荔湾区真光中学2024-2025学年八年级九月月考数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

2024 学年第一学期初二级开心练资料 数学 注意事项： 1.本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位 置上． 3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必 须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改 液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，将 VABC沿BC所在直线向右平移得到VDEF ，则下列说法错误的是（ ） A. △ABC≌△DEF B. 𝐴𝐶⊥𝐷𝐸 C. AB∥ED D. BE CF 【答案】B 【解析】 △ABC≌△DEF 【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到 ，由三角形全等的 性质得BDEF 和 BC  EF ，即可得到答案． 【详解】解：A、 VABC沿BC所在直线向右平移得到VDEF ，由平移性质得 △ABC≌△DEF ，此选 项正确，不符合题意； AC  DE B、 无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意； C、由 △ABC≌△DEF 得BDEF ，则AB∥DE成立，此选项正确，不符合题意； 第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司△ABC≌△DEF BC  EF BE CF D、由 得 ，则 成立，此选项正确，不符合题意； 故选：B． a2 b1 0 2. 已知 ，那么（a+b）2020的值为（ ） A. ﹣32020 B. 32020 C. ﹣1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解． a2 0 b1 0 a2 b1 0 【详解】解：∵ ， ， ， ∴a20， b10 ，即 a2 ， b1 ， ab2020 212020 12020 1 ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，以及有理数乘方的运算，解题的关键是掌握算术平方根 和绝对值的非负性． 540 3. 若一个n边形的内角和为 ，则n等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据内角和公式求出边数即可得出结论． (n2)180540 【详解】解： ， 解得n5， 故选：C． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形的内角和公式． 4. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工 件内槽宽AB，只要测量AB就可以，利用的数学原理是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【答案】A 【解析】 SAS 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一 ，只需要测量易测量的边 AB，进而得出答案． 【详解】解：连接AB，AB，如图， ∵点O分别是AA 、BB 的中点， OAOA，OBOB ∴ ， VAOB △AOB 在 和 中， AO AO  AOB AOB  BOOB  ， VAOB≌VAOBSAS ∴ ． ∴ AB  AB． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全 等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等底等高的两个三角形全等 B. 周长相等的直角三角形都全等 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、等底等高的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误； B、周长相等的直角三角形都全等，是假命题，故本选项错误； C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，因为一角没有说明是两边的夹角，故本选项错 误； D、有一边对应相等的两个等边三角形全等是真命题，故本选项正确． 第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故选：D． 的 【点睛】本题主要考查命题 真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 如图，在 VABC中，BC边上的高是（ ） A. AF B. CE C. CD D. AC 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相 对的顶点的垂线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，在 VABC中，BC边上的高是AF ， 故选：A． 7. 一个三角形的两边长分别是2和5，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合第三边长为奇数，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和 5 ， 52 52 ∴ 第三边长 ， 解得：3第三边长 7 ， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， 25512 ∴三角形的周长为 ， 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边 关系和三角形的周长公式是解决此题的关键． 第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司8. 