文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：唐宋
授课时间：2024.06.22
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
1.行程问题的基本公式：______=______*______。
2.匀变速过程，平均速度=__________________。
3.相遇问题的方向表述______________，基本公式：________________；追
及问题的方向表述______________，基本公式：________________。
4.环形相遇和环形追及使用结论的前提：____________________________
环 形 相 遇 的 结 论 ： _______________________ ； 环 形 追 及 的 结 论 ：
____________________________
5.几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：______________________；圆
柱体积公式：________________；圆锥体积公式___________________
6.勾股定理：_____________________；常见的三组特殊勾股数：__________，
__________，__________。特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°三边比例
=____________；45°、45°、90°三边比例=____________。
7.底（高）相同的三角形，面积比等于____________；相似三角形，对应边
之比等于________，面积之比等于______________。
【注意】知识点：
1.行程问题的基本公式：路程（S）=速度（v）*时间（t）。
2.匀变速过程，平均速度=（V +V ）/2。匀变速是比较特殊的，如果题目
初 末
中没有强调是均匀加速或减速，就不考虑这个公式。
3.相遇问题的方向表述为相向（反向），基本公式：S =V *T ；追及问题
和 和 遇
的方向表述为同向，基本公式：S =V *T 。
差 差 追
4.环形相遇和环形追及使用结论的前提：同点同时出发（如果不是同点同时
出发，则不能直接套用此结论）；环形相遇的结论：相遇n次，S =n圈；环形追
和
及的结论：追上n次，S =n圈。
差
5.几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：1/2*（a+b）*h；圆柱体积公
式：S*h=πr²*h；圆锥体积公式：1/3*S*h。
6.勾股定理（只适用于直角三角形）：a²+b²=c²（如果三角形为直角三角形，
那么这个三角形的三边一定满足勾股定理；反之，如果三角形的三边满足勾股定
1理，那么这个三角形一定是直角三角形，例如三角形的三边分别为 6、8、10，
因为6²+8²=10²，所以此三角形是直角三角形）；常见的三组特殊勾股数：3、4、
5，6、8、10，5、12、13。特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°三边比例
=1： ：2；45°、45°、90°三边比例= ： ：2=1：1： 。30°对应边长
3 2 2 2
为1，45°对应边为 ，60°对应边为 ，90°对应边为2。
7.底（高）相同的2三角形，面积比等3于高（底）之比；相似三角形，对应边
之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
8.等距离平均速度和变速的区别：等距离平均速度→一段距离内，速度是不
变的，一直是v，下一段距离内，速度始终不变，一直是v，即等距离平均速度
1 2
=2*v*v/（v+v）（强化练习课程会讲到）；变速运动→速度一直在变化，每分每
1 2 1 2
秒速度都在变化。
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第165～169页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握捆绑法、插空法和隔板法的适用范围和操作步骤
（3）掌握概率问题的两种考法——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
第八节 排列组合与概率问题
一、排列组合
（1）基础概念
（2）经典题型
二、概率问题
2【注意】排列组合与概率问题：
1.排列组合：
（1）基础概念。
（2）经典题型。
2.概率问题：在排列组合基础上延伸出来的内容。
一、排列组合问题
（一）基础概念
分类用加法，要么……要么……
分步用乘法，既……又……（都要满足）
【注意】基础概念：
1.分类用加法（加法原理），要么……要么……。
例：老师从北京A地前往上海B地出差，最常见的是坐飞机、高铁，假设乘
飞机有3趟航班可以选，乘高铁有5种方法可以选，问从A地到B地一共有多少
种方法？
答：用造句的方法，不可能造句为“既要坐飞机、又要坐高铁”，应该是“要
么坐飞机、要么坐高铁”，分类用加法，从A地到B地一共有3+5=8种。
2.分步用乘法（乘法原理），既……又……（都要满足）。
例：老师从北京A地前往上海B地出差，直达票卖完了，需要在C地中转，
从A地到C地再到B地，从A地到C地有7种方法、从C地到B地有6种方法，
问从A地到B地一共有多少种方式？
答：用造句的方法，不可能造句为“要么从 A 地到 B 地，要么从 A 地到 C
地”，应该是“既要从A地到C地，又要从C地到B地”，分步用乘法，从A地到
B地一共有7*6=42种。
【练习】某市从市儿童公园到市科技馆有6种不同路线，从市科技馆到市少
年宫有5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有4种不同路线，则从市儿童公
园到市少年宫的路线共有：
A.24种 B.36种
3C.34种 D.38种
【解析】拓展.从市儿童公园到市少年宫可以走直达路线也可以走中转路线。
中转路线：市儿童公园到市科技馆有6种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5
种不同路线，既要从市儿童公园到市科技馆，又要从市科技馆到市少年宫，
“既……又……”的关系，分步用乘法，中转路线有 6*5=30种。直达路线：从
市儿童公园到市少年宫有4种不同路线。要么走直达路线，要么走中转路线，分
类用加法，所求=4+30=34种，对应C项。【选C】
排列与组合如何区分
排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）
组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）
补例1：从8个人中选出2个人分别获得一等奖、二等奖，有（ ）种情况？
补例2：从8个人中选出2个人获得优秀奖，有（ ）种情况？
【判定标准】将选出的主体尝试调换顺序
结果不同，与顺序有关（排列）；结果一样，与顺序无关（组合）
【注意】排列与组合如何区分：
1.排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）。
2.组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）。
3.举例：
（1）补例 1：从 8 个人中选出 2 个人分别获得一等奖、二等奖，有（ ）
种情况？
答：假设是甲得一等奖、乙得二等奖，调换顺序后，甲得二等奖、乙得一等
奖，调换后结果不同，甲乙≠乙甲，说明与顺序有关，用A，共有A（8,2）种情
况。
（2）补例2：从8个人中选出2个人获得优秀奖，有（ ）种情况？
答：假设甲、乙获得优秀奖，调换后是乙、甲得优秀奖，调换后结果一样，
甲乙=乙甲，说明与顺序无关，用C，共有C（8,2）种情况。
4.判定标准：将选出的主体尝试调换顺序。
（1）结果不同，与顺序有关（排列）。
4（2）结果一样，与顺序无关（组合）。
5.问题：行测五大模块，做题时顺序可以随意调整，那么这五大模块的做题
顺序应该用C表示还是用A表示？
