1，则 −12𝑎−2𝑎𝑏 的上确界为（B）

A. −92

B. −52

C. −32

D. −4

▍答案

B（−52）

▍解析

由 𝑎+𝑏=1 得 12𝑎=𝑎+𝑏2𝑎=12+𝑏2𝑎。

−12𝑎−2𝑎𝑏=−(12+𝑏2𝑎)−2𝑎𝑏=−(𝑏2𝑎+2𝑎𝑏)−12。

∵ 𝑏2𝑎+2𝑎𝑏≥ 2√𝑏2𝑎· 2𝑎𝑏=2，当且仅当 𝑏2𝑎=2𝑎𝑏，即 𝑏=2𝑎，得 𝑎=13、𝑏=23 时取等，

∴ −12𝑎−2𝑎𝑏≤ −2−12=−52，即上确界为 −52，选 B。

第 3 题

▍题目

(多选) 8. 若 𝑎>0，𝑏>0，𝑎+𝑏=2，则下列命题中正确的是（ACD）

A. 𝑎𝑏 的最大值为 1

B. 1𝑎+1𝑏 的最大值为 2

C. 2𝑎²+3𝑏² 的最小值为 245

D. 1𝑎+1+1𝑏 的最小值是 43

▍答案

ACD

▍解析

A：由 (𝑎+𝑏)²≥ 4𝑎𝑏 得 𝑎𝑏≤ (𝑎+𝑏)²4=1，当且仅当 𝑎=𝑏=1 时取等，故 A 正确。

B：1𝑎+1𝑏=12(1𝑎+1𝑏)(𝑎+𝑏)=12(2+𝑏𝑎+𝑎𝑏)≥ 12(2+2)=2，即 1𝑎+1𝑏 的最小值为 2，故 B 错误。

C：把 𝑏=2−𝑎 代入得 2𝑎²+3𝑏²=2𝑎²+3(2−𝑎)²=5𝑎²−12𝑎+12=5(𝑎−65)²+245，故最小值为 245，C 正确。

D：由 𝑎+𝑏=2 得 (𝑎+1)+𝑏=3，1𝑎+1+1𝑏=13(1𝑎+1+1𝑏)[(𝑎+1)+𝑏]=13(2+𝑏𝑎+1+𝑎+1𝑏)≥ 13(2+2)=43，当且仅当 𝑎+1=𝑏，即 𝑎=12、𝑏=32 时取等，D 正确。

第 4 题

▍题目

已知 𝑎>0，𝑏>0，且 2𝑎+𝑏=1，求：

(1) 𝑎²+𝑏² 的最小值；

(2) 𝑏𝑎+1𝑏 的最小值；

(3) 𝑎𝑏𝑎²−𝑏+2 的最大值。

▍答案

(1) 15；(2) 2√2+1；(3) 112。

▍解析

(1) 把 𝑏=1−2𝑎 代入得 𝑎²+𝑏²=𝑎²+(1−2𝑎)²=5𝑎²−4𝑎+1=5(𝑎−25)²+15，当 𝑎=25、𝑏=15 时取最小值 15。

(2) 𝑏𝑎+1𝑏=𝑏𝑎+2𝑎+𝑏𝑏=𝑏𝑎+2𝑎𝑏+1≥ 2√𝑏𝑎· 2𝑎𝑏+1=2√2+1，当且仅当 𝑏𝑎=2𝑎𝑏，即 𝑏=√2𝑎，结合 2𝑎+𝑏=1 得 𝑎=1−√22、𝑏=√2−1 时取等。