如图， VABC中，AD平分 BAC ，AB4，AC 2，若VACD的面积等于3，则 VABC的面积为 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作DEAB交于点E ， DFAC 交于点F ，利用角平分线性质得DE  DF，再根 1 S  DFAC 3 △ACD 2 DE  DF 3 据三角形面积公式，利用 得到 ，再利用三角形面积公式计算 △ABD 的面积，从而可得 VABC的面积． 【详解】解：过D点作DEAB交于点E ， DFAC 交于点F ，如图， Q AD平分 BAC  DE  DF 1 S  DFAC 3 Q △ACD 2 ， AC 2 DF 3 1 S  ABDE  △ABD 2 Q AB 4 ， DE  DF 3 1 S  ABDE 6  △ABD 2 S S S 369  VABC △△ADC ABD 第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故选： D 【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，利用三角形面积公式计算 △ABD 面积是解题关键． 9. 如图，在 VABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O，若 BOC 125 ，则A的度数为（ ） 70 80 90 55 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 180 OBCOCB A= 2 BOC 125 【分析】设 ，利用角平分线的性质得 ，再根据 得 180 55 OBCOCB 55 2 ，所以 求解即可． A= ABCACB180 【详解】解：设 ，则 ， BOC 125 ∵ ， OBCOCB 18012555 ∴ ， ABC ACB ∵OB，OC平分 和 ， 180 180 OBCOCB 55 2 2 =70 ∴ ，即 ，解之得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系 180 55 2 进行求解． 第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司2xa x6a   4x4 x1  10. 如果关于 x 的方程axx60的解为正整数，且关于 x 的不等式组  5 的解集为 x9 a ，那么符合条件的所有整数 的个数是( ) A. 4个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集求出a的取值范围，然后即可判定方程的解，进而得出整数a的取值. 【详解】根据题意，得 x63a   x9 x9 ∵其解集为 63a9 ∴ ∴a1 又∵关于 x 的方程axx60的解为正整数， 6 x ∴ 1a可以为1、2、3 ∴a的整数值为-5，-2，-1 故答案为B. 【点睛】此题主要考查不等式组和方程的综合应用，熟练掌握，即可解题. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） ABC B40 C 30 CAD 11. 如图，在三角形 中， ， ，则外角 的度数为______． 70 【答案】 第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案． CAD VABC 【详解】解：∵ 是 的外角， CADBC ∴ ， B40 C 30 ∵ ， ， CAD403070 ∴ ， 70 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解 题的关键． 12. 如图，将一副三角板如图方式放置，则∠1的度数是_____． 【答案】15° 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由图形可知∠ACD＝60°，∠B＝45° ∵∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝15°， ∴∠1＝∠BAC＝15°， 为 故答案 :15°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的 第8页/共24页 学科网（北京）股份有限公司关键． 2x y 4 ，  x、 y 2yx5 x y 13. 如果实数 满足方程组 那么 的值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据题意，将题目中的两个方程作差即可解答本题． 2x y 4 ① { 2yx5 ② 【详解】 ，①﹣②，得：x﹣y=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是利用方程组中的方程，巧妙变形，求出所求式 子的值． 14. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，12 ________°． 【答案】180 【解析】 △≌AB△C CED 【分析】先证明 ，从而得∠1=∠CED，进而即可求解． 【详解】解：∵AC=CD，BC=DE，∠ACB=∠D=90°， △≌AB△C CED ∴ ， ∴∠1=∠CED， ∴12∠CED+∠2=180°． 故答案是：180 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握SAS证明三角形全等，是解题的关键． 第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司15. 如图，在四边形 ABCD 中， A90，A，D2 BD 平分 ABC ，且 BDCD ，点P为 BC 边中 DP 3 VBCD 点， ，则 的面积为________． 【答案】6 【解析】 BDCD 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据 ，点 P为 BC 边中点， DP 3 ，可得 BC 2DP236 ，过点D作 DE  BC 于点E，根据角平分线的 性质定理可得AD DE 2，由此即可求解． 【详解】解：∵ BDCD ，点P为 BC 边中点， DP 3 ， BC 2DP236 ∴ ， 如图所示，过点D作 DE  BC 于点E， ∵𝐵𝐷平分 ABC ， A90，AD2 ， ∴ AD DE 2， 1 1 S  BC·DE  626 ∴ VBCD 2 2 ， 故答案为：6 ． 16. 