答：有的同学错误认为“做题时顺序可以随意调整”，是没有顺序的，应该
用C表示。先做数学再做言语和先做言语再做数学，最后得到的分数是不一样的，
先易后难和先难后易考试的结果一定是有区别的，因此这五大模块的做题顺序应
该用A表示。做题时不要被题目迷惑，题目中可能会给出“顺序可以随意调整”
的信息，“顺序可以随意调整”代表是有顺序的，只不过这个顺序无论如何调换
都是满足要求的。
计算
A（n,m）=从n开始往下乘m个数
C（n,m）=从n开始往下乘m个数/从m开始往下乘到1
【注意】计算：排列组合的答案一般有几倍、甚至是几十倍的差距，选项的
跨度比较大，和资料分析类似，往往都可以用尾数法，或者计算大概的结果（量
级）即可。
1.A（n,m）=从n开始往下乘m个数。
（1）A（8,2）=8*7=56。
（2）A（7,3）=7*6*5。
（3）A（10,4）=10*9*8*7。
（4）理解（※）：以 A（8,2）为例，从 8 个中有顺序的选 2 个。第一步，
从8个中选1个人获得一等奖，有8种选法；第二步，从剩下的 7个人中再选1
个人获得二等奖（只能从剩下的7个人选，不能从8个人中选，因为前面已经选
出1个人获得一等奖了，如果还是从8个人中选，可能会重复选到同一个人获奖），
分步用乘法，可以理解为既要选出第一个人获得一等奖，又要选出第二个人获得
二等奖，“既……又……”，用乘法，故A（8,2）=8*7。
2.C（n,m）=从n开始往下乘m个数/从m开始往下乘到1=A（n,m）/从m开
始往下乘到1。
（1）C（8,2）=8*7/（2*1）=28种。熟练后“*1”这一步可以省略不写。
5（2）C（7,3）=7*6*5/（3*2*1）=35 种。虽然写出来的是分数，但是算出
来的结果一定是整数，若算出的结果不是整数，说明分子、分母中至少有一个出
现了失误，需要重新检查一下。
（3）C（10,4）=10*9*8*7/（4*3*2）=210种。
（4）理解（※）：假设要算A（8,2），第一步，先无顺序的从8个人中选2
个→C（8,2）；第二步，再把选出来的这2个人进行排序→A（2,2）。“先……再……”
相当于“既……又……”，A（8,2）=C（8,2）*A（2,2）→C（8,2）=A（8,2）/A
（2,2）=8*7/（2*1）。A（n,m）=先C（n,m）*再A（m,m）→C（n,m）=A（n,m）
/A（m,m）。
【例1】（2024联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择
4人，可能的选择方式正好是选择3人时的10倍，问该单位有多少名职工？
A.32 B.33
C.42 D.43
【解析】1.假设总职工数有n人，从n人中选4人，无顺序，为C（n,4）；
从 n 中选 3 人，无顺序，为 C（n,3）。根据题意列式，C（n,4）=C（n,3）*10
倍，[n*（n-1）*（n-2）*（n-3）]/（4*3*2*1）=[n*（n-1）*（n-2）]/（3*2*1）
*10→（n-3）/4=10，则n=43，对应D项。【选D】
6【注意】选择甲乙去培训，和乙甲去培训，结果是一样的，与顺序无关，用
C表示。
【例2】（2024广东）某高校中文系计划从 3名男生和 3名女生中选派 4 名
学生参加暑期支教活动。如果选派的女生不少于2名，则选派方案共有多少种？
A.4 B.8
C.12 D.16
【解析】2.方法一：要求选派的女生不少于2名，分情况讨论为：
（1）选派女生2名，男生2名：3名男生中选2名男生，无顺序要求，为C
（3,2）。3名女生中选 2名女生，无顺序要求，为 C（3,2）。既要选女生，又要
选男生，分步相乘，故C（3,2）*C（3,2）=C（3,1）*C（3,1）=3*3=9。
（2）选派女生3名，男生1名：3名女生中选3名女生，无顺序要求，为C
（3,3）。3名男生中选 1名男生，无顺序要求，为 C（3,1）。既要选女生，又要
选男生，分步相乘，故C（3,3）*C（3,1）=1*3=3。
要么（1），要么（2），分类相加，所求=9+3=12。则选派方案共有12种，对
应C项。
方法二：如果正面太复杂，可以反过来写，即所求（正面情况数）=总情况
数-反面情况数。总情况（基本事件）是从6个人中选4个人，无顺序，为C（6,4）
=C（6,2）=（6*5）/2=15 种，排除 D 项；正面情况是女生不少于 2 名，则反面
情况是女生少于 2 人（即女生为 1人或 0 人），因为男生只有 3 人，女生若是 0
人，就不能满足基本情况了，因此反面情况只能是女生选1人，男生选3人，则
反面情况为C（3,1）*C（3,3）=3*1，所求=15-3*1=12种，对应C项。【选C】
【注意】
1.选择甲、乙去支教，和乙、甲去支教，结果是一样的，与顺序无关，用C
表示。
2.不多于（≤）、不少于（≥）2人，是包含2人的。
3.C（n,m）=C（n,n-m），如“从100个人中选99个人去扫地”，和“唐宋老
7师比较瘦弱，于是唐宋老师不去扫地，让其余的99个人去扫地”是一回事。从
100人中正面选99个人，和反面从100人中选1人是一样的，即C（100,99）=C
（100,100-99）=C（100,1）。注意这种算法只适用于C，不能用于A，因为A（100,99）
需要对99个人进行排序，而A（100,1）只需要对1个人进行排序，两者复杂度
不同，故A（100,99）一定不等于A（100,1）。
4.C（n,n）=C（n,0）=1 种，即“打包全部带走”，和“一个都不要”实际
上是一样的。C（n,1）=A（n,1）=n，如从7个中选1个，无论是C（7,1）还是
A（7,1）结果都是7。
5.易错点辨析：想偷懒不分类，直接一步到位。先选2女，再从剩下的人随
便选2人凑齐。错在哪？
答：错在算重复了。假设3名女生分别为甲、乙、丙，先选的两个女生是甲、
乙，再从剩下的人选出丙+男，“先……再……”，这样选出来的结果是有顺序的，
而实际上甲、乙、丙三个女生之间是没有顺序的，因此可能会与其余情况有重复。
第二种情况可能是先选出甲、丙，再选乙+男，和第一次选的情况是一样的，因
为甲乙丙之间排出了顺序，导致算重复了，因此结果也是错误的。
6.例：联考有 3 门 A 类课、4 门 B 类课，从其中选择 4 门课程，要求 A、B
类课程至少都要选1门，是否可以先选一门A类课程再选一门B类课程，剩下的
随意选呢？答案一定是不可以的。因为先选一门A类课程，万一后面又选择到一
门A类课程，这两门A类课程之间就会产生先后顺序，正确做法是从A类课程中
选择A类，从B类课程中选择B类，满足题目要求即可。类似的，一共有3个医
生、5个护士，从中选出3人组成一个医疗小分队，同样的，也不能先选1个医
生、1个护士，剩下的随意选，因为先选的医生和后选的医生会产生先后顺序，
会选重复，正确的做法是分开选。
【例3】（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、
自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6个分
项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算去现场
观看比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均
不交叉，则不同的观赛方式有：
8A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【解析】3.要求每个大项不少于1个，正面情况为：（1）滑雪大项中选择3
个分项，滑冰大项中选择3个分项；（2）滑雪大项中选择4个分项，滑冰大项中
选择2个分项；（3）滑雪大项中选择5个分项，滑冰大项中选择1个分项。
正面情况数较多，考虑反面做，用总情况数-反面情况。要求每个大项不少
于 1 个，总的情况数是从 9 个分项中选择 6 个项目，不用排序，有 C（9,6）=C
（9,3）=9*8*7/（3*2）=84 种情况。正面情况数一定小于总情况数，可以直接
排除B、C、D项，选择A项。
反面情况为某个大项选0个，不能让滑雪大项为0（滑冰分项仅有3个，故
不可能全为滑冰项目），可以让滑冰大项为 0，则反面情况为从 6 个滑雪分项中
选择6 个项目，不用排序，有 C（6,6）=1种情况。所求=总情况数-反面情况数
