每日一题第2877题(2026年全国高中数学联赛贵州预赛解答14)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联贵州预赛的解答题的第14题，难度中等。

题干中给出了单位正方体中有一个四面体ABCD，然后棱AB，CD的中点是E,F，要求AB·CD·EF≤2，这里的取等其实很简单，就是正方体中的正四面体，棱长AB，CD长度都是根号2，EF长度是1。

在处理的时候要让四面体在正方体内部，也就是四面体的顶点到中心的距离肯定是要小于正方体的半对角线的，同时要让中点尽可能的好表示出来，所以这里考虑用向量来表示，所以取正方体中心O，然后OA，OB，OC，OD记为四个向量a,b,c,d，那么OE和OF就是a+b和c+d的一半，AB和CD又是a-b和c-d，同时a,b,c,d四个向量的模长也有范围，在有了这些元素之后，肯定优先考虑极化恒等式，能把这些元素都综合起来。

但是其中有一个a+b和c+d的模不好求范围，因为是OE和OF的2倍，不清楚延长出去之后是什么情况，但是反过来想，因为E，F都在内部，如果不延长OE，OF，而是反向延长EO，FO，得到的点E0和F0肯定也是在内部，并且还会形成一个平行四边形，那么平方和又可以用极化恒等式来处理，这样就可以得到一个AB，CD，EF三边平方和的关系，用一个均值就可以变成乘积了。