在 VABC 中， A60，ABC 的平分线BE与 ACB 的平分线𝐶𝐹相交于点P，则 BPF ________，若 BPC 的平分线交 BC 于点 D，B，F 8 CE 6 ，则 BC  ________． 第10页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 60° ②. 14 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分的定义，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和定 ABCACB120 理可得 ，根据角平分线的定义可得 1 1 ABPPBC  ABC，ACPPCB ACB 2 2 ，再根据三角形的内角和定理可得 BPF 60 ，根据PD是 BPC 的角平分线，可得 1 1 BPDCPD BPC  12060BPF VBPD≌VBPFASA 2 2 ，根据“角边角”可证 ， VCDP≌VCEPASA BF  BD8 CDCE 6 ，可得 ， ，由此即可求解． VABC A60 【详解】解：在 中， ， ABCACB180A18060120 ∴ ， ∵ ABC 的平分线BE与 ACB 的平分线𝐶𝐹相交于点P， 1 1 ABPPBC  ABC，ACPPCB ACB ∴ 2 2 ， 1 1 1 1 PBCPCB ABC ACB ABCACB 12060 ∴ 2 2 2 2 ， BPC 180PBCPCB18060120 VBCP ∴在 中， ， BPCBPF 180 ∵ ， BPF 180BPC 18012060 ∴ ， ∵ PD是 BPC 的 角平分线， 1 1 BPDCPD BPC  12060BPF ∴ 2 2 ， VBPD，VBPF 在 中， 第11页/共24页 学科网（北京）股份有限公司BPDBPF  BP BP  DBPFBP  ， VBPD≌VBPFASA ∴ ， BF  BD8 ∴ ， VCDP≌VCEPASA 同理， ， CDCE 6 ∴ ， BC  BDDC 8614 ∴ ， 故答案为：①60°；② 14 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 9120183 27 2 5 17. 计算； ． 3 5 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，乘方及绝对值的意义，进行计算即可解答．   313 2 5 【详解】解：原式 ， 3132 5 ， 3 5 ． 【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，立方根，乘方，绝对值的性质，熟练掌握平方根，立方根的意 义，乘方，化简绝对值是解题的关键． x2y 0,  2x3y 21. 18 解方程组： . x6  y 3 【答案】 【解析】 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解． x2y 0①  2x3y 21② 【详解】解： 第12页/共24页 学科网（北京）股份有限公司x2y 由①，得 ．③ 4y3y 21 将③代入②，得 ． y3 解得 ． y3 x6 将 代入①，得 ． x6  y 3 ∴原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19. 已知：如图 AD∥CB ， ADCB ．求证：BD． 【答案】见解析 【解析】 SAS VDAC≌VBCA 【分析】利用 证明 即可． AD∥CB 【详解】证明：∵ DAC BCA ∴ ， 在△DAC 和VBCA中，  AD＝CB  DAC＝BCA  AC＝AC  VDAC≌VBCA SAS ∴ （ ）， ∴ BD． SAS 【点睛】本题考查利用“ ”直接证明三角形全等．寻找全等条件是解题关键． 20. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高． 第13页/共24页 学科网（北京）股份有限公司（1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线AE（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠B=20°，∠ACB=110°，求∠EAC和∠DAE的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠EAC=25°，∠DAE=45°． 【解析】 【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用邻补角的定义求得∠ACD的度数，再根据三角形的外角性质求得∠BAC的度数，再根据角平分 线的定义以及角的和差定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图，线段AE即为所求． 【小问2详解】 解：∵∠ACB=110°， ∴∠ACD=180°-110°=70°， ∵∠BAC=∠ACD-∠B=70°-20°=50°， ∵AE平分∠BAC， 1 ∴∠EAC= 2 ∠BAC=25°， 在△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=70°， ∴∠CAD=90°-70°=20°， ∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=45°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．也考 查了三角形的外角性质． 21. 已知：如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，点D，E，C在同直线上，连接BD． 第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）求∠BDC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠BDC=90° 【解析】 【分析】(1)通过已知条件求出AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC，通过SAS即可证明△ADB≌△AEC； (2)通过(1)中的全等，可得∠ADB=∠AEC，通过直角三角形∠ADE=∠AED=45°，∠BDC=∠AEC-∠ADE即可 求得． 