=84-1=83种，对应A项。【选A】
【注意】
1.正难反易：正面情况很多但反面情况很少，可考虑反面做。用总情况数减
去反面情况。
2.正面情况“每个大项不少于1个”，即滑雪≥1且滑冰≥1（两类都要），“都”
的反面是“不都”，而不是“都不”。反面是只要其中一类（或 0 类），本题要 0
类无法满足选 6个节目的要求，所以只考虑“要一类”，因此反面是全部都选择
滑雪或全部都选择滑冰。
【练习】（2024山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地
区开展对口支援工作。该医院现有6名男医生和3名女医生报名，现从9人中抽
取一组男、女医生都有的3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】拓展.要求 9人中抽取一组男、女医生都有的 3人小分队，分类讨
论：
9（1）1 男 2 女：从 6 名男医生中选 1 名，无顺序要求，为 C（6,1）；从 3
名女医生中选 2 名，无顺序要求，为 C（3,2）=C（3,1）。男医生和女医生都要
选，用乘法，为C（6,1）*C（3,2）=6*3=18种。
（2）2 男 1 女：从 6 名男医生中选 2 名，无顺序要求，为 C（6,2）；从 3
名女医生中选1名，无顺序要求，为C（3,1），男医生和女医生都要选，用乘法，
为C（6,2）*C（3,1）=6*5/（2*1）*3=15*3=45种。
综上，要么1男2女、要么2男1女，分类用加法，所求=18+45=63种，对
应A项。
方法二：从反面看。基本事件是“从9个人中选3人”，即总情况是C（9,3）；
正面情况是男、女都有，则反面情况是全是男或全是女，全是男医生，为C（6,3），
全是女医生，为C（3,3），“或”用加法，即反面情况为C（6,3）+C（3,3）=20+1；
所求=84-（20+1）=84-21=63，对应A项。【选A】
（二）经典题型
（2）经典题型及方法
①相邻问题：捆绑法
②不相邻问题：插空法
③同素分堆问题：隔板法
【注意】经典题型及方法：近些年考试中非常常见。
1.相邻问题：捆绑法。
2.不相邻问题：插空法。
3.同素分堆问题：隔板法。
捆绑法
特征：必须相邻（在一起）
10方法：
先捆：把相邻的元素捆绑在一起，注意内部顺序。
再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体进行排列。
【引例1】A、B、C、D、E五人排成一列照相，其中A、B是一对情侣，要求
照相时必须相邻，一共有多少种排法？
【引例 2】A、B、C、D、E 五人排成一列照相，其中 AB和 CD是两对情侣，
要求情侣照相时必须相邻，一共有多少种排法？
【注意】捆绑法：
1.特征：必须相邻（在一起）。
2.方法：
（1）先捆：把相邻的元素捆绑在一起，注意内部顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体进行排列。
3.引例1：A、B、C、D、E五人排成一列照相，其中A、B是一对情侣，要求
照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：先捆：先把 A、B 捆绑起来，2 个人捆绑内部有顺序（照相 A 在左和 B
在左不一样，照相默认是有顺序的），从2个人中选2个人排列，2个人内部全
排列→表示为 A（2,2）=2种，如果是 5个人捆绑，内部顺序为 A（5,5），n 个
人内部顺序为A（n,n）。再排：将捆绑后的AB看成一个主体，和剩余的C、D、
E共4个主体进行排序，从4个人中选4个人排列，4个人全排列，表示为A（4,4）
=4*3*2*1=24种。先捆再排，“既……又……”的关系，分步相乘，所求=2*24=48
种。
4.引例 2：A、B、C、D、E 五人排成一列照相，其中 AB和 CD是两对情侣，
要求情侣照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：先捆：将 A、B 捆绑起来，表示为 A（2,2）；将 C、D 捆绑起来，表示
为A（2,2）；既要捆A、B，又要捆C、D，分步相乘，表示为A（2,2）*A（2,2）。
再排：将捆绑后的A、B和C、D 分别看成一个主体，E是一个主体，一共三个主
体照相排列，照相默认有顺序，表示为 A（3,3）；既要捆绑，又要排列，用乘
法，所求=A（2,2）*A（2,2）*A（3,3）=2*2*6=24种。
11【例4】（2024联考）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。三个部门分别派
出2、4、4 个选手共计10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部
投完再安排另一个部门的人员，则这10人不同的投篮顺序种数的范围是：
A.小于1000 B.1000～5000
C.5001～10000 D.10000以上
【解析】4.“同一个部门的选手顺序相连”→考虑捆绑法。
（1）先捆：三个部门分别捆绑的内部顺序（问的就是投篮顺序）为A（2,2）、
A（4,4）→例如是4个语文老师排序、A（4,4）→例如是4个英语老师排序，“既……
又……”的关系→用乘法→A（2,2）*A（4,4）*A（4,4）。
（2）再排：捆绑后每个部门均看成一个整体，共 3个部门整体之间排序，
表示为 A（3,3）。先捆再排，分步用乘法，答案是范围，不能用尾数法，大概
估算（比完整算快），所求=A（2,2）*A（4,4）*A（4,4）*A（3,3）=2*24*24*6=48*144，
48*一百多好几十的数，结果比 4800 大很多，会＞5000，但结果＜10000
（48*200=9000+＜10000），对应C项。【选C】
【拓展】（2021 安徽）某高中学校的一次演讲比赛，每个年级分别派了三
名、两名、四名学生参加，若每个年级参赛选手比赛顺序必须相连，那么共有多
少种不同的参赛顺序？
A.1728 B.864
C.576 D.432
【解析】拓展.课堂正确率为82%。出现“必须相连”，考虑捆绑法。
（1）先捆：3个人的年级捆绑为A（3,3），2个人的年级捆绑为A（2,2），
4个人的年级捆绑为A（4,4）。
（2）再排：每个年级捆绑后看成一个整体，一共3个年级的整体进行排序，
表示为A（3,3）。先捆再排，分步用乘法，所求=A（3,3）*A（2,2）*A（4,4）
*A（3,3），选项尾数各不相同，考虑尾数法（根据选项选择计算方法），原式=
（6*2）*（24*6）→尾2*尾4=尾8，对应A项。【选A】
12【注意】不是算得越精确越好，就像资料分析，能估算时不估算，最后做的
题目比别人少。
插空法
特征：不能相邻（不在一起）
方法：
先排：先安排可以相邻的主体，自动形成若干个空位。
再插：将不相邻的主体插入到空位中。
【引例】A、B、C、D、E、F六人排成一列照相，其中A、B、C发生了矛盾，
要求照相时互不相邻，一共有多少种站法？
【注意】插空法：
1.特征：不能相邻（不在一起）。
2.方法：
（1）先排：先安排可以相邻的主体，自动形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的主体插入到空位中。
3.引例：A、B、C、D、E、F六人排成一列照相，其中A、B、C发生了矛盾，
要求照相时互不相邻，一共有多少种站法？
答：先排：先排可以相邻的 D、E、F，3 个人排序，不是从 6 个人随便选 3
个人，则不是A（6,3），而指定D、E、F这3个人，故有A（3,3）=6种情况；
再插：从3个人自动形成的4个空位（这个空位不需要计算顺序，空位比人数多
1个）中选3个放A、B、C这3个人，空和空之间至少有1个人，则可以保证A、
B、C互不相邻，A、B、C和C、A、B不同，有顺序，有A（4,3）=4*3*2=24种情
况，也可以写成C（4,3）*A（3,3）→理解为先从4个空中选3个空位（空和空
没有顺序），再将3个人放进去，3个人是不同的，有顺序，逻辑与刚开始推导
C（n,m）时一样，先无顺序地选人，再将空排好顺序将人放进去，C（4,3）*A
（3,3）=A（4,3），建议按照前面的思路做题。既要排列，又要插空，分步用乘
