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专练 24 平面向量基本定理及坐标表示
授课提示：对应学生用书49页
[基础强化]
一、选择题
1．如果e ，e 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所
1 2
有向量的一组基底的是( )
A．e 与e＋e
1 1 2
B．e－2e 与e＋2e
1 2 1 2
C．e＋e 与e－e
1 2 1 2
D．e＋3e 与6e＋2e
1 2 2 1
答案：D
解析：选项A中，设e＋e＝λe，则无解；选项B中，设e－2e＝λ(e＋2e)，则无解；
1 2 1 1 2 1 2
选项C中，设e＋e＝λ(e－e)，则无解；
1 2 1 2
选项D中，e ＋3e ＝(6e ＋2e)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的
1 2 2 1
一组基底．
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：D
解析：a－b＝－＝(－1，2).
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n
等于( )
A． B．1
C．－ D．－
答案：C
解析：∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴得
∴m＋n＝－＋＝－.
4．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若
A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：D
解析：∵AB＝OB－OA＝(a－1，1)，CB＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝即a＝，b＝时等号成立)
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
答案：A
解析：设点N的坐标为(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)
又MN＝－3a＝(－3，6)，∴得
6．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A
的大小为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵m∥n，∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sinA cos A＝3.
可化为1－cos 2A＋sin 2A＝3，
∴sin ＝1.
∵A∈(0，π)，∴∈.
因此2A－＝，解得A＝.故选C.
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大
值是( )
A．2 B． C． D．
答案：C
解析：∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2＝2，(当且仅当2x＝3y，即：x＝，y＝时等号成立)，
∴xy≤，故选C.
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(
)
A． B．(－6，8)
C． D．(6，－8)
答案：D
解析：由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，
所以b＝(6，－8)，故选D.
9．[2024·全国甲卷(理)]设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
答案：C
解析：因为a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，所以a⊥b的充要条件为a·b＝0，即(x＋1)·x＋
2x＝0，解得x＝0或x＝－3，故A错误，C正确．a∥b的充要条件为2(x＋1)＝x2，即x2－
2x－2＝0，解得x＝1±，故B，D错误．故选C.
二、填空题
10．[2022·全国甲卷(文)，13]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝
________．
答案：－
解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.
11．已知OA＝(2，0)，OB＝(0，2)，AC＝tAB，t∈R，当|OC|最小时，t＝________．
答案：
解析：依题意得OC－OA＝t(－2，2)，OC＝t(－2，2)＋OA＝(2－2t，2t)，|OC|2＝12(1
－t)2＋4t2＝16＋3≥3，当且仅当t＝时取等号．因此，当|OC|最小时，t＝.
12．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM
成立，则m＝________．
答案：3
解析：∵MA＋MB＋MC＝0，∴M为△ABC的重心，设D为BC边的中点，
则AM＝(AB＋AC)×＝(AB＋AC)，
∴AB＋AC＝3AM，
∴m＝3.
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设AQ＝aAB＋bAC，则a＋b的最大值为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：
根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则 C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动
的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ＝aAB＋bAC＝
(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以AQ＝(3a，4z－4a).设Q(x，y)，所以消去a，得y
＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得
最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以
点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为，所以＝，解得z＝，即a＋b的最大
值为，故选C.
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中
点，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A． B． C．2 D．
答案：B
解析：
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴CA＝
(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)，
∵CA＝λCE＋μDB，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B.
15．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝(，)，则( )
A．|m|＝|n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为
答案：ACD
解析：因为m＝(1，0)，n＝(，)，所以|m|＝1，|n|＝＝，所以|m|＝|n|，故A正确；因
为m－n＝(，－)，所以m－n与n不平行，故B错误；又(m－n)·n＝0，故C正确；因为
cos 〈m，－n〉＝＝－，所以m与－n的夹角为，故D正确．16．如图，已知平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与
OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
________．
答案：6
解析：方法一 如图，作平行四边形OBCA ，则OC＝OB ＋OA ，因为OA与OB的夹
1 1 1 1
角为120°，OA与OC的夹角为30°，所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB|＝2，|BC|＝4，
1 1
所以|OA|＝|BC|＝4，所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
1 1
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，
B(－，)，C(3，).
由OC＝λOA＋μOB＝λ(1，0)＋μ(－，)，得(λ－μ，μ)＝(3，)，得解得所以λ＋μ＝6.
