拆解2026年8月广东深圳市高三数学开学模拟考第19题导数与三角函数综合题

哈喽各位同学～这道题是 2026 年 8 月广东深圳市高三数学开学模拟考第 19 题，属于新定义背景下导数与三角函数融合综合题 —— 高三开学考导数类中档偏难题。它深度整合新定义理解、导数四则运算、三角恒等变换、零点存在定理四大核心考点，精准对标高考导数题 “读懂新概念 + 导数工具运算 + 函数性质分析 + 逻辑推理论证” 的命题逻辑，对 “导数运算精准度”“三角公式变形能力”“构造辅助函数的思维能力” 要求较高，是检验高三学生函数导数模块综合应用能力的典型试题  ！

据考后数据与教研分析：

(1)新定义背景下导数基础应用

核心：新定义代入转化 + 简单微分方程求解

我们严格依照题干新定义列式，对已知函数进行求导运算，结合恒成立条件化简整理式子，逐步推导得出目标函数表达式。

 (2)新定义结合三角函数恒成立

核心：求导化简求解参数

我们结合新定义对函数求导展开，利用三角公式统一化简表达式，根据式子恒为定值的约束条件判定参数取值。

(3)导数构造与函数零点证明

核心：构函数放缩证零点

• 第 (1) 问：新定义背景下导数基础应用题型

  考查核心：新定义数学概念的理解与转化、基础函数求导运算、微分等式化简求解逻辑，重点考查 “新概念翻译与导数基础工具的落地应用”（精准拆解题目新定义，结合基础求导公式化简等式，求解目标函数解析式）。

  常用方法：公式法求导（基础初等函数求导法则）、定义代入转化法（将题干新定义关系式代入已知函数）、等式化简整理法（利用恒成立条件消元化简式子）。

• 第 (2) 问：新定义结合三角函数恒成立题型

  考查核心：三角函数导数运算、三角恒等变换公式应用、恒成立问题的条件判定，重点考查 “导数运算与三角变形的融合逻辑”（结合新定义求导展开式子，通过三角公式化简，利用代数式恒为定值的性质求解参数）。

  常用方法：三角函数求导法、三角恒等变换化简法（和差公式、积化和差公式）、恒成立系数归零法（变量任意取值式子恒成立，则对应变量项系数全部为0）。

• 第 (3) 问：导数构造与函数零点证明题型

  考查核心：复合函数求导运算、辅助函数构造思想、函数单调性分析、零点存在定理的综合应用，重点考查 “导数放缩与函数性态分析的推理论证逻辑”（构造全新辅助函数，通过导数判定单调性，结合放缩法判定函数正负区间，证明零点存在性）。

  常用方法：辅助函数构造法、导数单调性分析法、不等式放缩法、零点存在定理判定法（连续函数区间端点异号则存在零点）。

• 这类题属于 “新定义、导数与三角函数的融合型综合题”，这类题型的特点是：以全新数学定义为命题载体，通过导数核心工具串联 “新定义转化应用→三角导数恒成立分析→构造函数零点论证” 三大核心考点，前两问的函数运算、三角化简、导数分析思路为第 (3) 问的综合证明铺垫方法与思维基础，是高考中 “新概念理解 + 导数工具运算 + 三角函数变形 + 函数零点论证” 多模块深度交叉考查的典型题型。