法，所求=A（3,3）*A（4,3）=6*24=144种。
13【例5】（2020联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏
分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观
看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24种 B.72种
C.96种 D.120种
【解析】5.“先后学”→不是“先后后……”这一种，这里的“先后”与“同
时”相矛盾。
方法一：“不能连续”→不能相邻，考虑插空法。
（1）先排：先排可以相邻的另外3个部分，问“学习顺序”→有顺序，有
A（3,3）=6种。
（2）再插：从这3个部分形成的4个空位中选2个放入视频和阅读文章（联
想→将视频和阅读文章插到不同的监狱小隔间中），涉及不同的学习顺序，有A
（4,2）=4*3=12 种。先排再插，“既……又……”的关系，分步用乘法，所求
=6*12=72种，对应B项。
方法二：本题可以从反面考虑（这样做并不快），但很多题目不可以。“视
频和阅读文章不能连续进行”的反面是视频和阅读文章相邻，考虑捆绑法。
（1）先捆：先将视频和阅读文章捆绑起来，表示为A（2,2）。
（2）再排：将捆绑后的视频和阅读文章看成一个整体，再和另外 3个部分
共 4 个整体进行排序，表示为 A（4,4）。既要捆又要排，分步用乘法，反面情
况数为A（2,2）*A（4,4）。总情况数：5个部分全排列→A（5,5），所求=总情
14况数-反面情况数=A（5,5）-A（2,2）*A（4,4）=120-48=72种，对应B项。【选
B】
【注意】
1.记住常考排列数：A（3,3）=6、A（4,4）=24，A（5,5）=120。
2.例如引例不能用“总情况数-反面情况数（A、B、C 相邻）”求解，因为
只有2个元素互不相邻的反面是相邻，而3个元素及以上互不相邻的反面不是全
都相邻，是对立关系，A、B、C相邻的反面可能是 A、B、C均不相邻，还可能是
AB相邻、与C不相邻，还可能是AC相邻、与B不相邻，还可能是BC相邻、与A
不相邻。
【例6】（2023联考）某空军基地举行飞行训练，有8架歼击机、3架预警
直升机、2架反潜直升机参与训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3架歼
击机、2架预警直升机、1 架反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞 1架飞
机，其中3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的
起飞方式有多少种？
A.504 B.4032
C.8064 D.24192
【解析】6.本题考试复杂度→有些超标，拆开一步一步没那么难，可以听思
路。“每架飞机编号不同”→飞机需要考虑顺序。如果选飞机时就将顺序排好，
若后面还排序，前后顺序就重复了，若后面不排序，有的步骤之间可能是需要排
序的，有可能忘记某个顺序，因此既要选择不同的飞机，又要考虑它们之间的排
序→第一步只选飞机不排序，第二步再排它们之间的关系（排序），这样做不容
易重复，逻辑清晰。从8架歼击机中选择3架→C（8,3）；从3架预警机中选2
架→C（3,2）；从2架反潜机中选1架→C（2,1）；“既……又……”的关系，
分步用乘法，情况数=C（8,3）*C（3,2）*C（2,1）=8*7*6/（3*2*1）*3*2=56*3*2=336。
要求“3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞”，先考虑
相邻（因为3架歼击机是内部的关系，2架预警直升机是与其飞机的关系，先安
内再攘外），第一步，将3架歼击机捆起来（并看成一个整体）→A（3,3）=6；
15第二步，先排好其他的飞机，再把预警直升机插空，先排歼击机（捆绑后的整体）、
反潜直升机→A（2,2）=2；从这2个主体形成的3个空中选2个插入预警直升机，
飞机编号不同，有顺序，表示为 A（3,2）=3*2=6。“既……又……”的关系，
分步用乘法，所求=C（8,3）*C（3,2）*C（2,1）*A（3,3）*A（2,2）*A（3,2）
=336*6*2*6=336*72＞300*70=21000（无法用尾数法，选项有 2 个尾数是 2、2
个尾数是4；算错一个数就容易选错），仅D项符合。【选D】
【注意】
1.本题综合性非常强，考查了基本概念、捆绑法、插空法，考场上不熟练可
以酌情跳过。
2.假设答案是B项，乘以2答案就是C项，C项*3=D项，计算过程中算错一
步就可能选错答案。
如果命题人发现本题考查难度过高，后续考试想要调低难度，你能否做出以
下两题？
改编题 1：某空军基地举行飞行训练，有 8 架歼击机、3 架预警直升机、2
架反潜直升机参与训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3架歼击机、2架
预警直升机、1架反潜直升机进行起降飞行。那么选择飞机的情况共有（ ）种？
（336）
改编题2：某空军基地举行飞行训练，需派出3架歼击机、2架预警直升机、
1架反潜直升机进行起降飞行，每架飞机编号不同。若每次只能起飞1架飞机，
16其中3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起飞
方式有（ ）种？（72）
PS：不要因某道真题难度大而放弃整道题的知识点学习。难度可以变，知识
点不会变。
【注意】找近3年的高考卷的排列组合的填空题，大多数省份的题没有例6
难度高。
1.改编题1（基础的排列组合题，考查基础概念）：从8架歼击机中选择3
架（只要选飞机，没有要求排顺序）→C（8,3）；从3架预警机中选2架→C（3,2）；
从2架反潜机中选1架→C（2,1）；“既……又……”的关系，分步用乘法，情
况数=C（8,3）*C（3,2）*C（2,1）=336。
2.改编题2：既有相邻的要求，又有不相邻的要求，先考虑相邻，将3架歼
击机捆起来（并看成一个整体）→A（3,3）；先排好其他的飞机，再把预警直升
机插空。先排歼击机（捆绑后的整体）、反潜直升机→A（2,2）；从这2个主体
形成的3个空中选2个插入预警直升机，飞机编号不同，有顺序，表示为A（3,2）。
分步用乘法，所求=A（3,3）*A（2,2）*A（3,2）=72。
3.不要因某道真题难度大而放弃整道题的知识点学习。难度可以变，知识点
不会变。
【拓展】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货
柜上排成一排，其中A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同
的排列方式。
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】拓展.课堂正确率为68%。既要捆绑、又要插空→先捆绑再插空。A、
B要求相邻，捆绑为A（2,2）=2种；再插空，C、D要求不相邻，先排除了C、D
之外的AB这个整体和E共2个元素，表示为A（2,2）=2种；从2个元素形成的
3个空中选出2个空放C、D，C在第一个空和D在第一个空是不同的，有顺序，
表示为 A（3,2）=3*2=6 种（若此处用“C（3,2）”会错选 A 项，应该是→“C
17（3,2）*A（2,2）”）。“既……又……”的关系，用乘法，所求=2*2*6=24种，
对应C项。【选C】
【注意】最容易错在 24的倍数或约数上，答案是 C项，多算了 2 倍就错选
了D项，少算了2倍就错选了A项。
隔板法（插板法）
特征：同素分堆（例如分苹果）
方法：将 n 个相同的元素分成 m 堆，每堆至少分 1 个，有 C（n-1,m-1）种
情况
【引例】将8个相同的苹果分给3个同学，每个同学至少分1个，有多少种
情况？
原理：
①N个元素有N-1个空位，需要M-1个板子
②将M-1个板插入N-1个空，共有C（N-1,M-1）
【注意】隔板法（插板法）：简单题型，只要会区分题型即可。
1.特征：同素分堆（例如分苹果）。
2.方法：将 n 个相同的元素分成 m 堆，每堆至少分 1 个，有 C（n-1,m-1）
