高三数学 · 每日一题第 13 期

三个动作：① 定义域先行——真数 x − 1 与 x + 5 都要为正，先把 x > 1 写下来，这行字就是本题的分水岭。② 系数进真数——2log₃(x − 1) = log₃(x − 1)²，系数搬进对数内部，两边同底。③ 同底则真数相等——解一个一元二次方程，再把根逐个拿回定义域里过筛。

第 1 步（定义域先行）：真数必须为正，x − 1 > 0 且 x + 5 > 0，即 x > 1（x > −5 被 x > 1 覆盖）。第 2 步（系数进真数）：由 n·logₐM = logₐMⁿ（M > 0），2log₃(x − 1) = log₃(x − 1)²，原方程化为 log₃(x − 1)² = log₃(x + 5)。第 3 步（同底则真数相等）：y = log₃t 在 (0, +∞) 上递增、一一对应，故 (x − 1)² = x + 5。展开得 x² − 3x − 4 = 0，因式分解 (x − 4)(x + 1) = 0，得 x = 4 或 x = −1。第 4 步（回定义域过筛）：x = 4 满足 x > 1，成立；x = −1 不满足，舍去——此时 x − 1 = −2，真数为负，左边根本无意义。所以方程的解是 x = 4，选 B。

验算

① 正向代入：x = 4 时左 = 2log₃3 = 2，右 = log₃9 = 2，相等 ✓② 逐项排除：x = −1 时真数 −2 < 0，左边无意义 ✗；x = 7 时左 = log₃36，右 = log₃12，36 ≠ 12 ✗③ 唯一性：二次方程判别式 25 > 0 有两根，仅 x = 4 在定义域内，解唯一 ✓④ 性质合法性：2log₃(x − 1) = log₃(x − 1)² 要求 x − 1 > 0，与定义域一致 ✓

四个选项各对应一类真实错因：选 A（−1）是方程解对了、却把增根当成唯一的解；选 C（7）是把 2log₃(x − 1) 错当 log₃(2x − 2)，系数没平方进真数；选 D（−1 或 4）是方程解全对、但漏了定义域检验——本题最高频的失分方式。