初高中数学建模·第17期|熵权法:把数据差异算成权重

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上一期用AHP整理重要性判断。这一期，我们从数据差异出发，完整建立并检验一个熵权评价模型。

一、把评价目标写成可计算的问题

同一月份，四个社区的雨水收集点都在为绿地供水。谁运行得更好？D回用水最多，A的供水成功率最高，B维护最省时。三张单项榜单给不出一个共同的答案。

我们把目标限定为：在基本安全与水质要求已经满足的条件下，比较四个收集点当月的回用成效、供水可靠性和维护投入，得到一张综合排序表。先写清评价范围，才能判断最后的名次回答了什么。

下表全部为教学模拟数据。假设各点集水面积与灌溉需求相近，观测月份、供水任务与记录口径一致；每点模拟100次供水请求，按计划完成的次数除以100，得到成功率。真实项目需要先核对这些条件，不能把不同服务规模的点直接混在一起。

三项数据还要有清楚的定义：回用量记录真正用于灌溉的雨水，不把收集后又排走的水算进去；成功率按请求次数统计，并非回用量占总需求量的比例，各次请求的水量可以不同；维护工时记录完成同类巡检、清洗与检修任务所需的人时，不能把少做必要维护当作节约。

原始矩阵 X：行是收集点，列是指标

用X表示这张4行3列的数据表，xᵢⱼ表示第i个点在第j项指标上的原始数值。前两列越大越好，第三列越小越好。我们暂用加权和作为综合模型，接下来要解决两个问题：怎样得到可相加的得分，怎样确定权重。

数据表可以让我们讨论本月四点的相对表现，却不能直接决定下一处设施该建在哪里。后一个问题还需要位置、造价与覆盖范围等新信息。把问题收窄，正是为了让模型的输入与要回答的问题对应起来。

字母依次表示：X是原始值，Z是同向得分，P是列比例，e是熵，d是差异系数，w是权重，S是综合分。

图1｜同月、相近规模的四个雨水收集点。全部数值为教学模拟；箭头表示评价方向。

二、X→Z：先统一方向和尺度

20立方米、100%和12小时不能直接相加。本期采用同向极差标准化，把每列的最弱表现映射为0、最优表现映射为1，中间值按在两端之间的位置换算。这样三列都变成“越大越好”的无量纲得分。

以回用量为例，最小20、最大50，极差为30。A、B、C、D依次换算为(20－20)/30、(30－20)/30、(40－20)/30、(50－20)/30，即0、1/3、2/3、1。维护工时方向相反，B用时6小时最少，所以得到(12－6)/(12－6)＝1。

同向极差矩阵 Z

这里的0只表示处在本组这一列的低端。A仍回用了20立方米雨水，D仍完成了90%的供水请求；它们并没有“毫无价值”。标准化也隐含了一项假设：在本次比较的范围内，得分随原指标线性变化。

这里还做了一项建模选择：每列都用本组最小值与最大值作参照，给满0到1的区间。若真实任务有明确的达标线或饱和点，例如超过某个水平后收益增长很慢，就应另建有实际含义的评分函数。本期先固定这条线性规则，再研究数据怎样生成权重。

当某列最大值等于最小值时，分母为0，这一列无法按此式转换。我们将在练习中处理这种情形，不用随意添加小数来掩盖问题。

三、Z→P→e：把一列差异写成熵

下一步逐列计算比例。每个z除以自己所在列的总和，得到p。回用量列的和为2，成功率列为2.7，维护列为11/6。得到的P每列合计为1，表示计算用的份额，并不是各收集点获胜的概率。

可以先做一道小检查：B的维护比例是1÷(11/6)＝6/11，C是(1/2)÷(11/6)＝3/11，D是(1/3)÷(11/6)＝2/11，加上A的0，恰好合计为1。不同列各算各的比例，不能把整张表的所有数加在一起当分母。

列比例矩阵 P

图2（动画）｜三项指标逐列完成x→z→p：回用量示范先减20、除30；维护工时先反向处理，再按各列总和求比例。

如果一列比例全是1/4，四个对象分到的份额相同，这列就不能区分它们；比例集中在少数对象上时，区分就更明显。信息熵能刻画这种均匀程度：分布越均匀，熵越高。[1]

ln是自然对数，可以使用科学计算器的ln键。它在这里把各个比例转化成可相加的量；除以ln(n)，使标准化熵处在0到1之间。对任意四项比例，完全均匀时e＝1，全部集中在一项时e＝0。