种情况（固定算法）。强化课会拓展考查较少的变形（个别省份、自主命题的省
份会考查）。
3.引例：将8个相同的苹果分给3个同学，每个同学至少分1个，有多少种
情况？
18答：有同学考虑用枚举法→1、1、6，1、2、5，……，但若情况数较多，例
如18、28、80、800，这样做就比较麻烦。1、1、6的逻辑是用 3个筐装这 8个
苹果，更简单一点的逻辑→3个同学只需要2个木板就能分成3堆，最左边是第
一个人，两个木板中间是第二个人，最右边是第三个人，区分谁是第一、二、三；
一共8个苹果，将板子插到苹果中间，8个苹果形成9个空（2个苹果→3个空、
3个苹果→4个空、4个苹果→5个空），但最左边和最右边的空不能插（最左边
的人和最右边的人分0个，不满足题意），只能从中间的7个空中选 2个空放木
板，而木板是虚构的，没有顺序（调换2个木板后看不出来发生了调换），表示
为C（7,2）=7*6/2=21种，或者直接套公式，n=8、m=3，所求=C（8-1,3-1）=C
（7,2）。
4.原理：
（1）N个元素有N-1个空位（最左、最右这2个空不能用→N+1-2），需要
M-1个板子。
（2）将M-1个板插入N-1个空，共有C（N-1,M-1）。
5.公式“C（N-1,M-1）”用C表示的原因：例如8个苹果如图插空→1、3、
4，打乱顺序→4、3、1（考虑到了该情况），数字位置变换→木板位置跟着变→
左中右的区分→将人的顺序分得清楚，因此用C能求出答案，不用再将木板排一
遍顺序，若用A表示，就既排了木板的顺序，又将“左中右”排了一遍，排了2
次，出现重复。
19【例7】（2020联考）某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种
C.96种 D.114种
【解析】7.8个相同的元素分到4个路口，每个路口至少1个，直接套公式，
所求=C（8-1,4-1）=C（7,3）=7*6*5/（3*2*1）=35种，对应A项。【选A】
【注意】
1.问每个路口协管员名额的分配方案有多少种，注意分配的是名额，名额是
相同的。考试时不会改成8个人，答案会是几千、几万，甚至几十万、几百万，
随便10个人分到几个路口，每个人4种分法，答案是104，虽然其中有很多错的，
但104是天文数字了，因此考试时很多东西分配（8个、10个、20个）时，一般
是相同的东西。
2.隔板法（最简单）在最近几年的国考、联考都考查过，2020 年联考突然
考查了 2道，1道排列组合、1道概率，但不是每年都出，因为排列组合有很多
种考法，刚才讲解的三种题型就算轮着考也不是每年都考，排列组合在一次试卷
中一般2～3题，不可能每种题型都考查一遍。
二、概率问题
20给情况求概率（多）
概率=满足要求的情况数/所有情况数
给概率求概率（少）
【注意】概率问题：概率问题在行测真题中比排列组合简单得多，虽然依托
排列组合存在，但出题时需要学生有排列组合的基础，而基础要求得越多，出题
越会降低难度。
1.给情况求概率（考查多，大概占70%、80%）：概率P=满足要求的情况数/
所有情况数。例如买彩票，问中奖的概率，所求=中奖的情况数/总情况数，这里
的情况数用排列组合求。
2.给概率求概率（考查少）：例如今天晴天是 0.1，下雨的概率是 0.X，阴
天的概率是0.Y，求今天……的概率。
【拓展】（2023国考）单位将10个培训名额分配给4个分公司，要求在每
个分公司至少分配1个名额的所有分配方案中，随机选择1个方案实施，问……
的概率为多少？
A.3/50 B.1/10
C.3/25 D.1/7
【解析】拓展.概率问题，P=满足要求情况数/总情况数。总情况数→在每个
分公司至少分配1个名额的所有分配方案中；所问中的“……”→满足特定要求，
比较复杂，不会做，先看分母（总情况数），考虑插板法，代入公式：C（n-1,m-1）
→C（10-1,4-1）=C（9,3）=84（出题时故意设置的），无论分子是多少，分母
无法约分得到50、10、25（84不是 50、10、25的倍数），排除A、B、C项，对
应D项。【选D】
【注意】
211.插板法：将n个相同的物品分成m堆，每堆至少分1个，有C（n-1,m-1）
种情况。
2.概率题优先算分母，算完后可以看一眼选项，利用倍数特性选答案。
【例1】（2024联考）中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有
3个是蛋黄馅的。回到家后，小赵从中任取3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅
的概率是：
A.9/20 B.1/2
C.3/5 D.11/20
【解析】1.求概率，条件中没给概率，为给情况求概率问题，P=满足要求情
况数/总情况数。总情况数（随机、总、任意）：从 6个中随便选择 3 个（没要
求排序）→C（6,3）。满足要求（特定要求）的情况数（……的概率是……）：
有1个是蛋黄馅且另外2个不是蛋黄（概率问题常考的基本逻辑，例如3个同学
中恰好有1个行测及格，说明另外两个必定不及格），分开算才能保证不重不漏，
从3个蛋黄馅中选择1个→C（3,1），从另外3个非蛋黄馅中选择2个→C（3,2），
“既……又……”的关系，用乘法，情况数为 C（3,1）*C（3,2）。综上，P=C
（3,1）*C（3,2）/C（6,3）=3*3/20=9/20。【选A】
【注意】
1.C（n,m）=C（n,n-m）、A（n,m）≠A（n,n-m）。
2.考场操作：总情况数（随机、总、任意）→C（6,3）=20；选项没有3/20
（本题没设置该坑；有的同学可能认为蛋黄 3个里挑 1个→3，会选这个错误答
案），蛋黄挑3个里挑1个→3、不是蛋黄3个里挑2个→3，满足要求的情况数
→3*3，所求=3*3/20。
22【例2】（2024联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45名老人提
供居家养老服务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x＜70，
有17人；70≤x＜80，有12人；80≤x＜90，有11人；90岁及以上有5人。现
从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在
80岁以上（含80岁）的概率是：
A.4/33 B.11/45
C.16/45 D.1/3
【解析】2.给情况求概率，P=满足要求情况数/总情况数。总情况数：从45
名老人随机选 2人（没有要求排序，只需选人）→C（45,2）；满足要求的情况
数：从80岁以上（含80岁）的11+5=16人中选2人→C（16,2）；所求=C（16,2）
/C（45,2）=16*15/（2*1）÷[45*44/（2*1）]=16/（3*44）=4/33，对应A项。
【选A】
【例 2 改编】（2024 联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区 45名
老人提供居家养老服务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x
＜70，有17人；70≤x＜80，有12人；80≤x＜90，有11人；90岁及以上有5
人。现从该社区中随机抽取1名老人了解居家养老服务情况，那么这1名老人恰
好在80岁以上（含80岁）的概率是：
A.4/33 B.11/45
C.16/45 D.1/3
【解析】拓展.总情况数：从 45 名老人随机选 1 人→45 种（此时不用 C 表
示，若抽 2 个、多个，就要用公式计算，涉及约分）；满足要求的情况数：从
80岁以上（含80岁）的11+5=16人中选1人→16种；所求=16/45，对应C项。
【选C】
【注意】只算了80≤x＜90的，会错选B项。
【例3】（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、
麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定
23从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率
