七下习题10.2:二果同价怎么解?999文买1000个果

教材原题｜习题10.2 拓广探索第12题

我国明代数学家程大位（1533—1606）所著《算法统宗》中记载了“二果同价”问题：

九百九十九文钱，甜果苦果买一千。 甜果九个十一文，苦果七个四文钱。 试问甜苦果几个，又问各该几个钱。

意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少钱？请你解决这个问题。

同学们，古代算题读起来像一首诗，解题时却要一句一句翻译成数量关系。本题抓住两条线索就够了：果子的总个数是一千，总费用是九百九十九文。我们用二元一次方程组，把两种果子的数量同时求出来。

先猜一猜

“甜果九个十一文”，每个甜果是9÷11文，还是11÷9文？999文买1000个果，是不是每个都卖0.999文？先分清一种果的单价与混合买入后的平均价格。

01 · 先读懂“九个十一文”

先算单价：用钱数除以个数

九个甜果共十一文，所以每个甜果的单价为11÷9＝11/9文。七个苦果共四文，所以每个苦果的单价为4÷7＝4/7文。分子是钱数，分母是个数，含义是“每一个要多少钱”。

这里的分数是精确值，不需要先化成小数。若把单价取近似值再列方程，误差会被几百个果子的数量放大，最后就可能得不到整数个数。

999÷1000得到的是这批果子的平均费用，不是每个甜果、每个苦果各自的单价。两种果的价格不同，不能把平均数分别套给它们。

02 · 总数一条，总钱一条

设两个未知数，列两条等量关系

设买了甜果x个、苦果y个。由“共买一千个”可列：x＋y＝1000。由“共花九百九十九文”可列：(11/9)x＋(4/7)y＝999。

第一个方程比较的是个数，第二个比较的是钱数。其中(11/9)x是甜果总费用，(4/7)y是苦果总费用。每一项都能说清含义，列出的方程才有依据。

还要记住，x、y表示果子的个数，求出的结果应当是符合题意的非负整数。本题确实购买了两种果，最终两种数量都应大于零。

03 · 去分母，再让同一个未知数消失

分母有9和7，怎样消元最清楚？

先把费用方程两边同时乘63，去掉分母，得到77x＋36y＝62937。再把个数方程两边同时乘36，得到36x＋36y＝36000。

两个新方程中的36y相同，用前一个减去后一个，就把y消去了：41x＝26937。解得x＝657。代入x＋y＝1000，得到y＝343。

所以买了甜果657个、苦果343个。消元的目的，是把两个未知数的方程组转化为只含一个未知数的一元一次方程，而不是看到分数就急着按计算器。

去分母时，右边也必须乘

把费用方程乘63时，左边的两个项与右边的999都要乘63。只处理分数、不处理右边，会破坏等式。相减时也要整式对应相减，不能只减未知数项而漏掉常数项。

原题答案｜数量与单价分别写

甜果买了657个，苦果买了343个。每个甜果卖11/9文，每个苦果卖4/7文。这里的单价按题设比例表示，不必为了写成整数而擅自改变价格。

诗句还问“各该几个钱”，可以一并补全：甜果共花657÷9×11＝803文；苦果共花343÷7×4＝196文。单价与一类果子的总费用，是不同的问题。

04 · 个数、费用、实际意义都要验

怎样检验，才算回到了原题？

先验总数：657＋343＝1000。再验总钱：803＋196＝999。还可以按原来的售卖组合核对：657个甜果是73组九个，花73×11＝803文；343个苦果是49组七个，花49×4＝196文。

两种数量都为正整数，两条等量关系也都满足，答案才算完整。只检查相加等于一千是不够的，因为很多不同搭配都能凑出一千个，未必刚好花九百九十九文。

换成“组数”设未知数，可以吗？

可以作为另一种理解：若按九个甜果为一组、七个苦果为一组，设组数为a、b，就得到9a＋7b＝1000，11a＋4b＝999。这里组数与个数的含义不同，不能把两个模型里的字母混着用。

第一式乘4，第二式乘7，再相减，得41a＝2993，解得a＝73，继而b＝49。于是甜果9×73＝657个，苦果7×49＝343个，与前面的结果一致。先按个数建模更直接，组数法帮助理解题中价格的表达。

为什么消元时选乘三十六？因为去分母后的费用方程中，苦果数量的系数已经是三十六；把个数方程也乘三十六，就能让两式中的这一项完全相同，相减时正好消去。选择倍数有明确目的，不是随意放大数字。

如果想消去甜果数量，也可以把个数方程乘七十七，再与费用方程比较。无论选择哪一个未知数先消去，最后都应得到相同答案。学会解释每一步的目的，比记住这一题的数字更有用。

名师方法｜翻译、建模、消元、检验

读古文先把钱数、个数、单价分开；设未知数时注明表示什么；列方程时找不同的等量关系；消元后既检验计算，也检验结果是否符合实际意义。

当堂检测

1. 九个甜果十一文，十八个甜果要多少文？ 2. 已知甜果657个，为什么不能只用“总数1000”就结束检验？ 3. 803文是甜果的单价还是总费用？

想好再看：22文；还必须核对总费用是否为999文；是657个甜果的总费用。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十章第100页，习题10.2“拓广探索”第12题。古题文字按教材呈现，图表为教学绘制。

诗句读懂数量，方程说清关系。