遇到p＝0，按极限约定把整个p×ln(p)项记作0，计算时跳过这一项。注意，这不表示ln(0)有定义。回用量的四个比例已知，可以完整展开：

用计算器时，可以先求1/6的对数，再乘回1/6，记录一个完整的乘积；三项算完再相加，最后取负并除以ln(4)。不要只把对数相加，也不要把每项过早截成两位小数，后者会让最后的权重和得分出现不必要的误差。

同样计算成功率与维护两列，熵值分别约为0.789507、0.717686。本例成功率列的三个非零份额比较接近，因此熵略高。这里比的是处理后的比例分布，不能拿“相差30立方米”和“相差10个百分点”直接比较大小。

上面“全为1/4”用来说明熵的一般性质。采用本期极差标准化时，每个非常数列至少有一个0，所以实际比例不会恰好全为1/4。我们仍用同一熵公式比较三列，不把某个熵值解释为设备故障概率或服务达标率。

图3｜实际三列比例及熵值：看分布如何进入计算，不把原始单位的差直接当作信息量。

四、e→d→w→S：算出权重和综合分

熵权法把“越均匀、越不容易区分”的方向转过来，定义差异系数d＝1－e，再把三项d归一化为权重。权重越大，表示该列在当前处理方式下提供的区分信息越多。[2]

从熵值到权重

三个d的和约为0.763234。例如回用量权重为0.270426÷0.763234≈0.354316。三项权重之和为1；再将每个点的标准化得分Z乘上对应权重并相加，得到综合分S。注意：P用于计算熵，最终评分使用Z，两张表不能混用。

综合分与排序

因此排序为B＞C＞D＞A。B的回用量居中，但成功率较高、维护最省时，后两项共同拉高了总分。A只在成功率占优，另两项落在本组低端，所以综合分较低。计算全程保留精度，表格最后才四舍五入。显示值相加可能有末位舍入差。

评分时还可检查两件事：三项权重都不为负且合计为1，因此每个综合分应落在0到1之间；图中各点的未舍入分项相加，应等于该点未舍入的总分。若不符合，就优先检查指标方向、列分母，以及是否误把P拿去评分。

图4（动画）｜同一组数据的e→d→w，再将权重分配到四个点的三项贡献，最后合成综合分。

五、用等权模型做一次对照

得到一张榜单还不够。把三项权重都设为1/3，其他数据和标准化规则保持不变，就得到最简单的对照模型。我们要检查：换一种合理的赋权方式，结论究竟变了多少？

两种权重，同一矩阵 Z

两种方法都排出B＞C＞D＞A。B领先C的分差，等权时约为0.088889，熵权时约为0.094420。因为维护权重从1/3增至约0.369892，B在维护上的优势得到稍多支持；同时回用量与成功率的权重也一起改变。

这项对照支持一个有限判断：在等权与本例熵权这两种设置下，冠军与完整排序相同。它没有证明熵权一定更准确，也没有证明任何权重下B都会第一。若管理者已有明确的服务优先级，应把那项要求写进模型，而不是仅凭这次排序一致就忽略它。

指标之间的关系也值得检查。例如，把回用量与由它乘固定水价得到的节水金额同时纳入，会把同一类信息重复计入。熵权计算能给出两列的权重，却不会自动提醒你它们其实来自同一份记录；指标选取仍然需要对现实问题的理解。

还可以从代数上看清B为什么领先C：B的回用量得分比C少1/3，成功率多0.1，维护多0.5。因此二者分差可以写成下面的式子。右边为正就由B领先，为负就由C领先。

代入本例熵权，三项贡献差约为－0.118105、＋0.027579、＋0.184946，总和为＋0.094420。公式把“哪个优势补偿了哪个劣势”写清楚，也说明增加回用量的权重会压缩B的领先优势。

图5｜等权与熵权的分数并列比较，标出B与C的分差；两套结果使用同一标准化矩阵。

六、删去D，模型还会给出同样的判断吗

再做一次样本扰动检验：暂时只比较A、B、C。这里不是认定D应该删除，而是追问，评价对象集合改变后，结论有多大变化。为避免偷换计算口径，必须从极差开始全部重算，不能沿用四点模型的标准化得分或权重。