是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】3.给情况求概率，P=满足要求情况数/总情况数。总情况数：从 8
个展厅中随机选取3个进行参观→C（8,3）；问“叶雕和皮影展厅至少一个被选
中的概率”，正面考虑→要么只有 1 个被选中，要么 2 个都被选中，正面有 2
种情况，正面做不难，但本题反面做更快；考虑反面分析，反面情况为叶雕和皮
影这2 个都没被选中，所求=1-反面概率。反面的满足要求的情况数：叶雕和皮
影都不选，从另外6个展厅中选出3个→C（6,3）；反面概率=C（6,3）/C（8,3），
分子和分母都是选3个，均有除以3*2*1，可以约掉，因此也可以直接用 A表示，
一件事要么发生、要么不发生，正反概率相加为1，所求=1-C（6,3）/C（8,3）
=1-6*5*4/（8*7*6）=1-5/14=9/14，不要误选A项，对应C项。【选C】
【注意】
1.概率题特别喜欢问“至少1个……”，近2年公务员、事业单位考试至少
5道题目如此出。
2.猜题技巧：概率题若适合反面思考（正难则反），观察选项中是否有→正
面概率+反面概率=1（这样的选项分母相同），发现 A项+C项=1，答案 90%的概
率在A、C项中，若该事件是大概率事件，就选大的，若该事件是小概率事件，
就选小的，而“正面概率+反面概率=1”时，往往正面复杂数字大，反面简单数
字小，求正面优先猜较大的。
【拓展】（2024 江苏考生回忆版）小张所在单位共有 4 个科室，现以科室
为单位组织文艺演出，每个科室出2个节目。演出结束后，因 8个节目都非常精
彩，决定从中随机选3个节目参加上级组织的汇演。则小张所在科室出的节目至
少有一个被选送参加汇演的概率是（ ）。
A.11/20 B.9/14
C.暂缺 D.暂缺
24【解析】拓展.2024 省考江苏和山东同一天考试，但卷子不同。若在 A、B
项中选，快速的方法：总情况→C（8,3）=8*7*6/（3*2*1）=56，56 不是 20 的
倍数，排除A项，对应B项。【选B】
给情况求概率（多）
概率=满足要求的情况数/所有情况数
给概率求概率（少）
分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
例：中了一等或二等奖的概率=一等奖概率P+二等奖概率P
1 2
分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
例：连两次奖的概率=中第一次的概率P*中第二次的概率P
1 2
【注意】概率问题：
1.给情况求概率（考查多）：概率=满足要求的情况数/所有情况数。
2.给概率求概率（考查少）：
（1）分类用加法：P=P+P+……+P。
1 2 n
例：中了一等或二等奖的概率=一等奖概率P+二等奖概率P。
1 2
答：不能重复领奖，要么中一等奖，要么中二等奖，分类用加法。
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P。
1 2 n
例：连两次奖的概率=中第一次的概率P*中第二次的概率P。
1 2
答：既要第一次中奖，又要第二次中奖，分步用乘法。
【例4】（2024上海）某市向广大市民随机发放消费券，规则是先公布消费
券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与度较高，中
签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券依次发放，
市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
【解析】4.“连续三次申请，则他恰好成功两次的概率”→只能成功两次且
另外一次必须失败，这个“两次”没说明是哪是前两次。
25（1）既要第一批成功、又要第二批成功、还要第三批不成功：60%*20%*
（1-20%）。
（2）既要第一批成功、又要第二批不成功、还要第三批成功：60%*（1-20%）
*20%。前两种情况虽然概率的数字相同（可以算其中一个再乘以2），但是是不
同的情况。
（3）既要第一批不成功、又要第二批成功、还要第三批成功：“既……又……”
的关系→用乘法→（1-60%）*20%*20%。
综上，“要么……要么……”的关系，分类相加，所求=60%*20%*（1-20%）
*2+（1-60%）*20%*20%=12%*1.6+40%*4%=19.2%+4-%＜40%，对应A项。【选A】
【注意】计算出结果→12%*80%*2+40%*4%=19.2%+1.6%=20.8%，本题问的是
“约为”，21%更严谨，但最接近的是A项，不可能是其他选项。
【拓展】植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组织员工
植树造林。假设植树的成活率为80%，那么，该单位职工小张种植3棵树苗，至少
成活2棵的概率是：
A.27/125 B.48/125
C.64/125 D.112/125
【解析】拓展.选项均为分数，80%→4/5；至少成活2棵（与刚才的上海题不
同）→成活3棵或成活2棵，所求=P +P 。
活3棵 活2棵
方法一：P （最好算）=4/5*（4/5）*（4/5）=64/125，对应的是C项，本
活3棵
26题选项分母都是一样的，分子20多、40多、60多、100多，差距很大，选项与例4
比较像，首位各不相同，相差比较远时可以估一下，此时还有P 没有计算，所
活2棵
求＞64/125，对应D项。
方法二：所求=P +P 。若只考虑了1种情况，会漏情况，则P 、P 各
活3棵 活2棵 活3棵 活2棵
对应一个选项，二者相加才是正确答案，观察选项，分母均相同，只看分子，B
项+C项=D项，说明B项可能是P ，C项可能是P ，所求对应D项。【选D】
活2棵 活3棵
【注意】P =48/125（分类讨论哪2棵活），对应的是B项。
活2棵
第九节 容斥原理问题
一、两集合公式法
二、三集合公式法
三、画图法
【注意】
1.有的省份考查很多排列组合问题，比如陕西、山西，10 道题中能考查 5
道，且近几年越来越多，故对排列组合问题讲解更深入。
2.第九节：容斥原理（几何问题），本节内容不是高频考点、必考考点，大
概2～3年考查一道题，所以重要性远不及排列组合与概率。容斥原理研究高中
数学中最基本的题型——集合问题，高考数学选择题第一题、第二题经常考查集
合的概念（如A集合、B集合、交集、并集等），但是考查比高中简单的多。
（1）两集合公式法。
（2）三集合公式法。
（3）画图法。
两集合容斥
公式：A+B-A∩B=总数-都不
27【注意】两集合容斥：
1.公式：A+B-A∩B=总数-都不。“∩”是指两个圆圈中间重叠的部分，即“A
∩B”。
2.推导（考试不会考查）：A、B相加后，中间的区域在加A的时候算了一遍，
加B的时候又算了一遍，阴影部分算了两次，需要减去重复的一次，A+B-A∩B；
中间的区域全覆盖到了，但不是全部，集合A、B之外是补集（“都不”），加上集
合A、B就是全集，则A+B-A∩B+都不=总数→A+B-A∩B=总数-都不，移过来后和
三集合公式的右边相同，记忆左边即可。
【例1】（2023事业单位）某大学为培养学生的兴趣爱好，开设了书法和绘
28画两种兴趣班。某专业大一年级共有32名学生，其中选择书法的有20名，选择
绘画的有24名，两个都不选的有2名，那么两个兴趣班都选的学生人数为：
A.14 B.15
C.16 D.17
【解析】1.有多种情况，有交叉（两个都选），考查容斥；两种集合有交叉，
套用两集合公式。A+B-A∩B=总数-都不→书法+绘画-都=全-都不→20+24-（ ）
=32-2，本题数字比较简单，可以直接算，有的题目数字很复杂，如几百、几千，
可以用尾数法，尾数4-（ ）=尾数0→（ ）的尾数是4，对应A项。【选A】
【引例】（2023浙江）某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，
有12%的学生两个科目均不及格……问：班级总人数=（ ）
给数值范围和比例关系，问具体值，一般都是考（ ）
【注意】
1.近几年考试中，纯粹考公式的题目越来越少，更多的是考查引例这种形式。
2.引例：原题虽然不是问总人数，但也与人数相关，核心就是求出总人数；
“70 多”指 71～79，不含 70，也不含 80 及以上。给数值范围（71～79）和比
