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独家解析|2026年全国高中数学联赛试题解析
独家解析|2026年全国高中数学联赛试题解析
值得先看向量之间的关系。由数量积与模长的条件注意到\(\vecy=2\vecx\)，所求数量积就能一步得到。它主要考查对数量积性质的理解，作为开篇题比较合适。 知识要求不高，重点是读清集合的定义。取并集时，重复出现的完全平方数只计一次；按顺序检查新的平方数何时加入，就能确定个数的奇偶性。题目比较朴素，但并非完全不用留意细节。 先由双曲线条件确定焦点，再利用中心对称确定两条平行线的方向。圆锥曲线部分的计算较轻，主要思路落在后面的几何关系上。结合解答题的安排，本卷对圆锥曲线性质的考查确实较浅。 从比较虚部入手，就能把复数问题化为实数方程，方法比较常规。后续去根号时要留意符号条件，并检验所得结果。入手不难，但计算仍需细心。 需要先把小数部分处理清楚。利用较大数减去较小数后小数部分不变的特点，可以缩小讨论范围，再通过单调性比较两数的比值。最后还要结合整数条件和“不超过30”的限制确定最大值。关键在于前面的化简和最后的整数比较，单调性判断本身较为直接。 适合考虑对立事件。难点是把反面情形列全，并说明为什么不会有其他染色方式。这里需要利用正方体各面共棱、共顶点的关系，最终确定剩下六条棱只能交替染色。分类的理由比最后的概率计算更费功夫。 第10题先通过截面确定小球半径，再把球心的位置限制在同一圆周上，转化为角度间隔的比较。最后要严格说明9个可以放下、10个不能放下。题目的计算量不算大，但从相切关系到最大个数，每一步都需要有清楚的理由。 第11题的难点在于把几步推理完整地接起来。相邻项之差为\(\pm1\)，使所选等比数列相邻两项的差成为非零整数，进而可以证明公比为有理数；随后才能利用整除关系估计数列长度。求出最短长度后，还要分析取等条件，找全所有最短数列，并考虑公比的正负及倒序情形。它对计算技巧的要求不算突出，但对论证和计数的完整性要求较高。 今年的题目难度整体适中，题目顺序相较之前有比较大的变化，数论放到第一题对于刚入门的同学并不是很友好，增大了拿分的难度，但与此同时，第三第四题虽然难度不低，但都有至少10分是较为好拿的，入门的同学也有充足的拿分机会。试卷前两题难度相对不大，主要区分度在第三题和第四题的处理上。 难度不大，用到了数论经典的取最小素因子的处理方法，没有用到其他数论结论，主要考察的是分析问题的思路和能力。 几何题相对简单。用到了常见的关于垂心和外心的性质结论，剩下的部分就是水到渠成的。对于不熟悉这个结论的同学而言这个题目或许较为难处理，强调了对于基本几何性质的积累。 是一道代数题，这道题不需要用到常见不等式，考察的是代数放缩的功底和基本问题的处理能力。因为不等式比较松，有很多处理方法，只要能够分段处理并具备扎实的基本功，基本可以拿到很大部分的分数。当然在放缩过程中也涉及到很多琐屑的部分。作为一道联赛第三题，对于代数的基本思维，考场时间的把控和平衡都提出了很高的要求。 组合题难度较大。奇数情况较为简单，偶数情况需要通过从比较小的例子出发找出答案然后完成证明。最终答案的放缩证明是相对自然的，但是由于时间的原因，在考场上完整的完成对学生的水平要求非常高。当然，如果能够解决特例，也会得到一部分的分数，这对于拿分还是相对友好的，也增大了试题的区分度。 
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一试试题解析
这份一试A卷前六道填空的思路较为常规，第7、8题对观察和分析的要求有所提高。解答题中，第9题较为直接，第10题需要把几何关系和数量限制说清楚，第11题则对论证的完整性提出了更高要求。
第一题
第二三题
第二题
都属于常规题。第2题用等差数列的通项式整理条件即可，注意分清项的下标与前面的系数。第3题利用两角和的正切公式，将所求式化成两个已知量倒数之和，计算也很简短。
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第9题的思路很直接：换底后消去对数项，再用基本不等式求下界。完整作答还要给出取等时的\(x,y\)，说明所得下界确实能够达到。这是一道适合放在解答题开头的题目。
第十题
第十一题
二试试题解析
第一题
第二题
第三题
第四题