现在回用量范围变为20—40，成功率变为98%—100%，维护工时仍是6—12小时。于是B的回用量得分从1/3变为1/2，成功率得分从0.9变为1/2；C的回用量成为新最大值，成功率成为新最小值。

删D后的 Z′

三列的得分和恰好都为3/2。逐列除以它，得到下面的比例；你会发现，三列都是0、1/3、2/3的不同排列。顺序改变不影响各项求和，所以三列熵值相同。

删D后的 P′

新排序是B＞C＞A，与原榜单中这三个点的相对顺序一致；B与C的新分差为1/6。结果说明，本次“删去D”的扰动保留了三点的名次，但权重、得分和分差都发生了变化。只能把它作为一次具体检验的证据，不能推广成“随便增删样本都不会影响排名”。

这类检验需要保留完整记录：删了哪个对象、重新计算了哪些量、比较了哪些结果。若在真实资料中发现某点的口径不同，应先依据资料决定能否纳入，再重新估计模型；不能为了获得喜欢的名次，反过来挑选样本。

A的分数从约0.2758变成1/3，也不表示它突然运行得更好了：原始记录一条没变，改变的是参照范围与计分尺。跨月份或跨地区比较时，如果每次都重新标准化，就必须留意这种尺度变化。

这次检验还没有涉及测量误差与月份变化。若要据此安排真实运维资金，下一步可以保留同样的指标定义，用其他月份的数据重复计算，观察结果是否持续；也可以对可能录错的数据作有依据的范围检验。单月教学数据能够展示方法，但不能替真实设施作长期结论。

七、差距缩小十倍，权重为何不变

另设一个情景，每点有1000次请求，成功次数为1000、999、998、990，成功率就是100%、99.9%、99.8%、99%。它不是对原表100次请求记录的改写。新极差只有1个百分点，原来则是10个百分点。

观察新旧数据：新成功率＝0.1×原成功率＋90。一般地，对正向指标作x′＝ax＋b且a＞0的变换，最小值和最大值也按同一规则改变，代入极差公式可得：

因此成功率列仍是1、0.9、0.8、0。对象集合、其余两列和处理方法不变时，后续P、e、d、w与综合分也全部不变。极差标准化保留了相对位置，却消去了这次绝对差距的压缩。

图6｜10个百分点压缩到1个百分点，同向极差得分仍相同；图中同时保留两套真实刻度。

这正是“数据差异”与“价值重要”需要分开的原因。即使各点水质同样合格，水质仍可是一条必须满足的底线；它没能拉开名次，并不代表可以不重视。熵权回答的是选定样本和规则下如何利用差异，服务底线则应先作为约束，不能靠其他高分抵消。

八、留给你一道能算完的练习

保持原来的四个收集点，只把维护工时都改成每月8小时，另外两列不变。请先判断第三列怎样处理，再用前文的差异系数算出新权重、B和C的综合分，并给出四点排序。可以先遮住下面的答案试一遍。

参考答案：维护列极差为0，无法套用标准化公式；本题把它从区分性赋权中剔除。回用量与成功率的Z、P、e不变，只需将两项d重新归一。并不是给维护分配一个很小的假差异。

做题时尤其容易出现一个错误：把第三项权重直接删掉，却保留前两项原权重。这样两项之和只有约0.630108，已经不是约定的单位权重和。重新归一既保持两项之间的比例，又让新的综合分回到同一0到1区间。

A约为0.437690，D约为0.562310，所以新排序为C＞B＞D＞A。B原先在维护上的优势消失了，C的回用优势变得更有影响。若所有列都相同，这些数据本来就不能区分名次，不必强行让熵权法给出冠军。

一份能解释的建模结果，既要留下原数据与假设，也要交代标准化、权重、得分和检验。读者可以沿着X→Z→P→e→d→w→S复算，才能看出结论依赖哪些选择，以及条件改变后该从哪一步重来。

启思数模｜把现实问题，一步步做成数学模型。

参考资料

[1] Shannon, C. E. (1948). A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal, 27(3), 379–423.DOI：10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x

[2] Chen, P. (2019). On the Diversity-Based Weighting Method for Risk Assessment and Decision-Making about Natural Hazards. Entropy, 21(3), 269.DOI：10.3390/e21030269