例关系（12%），问具体值，一般都是考倍数特性。根据题意，12%=都不/总
=12/100=3/25，总人数（分母）是25的倍数，且是“70多”，人数只能是整数，
说明总人数只能是25*3=75人。
【例2】（2022联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.与引例类似，“14%”写出来后分母可能比较复杂，比如 25的倍
数，比较容易选择；而“60%”写出来后分母可能比较简单，比如 5的倍数，有
很多，故选择从比较麻烦的数字入手。都不及格/总=14%=14/100=7/50，总人数
29（分母）是50的倍数，且不超过70人，只能是50人。化学=50*60%=30人，物
理=30+10=40人，都不=50*7/50=7人，代入公式：A+B-A∩B=总数-都不→40+30-
都=50-7，用尾数法，尾0-（ ）=尾0-尾7→（ ）的尾数是7，对应C项。【选
C】
三集合公式（①标准型）
A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不
【注意】三集合公式（标准型）：
1.公式（记忆）：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
2.推导：A∩B在加集合 A 时算了一遍，在加集合 B时也算了一遍，相当于
算了两遍，与两集合同理，需要去掉重复，还要去掉重复的“B∩C”、“C∩A”，
即A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A。去重复时会有新的问题，最中间的阴影部分是集合A、
B、C三者的交叉，三个圆圈都含有它，说明加了三遍；“-A∩B”减去了一次，“-B
∩C”减去了一次，“-C∩A”减去了一次，说明阴影部分全部减没了，需要补一
个“A∩B∩C”（每个区域都要数到，且只数一次，所以只补一个），则 A+B+C-A
∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全-都不。
3.各加（+）、去重（-）、再补漏（+），按照这个逻辑理解公式。
30【例3】（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，
订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订
阅A、C期刊的有73人，订阅三种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.有三种情况，看是否有交叉区域，存在交叉区域（订阅 A、B，
订阅A、C，订阅3种），三集合容斥问题。代入公式：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A
∩B∩C=总数-都不→125+126+135-57-73-（ ）+31=240-17，数字比较多，选项
尾数各不相同，直接看尾数，尽可能观察尾数是否有能凑0的，“5+5”可以凑0、
“-7-3”可以凑0，则尾6-（ ）+尾1=尾3（“0-7”不够减可以借位，用“10-7”）
→（ ）的尾数是 6+1-3=4，或尾 6-（ ）=尾 2→（ ）的尾数是 4，只有 B
项满足。【选B】
三集合公式（②非标准型）
A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不
31【注意】三集合公式（非标准型）：
1.公式（记忆）：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.推导：先把集合 A、B、C相加一遍，需要去重（精细去重），两个部分交
叉区域分别是 m、n、p，三个部分交叉区域是 Q，m 在加集合 A 时计算了一遍，
在加集合 B 时也计算了一遍，计算了两次，去掉重复的一次，同理，n、p 都需
要去掉重复的一次，则A+B+C-m-n-p；与标准型公式不同的是，“A∩B”代表m+Q，
这里只减去了m。集合A、B、C都含有Q，计算了三次，每个区域都只计算一次，
所以去掉重复的两次，各去各的重，不需要再进行补漏，则 A+B+C-m-n-p-2*Q=
全-都不。只满足两项的是m+n+p，满足三项的是Q，对公式进行简单的替换，则
A+B+C-（m+n+p）-2*Q=全-都不→A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=全-都不。
三集合标准型与非标准型的区分
标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）
【例】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标
的有68 种，防腐剂达标的有 77种，漂白剂达标的有 59种，抗氧化剂和防腐剂
32都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标
的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的
有多少种？
非标准型判定：出现只满足两种（满足两种）
【例】某单位开展有关低碳生活的调查活动，结果显示，使用太阳能热水器
的有36 人，选乘公共交通上下班的有 21人，购物自备购物袋的有 47 人。经统
计发现三个问题均为肯定答案的有 4人，仅有两个问题为肯定答案的有 46人，
三个问题均为否定答案的有15人。那么，参加调查的总人数为多少人？
【注意】三集合标准型与非标准型的区分：
1.标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C，
一般给出3句，题干会长一点，数字会多一点）。
例：有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的
有68种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59种，抗氧化剂和防腐剂都
达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的
有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有
多少种？
2.非标准型判定：出现只满足两种（满足两种，一般给出1句，题干会短一
点，数字会少一点）。
例：某单位开展有关低碳生活的调查活动，结果显示，使用太阳能热水器的
有36人，选乘公共交通上下班的有 21人，购物自备购物袋的有 47人。经统计
发现三个问题均为肯定答案的有 4人，仅有两个问题为肯定答案的有 46人，三
个问题均为否定答案的有15人。那么，参加调查的总人数为多少人？
【例4】（2023事业单位）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利申请
情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46家，申请了实
用新型专利的有69家，申请了外观设计专利的有25家，三类专利都申请了的有
12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那么接
受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
33C.106 D.111
【解析】4.只给出一句话，使用三集合非标准型公式，A+B+C-（只）满足两
项-满足三项*2=全-都不→46+69+25-39-12*2=（ ）-16，选项尾数各不相同，
使用尾数法，“9-9”可以凑 0，尾 6+尾 5-尾 4=（ ）-尾 6→尾 7=（ ）-尾6
→（ ）=尾7+尾6=尾3，只有B项满足。【选B】
【注意】移项时注意符号，尾7=（ ）-尾6，不要计算成尾7-尾6=尾1，
这样会错选D项。
【改编】某高新技术园区对园区内的部分企业的专利申请情况进行了调查，
在接受调查的企业中，申请了发明专利的有46家，申请了实用新型专利的有69
家，申请了外观设计专利的有25家，三类专利都申请了的有12家，申请了其中