【详解】(1)∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90°， ∵∠DAB=∠DAE-∠BAE=90°-∠BAE，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-∠BAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△ADB和△AEC中，  ADAE  DABEAC  ABAC  ， ∴△ADB≌△AEC(SAS)； (2)由(1)得：△ADB≌△AEC，∴∠ADB=∠AEC， ∵△ADE均为等腰直角三角形， ∴∠ADE=∠AED=45°， ∴∠AEC=180°-∠ADE=180°-45°=135°， ∴∠AEC=∠ADB=135°， ∴∠BDC=∠AEC-∠ADE=135°-45°=90° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟悉全等三角形的判定和性质是 解答此题的关键． 22. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，深圳市某中学把足球和篮球列为该校的 特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共490元， 购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元? （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半， 第15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个? 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元 （2）购买34个篮球，66个足球时总费用最小 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球 和3个足球共460元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 100m （2）设购买m个篮球，则购买 个足球，根据“购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少 于足球数量的一半”，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校购买篮球和 足球的总费用为w元，利用“总结=单价×数量”可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质， 即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意，得 3x2y 490  2x3y 460 ， x110  y 80 解得 ， 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 100m （2）设购买m个篮球，则购买 个足球， 根据题意，得 1 m 100m 2 ， 100 m 解得 3 ． 设学校购买篮球和足球的总费用为w元，则 w110m80100m ， w30m8000 即 ， ∵300， 第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司∴w随m的增大而增大， 100 m 又∵ 3 ，且m为整数， ∴当 m34 时，w取最小值，此时100m1003466（个）． 答：购买34个篮球，66个足球时总费用最小． 23. 如图，在 VABC中，BD平分 ABC ，交 AC 于点D，动点E在射线BD上（不与点D重合），过 点E作 EF∥BC 交线段 AC 于点F（不与点A，C重合），AFE 的平分线所在的直线与射线BD交于 点G． （1）当点E在线段BD上时． ①若 ABC 40 ， C 60 ，FED的度数为______；FGD的度数为______； 1 FGD90 A ②求证 2 ； （2）当点E在线段BD的延长线上时，直接写出FGD与A之间的数量关系． 【答案】（1）①20°；50°；②见解析 1 FGD A （2） 2 【解析】 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本 题的关键． 1 1 GFE  AFE  C FEDCBD 2 2 （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解 ， 即可解 FGDGFEFED 答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到 即可解答； 1 1 CBD ABC FEDCBD ABC （2）先证明 2 ， 2 ， EFC ACB ， 第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司1 1 EFH  AFE 90 ACB AFE 180ACB ．由角平分线的定义可得 2 2 ，结合三角形的外 FGDEFH FED 角的性质可得 ，可得结论． 【小问1详解】 QABC 40，C 60 解：① ， ∴在 VABC中， A180ABCC 180406080 ， EF∥BC ∵ ， FEDCBD， DFE C 60 ， QBD 平分 ABC ，FG平分AFE ， 1 1 EBC  ABC 20 GFE  AFE 30 2 ， 2 ， FEDEBC 20 FGDGFEFED302050 ， ； ②∵BD平分 ABC ， 1 CBD ABC ∴ 2 ． EF∥BC ∵ ， 1 FEDCBD ABC ∴ 2 ， ÐAFE= ÐACB ． ∵FG平分AFE ， 1 1 EFG  AFE  ACB ∴ 2 2 ， 1 1 1 1 FGDEFGFED ACB ABC  180A90 A ∴ 2 2 2 2 ； 【小问2详解】 1 FGD A 2 ，理由如下：如图，点E在线段BD的延长线上． 