(3) 把 𝑏=1−2𝑎 代入得 𝑎𝑏𝑎²−𝑏+2=𝑎(1−2𝑎)𝑎²−(1−2𝑎)+2=𝑎−2𝑎²(𝑎+1)²。

令 𝑡=1𝑎+1∈(0,1)，则 𝑎−2𝑎²(𝑎+1)²=−3𝑡²+5𝑡−2=−3(𝑡−56)²+112。

当 𝑡=56，即 𝑎=15、𝑏=35 时取最大值 112。

第 5 题

▍题目

设非空数集 𝑀⊆ ℝ，若 ∀ 𝑥,𝑦∈ 𝑀，都有 𝑥𝑦∈ 𝑀，则称 𝑀 是一个“乘法封闭集”；若 ∃ 𝑥∈ 𝑀，有 1𝑥∈ 𝑀，则称 𝑥 为 𝑀 的一个“完美元素”。

(Ⅰ) 已知含有两个元素的集合 𝑀 是一个“乘法封闭集”，求集合 𝑀；

(Ⅱ) 已知集合 𝐴={𝑥| 𝑥=𝑎+√3𝑏, 𝑎∈ ℤ, 𝑏∈ ℤ}。(i) 判断集合 𝐴 是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由；(ii) 若 𝑚+√3𝑛（𝑚,𝑛∈ ℤ）是集合 𝐴 的一个“完美元素”，求 𝑚²−3𝑛² 的值。

▍答案

(Ⅰ) 𝑀={0,1} 或 𝑀={−1,1}；

(Ⅱ)(i) 𝐴 是乘法封闭集；(ii) 𝑚²−3𝑛²=1。

▍解析

(Ⅰ) 设 𝑀={𝑥,𝑦} 且 𝑥<𝑦。由乘法封闭知 𝑥𝑦、𝑥²、𝑦² 都在 𝑀 中。

① 若 𝑥𝑦=𝑥，则 𝑥(𝑦−1)=0，即 𝑥=0 或 𝑦=1。

　当 𝑥=0 时，由 𝑦²∈ 𝑀 得 𝑦²=𝑦，故 𝑦=1（𝑦=0 舍），得 𝑀={0,1}；

　当 𝑦=1 时，由 𝑥²∈ 𝑀 得 𝑥²=𝑥 或 𝑥²=1，解得 𝑥=0（𝑥=1 舍）或 𝑥=−1（𝑥=1 舍），得 𝑀={0,1} 或 𝑀={−1,1}。

② 若 𝑥𝑦=𝑦，则 𝑦(𝑥−1)=0，即 𝑥=1 或 𝑦=0，均与 𝑥<𝑦 矛盾，舍去。

综上，𝑀={0,1} 或 𝑀={−1,1}。

(Ⅱ)(i) 𝐴 是乘法封闭集。证明：设 𝑥₁=𝑎₁+√3𝑏₁∈ 𝐴，𝑥₂=𝑎₂+√3𝑏₂∈ 𝐴（𝑎₁,𝑎₂,𝑏₁,𝑏₂∈ ℤ），

则 𝑥₁𝑥₂=(𝑎₁𝑎₂+3𝑏₁𝑏₂)+(𝑎₁𝑏₂+𝑎₂𝑏₁)√3。

∵ 𝑎₁𝑎₂+3𝑏₁𝑏₂∈ ℤ，𝑎₁𝑏₂+𝑎₂𝑏₁∈ ℤ，∴ 𝑥₁𝑥₂∈ 𝐴，即 𝐴 是乘法封闭集。

(ii) 由题意 1𝑚+√3𝑛∈ 𝐴，而 1𝑚+√3𝑛=𝑚−√3𝑛𝑚²−3𝑛²=𝑚𝑚²−3𝑛²−𝑛𝑚²−3𝑛²√3，

∴ 𝑚𝑚²−3𝑛²∈ ℤ，𝑛𝑚²−3𝑛²∈ ℤ，从而 1𝑚²−3𝑛²∈ ℤ，得 𝑚²−3𝑛²=± 1。

若 𝑚²−3𝑛²=−1，则 𝑚²+1=3𝑛²，即 𝑚²+1 是 3 的倍数；但 𝑚² 除以 3 的余数只能为 0 或 1，故 𝑚²+1 除以 3 的余数为 1 或 2，矛盾。

∴ 𝑚²−3𝑛²=1。

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