至少两类专利的有51家，三类专利都没申请的有16家，那么接受调查的企业有
多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【注意】改编：出现“至少两类”（已知 51），要么两类、要么三类（已知
12），可以求出两类的有51-12=39家，然后代入公式即可。
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有（往往是出现只满足一个条件）
画图法三步走：
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】容斥原理的方法选择：
341.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：
（1）题目中所给所求公式里没有（往往是出现只满足一个条件，比如给出
集合A、B，问“只A”）。
（2）画图法三步走：
①第一步，画圈圈（有几个集合画几个圈，两个集合两个圈，三个集合三个
圈）。
②第二步，标数字（从里到外→交叉区域往往容易出错，故从里面开始标；
注意去重→标进去的数不能彼此重复）。比如给出 A 有 20 人，A∩B 有 5 人，如
果把A 标进圈里，20 包含了 5，就重复了，如果不注意把 20和 5加起来，就计
算错了，只A有15人（标在圈里），此时可以用画图法。
③第三步，列算式。
【例5】（2023广东）某单位共有员工 200 人，其中订阅杂志的人数比只订
阅报纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】5.求“均未”，即求“都不”，给出的条件在公式中没有，且给出的
是相差的百分比，不是具体数，使用画图法。画图分析，画出两个圈和方框，标
数据，“只订报纸”是右边的月牙部分，给出总人数和比例，可以使用倍数特性。
35杂志/只订报纸=（1+88%）/1=47/25，总共200人，如果订阅杂志的是47人，那
么只订报纸的是25人，则（ ）=200-47-25=100多，这种情况可能存在，但没
有对应选项；如果订阅杂志的是47*2=94人，那么只订报纸的是25*2=50人，则
（ ）=200-94-50=56，对应B项。【选B】
【注意】梳理：订杂志+只订报纸+都不=200，订杂志和只订报纸之间是没有
重复的，可以计算出订杂志：只订报纸=47：25，试一下是几倍，都不
=200-47-25=100多，没有对应选项；扩大2倍后是94、50，都不=200-94-50=56，
对应B项。
【练习】（2024江苏）某基层工会共有180名会员，举行甲、乙两项工会活
动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有
80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10人 B.36人
C.62人 D.78人
【解析】练习.课堂正确率79%，错选B、D项的同学比较多。出现“只参加
甲活动”，画图分析，参加甲=180*60%=108，参加乙=180*50%=90，只参加甲=80，
36则参加甲乙=108-80=28，只参加乙=90-28=62，对应C项。【选C】
【注意】
1.拓展：如果题目给出“都不”是 0，甲+乙-都=全-都不→108+90-（ ）
=180-0→（ ）=18。本题中，只乙=乙-甲∩乙=90-18=72，与选项不一致，说明
“都不”不是0。
2.只A=A-A∩B，只B=B-A∩B。
37【注意】容斥原理问题：
1.公式法：公式的右边都是一样的，左边都加一遍，真正需要理解记忆的是
中间区域，两个相加就减去交集，三个相加（标准型）就减去两两之间的交集（去
重）、再补漏，三个相加（非标准型）就去掉重复一遍的满足两项、去掉重复两
遍的满足三项（各去各的重）。
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.画图法：
（1）画圆圈，标数据。
（2）从里到外，注意去重。
数学运算复习策略
平时：感兴趣的，逐个击破
难度低的题型多练难题，难度高的题型多练容易题。（田忌赛马策略）
考场：短易熟代，跳着选做
基础弱的逢3做1或逢5做2，目标正确率50～60%
基础好的逢3做1～2或逢5做3，目标正确率70+%
（必修）重要且相对容易：和差倍比、几何、经济利润、工程
（选修1）比较重要但偏难：排列组合概率、行程
（选修2）不太重要但相对容易：容斥、最值、周期、浓度等
【注意】数学运算复习策略：数量、资料全部掌握是非常高的要求，可能
100个人中没有1个人做到。
381.平时：感兴趣的，逐个击破（各个题型有各个独立的做法）。难度低的题
型多练难题，难度高的题型多练容易题。田忌赛马策略：比如工程问题整体简单，
就多练难题，如果只做简单题，考场上一旦考出一道难题，就白学了；行程问题
整体难，就多练简单题，如果行程问题全放弃，遇到简单题就不会了。
2.考场：
（1）短（题干短的题，看起来比较快，即使比较难，也可以看完后放弃）
易（容易的题）熟（熟悉的题，比如觉得工程问题比较简单、熟悉，就可以优先
做）代（既不短，又不易，又不熟，但可代入的题），跳着选做（很多行测考80
多分的人数学也不是全做）。高考、中考选择题从第一题到最后一题是越来越难，
而行测可能第一题很难、第二题比较简单、第三题很难，是波动的，比如最后一
道题是只代公式的容斥问题，如果做前面的题导致最后一道题没看，就亏大了，
所以要跳着选做。
（2）基础弱的逢3做1（行测考80多分的人也不可能数量一道题花一分钟，
对于99.9%的人来说，把三道题的精力用在一道题上，剩下两个全蒙B项或C项，
可以做对1+1/4*2=3道题，有大概50%的正确率）或逢5做2，目标正确率50～
60%（已经是高分，数学的平均分是30%，10道题能对3道就达到平均水平，对
2 道题说明运气比较差，对 4 道题已经很不错，对 5～6 道题说明数学已经不再
是短板）；基础好的逢3做1～2或逢5做3，目标正确率70+%。数学题不要追求
完美，10 道题总有那么 1～2 道题极端“变态”，水平比较高的同学也不要追求
每道题都做出来，要学会放弃，能做对7～8个已经是很高的水平。
3.题型分类：
（1）（必修）重要且相对容易：和差倍比（第1天的内容，比如两数的和、
差、倍数、比例等，没有具体题型，解题方法是倍数特性，不定方程→代入、列
方程等）、几何、经济利润、工程，这类难度相对不是特别高。
（2）（选修 1）比较重要但偏难：排列组合概率（一般 10 道题考查 2 道，
但是近几年有几个省份出现了“变态式”的考法，可能10 道题考查 5 道，这些
省份的同学放弃排列组合，数学就基本没什么分数可拿）、行程（没有任何一个
省份考查特别多，基本10道题只考查1道甚至不考）。
（3）（选修2）不太重要但相对容易：容斥（虽然公式长，但基本就是代公
39式，画图题比较好识别，不会做可以直接跳过，能把公式题做出来即可）、最值、
周期、浓度等，后三种题型在之后的课程中补充，因为考频较低，可能最值、周
期、浓度加一起，没有排列组合一个题型考频高。
（4）建议按照从上到下的顺序进行学习。
4.错误的学习方法：同一天练习很多题型，比如每天练习 15 道题，包含了
所有题型，导致天天都有很多不会的题，越学越没有信心，应该各个击破，比如
这一周只练习工程问题，第一天可能没有头绪，到第二天就会发现和第一天有很
大的相似之处，第三天、第四天感觉逐渐会对工程问题理解越来越深，练习完这
7天就有很大收获，接下来7天再做其他的题型，这样会对自己的把握越来越好。
每天建议做 10～15个（基础弱的做 10个，基础好的做 15 个，根据自己的情况
或自己所考地区的题量决定）。言语、资料、判断正确率只有60%多或70%时，不
要练习数学，当三大模块正确率到 70%多或 80%时，数学就成为拉开分数关键的
地方。
5.如果数学难度很大，你不会做，对手也不会做，拉不开分；而数学比较简
单时，谁的数学题学到了中等水平，就可能10道题对6～8道，可能拉开5道题
的分数，而言语、判断、资料单独拉开5道题的分数是不容易的。
【答案汇总】
排列组合1-5：DCACB；6-7：DA
概率问题1-4：AACA
容斥原理1-5：ACBBB
40遇见不一样的自己
Be your better self
41