第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司∵𝐵𝐷平分 ABC ， 1 CBD ABC ∴ 2 ． EF∥BC ∵ ， 1 FEDCBD ABC ∴ 2 ， EFC ACB ， AFE 180EFC 180ACB ∴ ． ∵FH 平分AFE ， 1 1 EFH  AFE 90 ACB ∴ 2 2 ， 1 1 1 1 FGDEFH FED90 ACB ABC 90 180A A ∴ 2 2 2 2 ． OAOB 24. 我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图： ， OC OD ，AOBCOD90回答下列问题： （1）证明：VOAC和 VOBD 是兄弟三角形 （2）取BD的中点P，连接 OP ，试证明 AC 2OP ．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的 “中线倍长”的辅助线的构造方法）． OP  AC （3）求证： ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 AOCBOD180 【分析】（1）证明 ，由兄弟三角形的定义可得出结论； VBPE≌VDPOSAS （2）延长 OP 至E，使PE= OP，证明 ，由全等三角形的性质得出 EBOD ；证 VEBO≌VCOASAS 明 ，由全等三角形的性质得出OE  AC，则可得出结论； （3）延长 PO 交 AC 于点M ，根据全等三角形的性质得出 BOE A ，根据平角定义得到 BOEAOM 90 ，则AAOM 90，根据三角形内角和定理及垂直的定义即可得解． 【小问1详解】 证明：∵AOBCOD90， AOCBOD360AOBCOD3609090180 ∴ ， OAOB OC OD 又∵ ， ， ∴VOAC和 VOBD 是兄弟三角形； 【小问2详解】 延长 OP 至E，使PE= OP， ∵点P为BD的中点， ∴BPDP， 在VBPE △BPE和 VDPO △DPO中， BP DP  BPE DPO  PE  PO  ， VBPE≌VDPOSAS ∴ ， EBOD BEPDOP ∴ ， ， BE∥OD ∴ ， ∴EBOBOD180， AOCBOD180 又∵ ， EBOCOA ∴ ， EBOD OC OD ∵ ， ， 第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司BE OC ∴ ， VEBO VCOA 在 和 中， BE OC  EBOCOA  BOOA  ， VEBO≌VCOASAS ∴ ， ∴OE  AC， OE OPPE 2OP 又∵ ， AC 2OP ∴ ； 【小问3详解】 如图，延长 PO 交 AC 于点M ， △≌EB△O COA ∵ ， BOE A ∴ ， AOB 90 ∵ ， BOEAOM 180AOB1809090 ∴ ， AAOM BOEAOM 90 ∴ ， AMO180AAOM1809090 ∴ ， OP  AC ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，周角和平角的定义，中 第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司点的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的定义和性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识 点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E 以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时， 另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求：AM= cm， S ：S = ； △ABD △ACD （2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S =2S ； △AED △DGC （3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； 8 14 【答案】（1）10；7 ；（2）见解析（3）t＝6或 3 ． 【解析】 【分析】（1）证明Rt△ADF≌Rt△ADM，根据全等三角形的性质得到AM＝AF＝10cm，根据三角形的面 积公式求出S ：S ； △ABD △ACD （2）分别用t表示出S 和2S ，即可证明； △AED △DGC （3）分点G在线段CM上、点G在线段AM上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF＝DM， 在Rt△ADF和Rt△ADM中， DF  DM  AD AD ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL） ∴AM＝AF＝10cm， 1 ABDF S 16 8 2 VABD    S 1 14 7 VACD ACDM 2 ∴ ， 第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司8 故答案为：10；7 ； （2）证明：由题意得，AE＝2t，CG＝t， 1 2 则S ＝ ×AE×DF＝t•DF， △AED 1 1 2 2 S ＝ ×CG×DM＝ t•DM， △DGC ∵DF＝DM， ∴S ＝2S ； △AED △DGC （3）解：∵AM＝AF＝10， ∴CM＝14−10＝4， 当点G在线段CM上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t＝4−t， 解得，t＝6（不合题意）， 当点G在线段AM上、E在BF上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即2t−10＝t−4， 解得，t＝6， 当点G在线段AM上、E在AF上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t＝t−4， 14 3 解得，t＝ ， 14 3 则当t＝6或 时，△DFE与△DMG全等． 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角平分线的 性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司