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信息学奥林匹克竞赛 高年级组
2021 --
1、如果一个正整数不等于某个整数的平方，则称为“非平方数”。将所有非平方数按从小
到大的次序排列，则第2021个非平方数是______。
2、如图所示，在任意四边形ABCD中，E，F为AD的三等分点，G，H为BC的三等分点:AH
分别交 BF,DG于P.N两点:CE分别交 BF,DG于 M,Q 两点.若四边形 ABCD 的面积为180，四
边形 MPNQ 的面积为10，则阴影部分的面积为_______。
3、小朋友稼轩与爸爸爬大屿山登木鱼峰，边爬边数石级爬到A位置，爸爸说已经爬过了石
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级总数的 ，又爬过了若于个石级到达B位置，爸爸说已经爬过了石级总数的 到达C位
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置时，爸爸说已经爬过了石级总数的 到达D位置时，爸爸说已经爬过了石级总数的 。
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聪明细心的稼轩发现，从起点到A位置的石级个数，以及A到8，B到C的石级个数，乃至
从起点到D位置的石级个数，四个数全都是数码重复的两位数(即个位和十位数字相同的两
位数)，于是稼轩很快算出从木鱼山脚到山顶总的石级数为______。
4、下面算式的计算结果是_____
12-22-32+42-52+62+72-82+92-102-112+122-132+142+152-162+...+20172-20182-20192+20202
15、大于3的自然数n可以写成三个非0的自然数之和，n=a+b+c.按照a，b，c的排列次序 三
个加数不完全相同的相加方法，就认为是不同的加法. 例如:4=1+1+24=1+2+1就是2种的不
同的相加方法
(1) 自然数10有____种相加方法
(2) 若自然数n有105种相加方法，那么n是_____。
6、从1,3,5,7，9中任取四个各不相同的数码，组成第一个四位数:将第一个四位数的数码倒
序排列，得到第二个四位数;将第一个与第二个四位数中较大者减去较小者，得第三个四位
数;将第三个四位数的数码倒序排列，得到第四个四位数，若将第三个与第四个四位数相加，
它们的和的所有取值的总和是_______。
7、中位数之和
有12个数:1、39、45、2、5、16、5、23、36、67、32、40，请将其分为4组，每组均有3
个数，我们关注每一组的中位数，即3个数从小到大排列时位于中间的那个 数。 例如，如
果将这12个数按给出的顺序分组时:1、39、45一组，中位数39;2、5、16一组，中位数5
5、23、36一组，中位数23， 67、32、40一组，中位数40
(1) 所有中位数之和为39+5+23+40=________。
(2) 请寻找一种分组方案，使得每一组中位数相加之和最大，这个最大值为_______。
28、走楼梯
有5阶楼梯，每次可以选择上1阶或2阶，则走完这5阶楼梯有很多不同的方法，如每次都
走1阶为一种，还可以先走2阶、再走1阶、再走2阶等。可以发现一共有8种不同的方法。
(1)如果有7阶楼梯，每次可以选择上1阶或2阶，则走完这7阶楼梯有_____种不同的方法;
(3) 如果有7阶楼梯，每次可以选择上1阶或2阶，也可以选择上3阶，则走完这7阶楼梯
有_____种不同的方法
(3)如果有10阶楼梯，果果同学每次可以选择上1阶或2阶，也可以选择上3阶，但是如果
有一次上了3阶，那么果果会变累，下一次则不能选择上3阶，只能选择1阶或2阶，随后
又恢复正常，即每次上3阶只会对下一次有影响，但不会对下下次及以后有影响，假设初始
时果果不累，则她走完这10阶楼梯有_____种不同的方法。
9、独立数
使用1、2、3、4、5这5个数字可以写出一个大于10的任意位数的整数，例如145231，其
中所有相邻两位组成的两位数共有5个:14、45、52、23、31，可以发现这5个两位数互不
相同，我们称这样所有相邻两位组成的两位数都互不相同的数为“独立数”。如果写出14314，
则所有相邻两位组成的两位数为:14、43、31、14，可以发现14出现了两次，则这样的整数
不是“独立数”。
(1)12343511343(填“是”或“不是”)“独立数”;
(2)4523142211(填“是“或”不是”)“独立数”;
(3)使用1、2、3、4、5这5个数字可以写出的位数最多的“独立数”有_____位。
10、能被400整除或能被4整除且不能被100整除就是闰年。请问在 [1,2021) 中有_____
个闰年。
311、速求余数
(1)14+16+17+19+20+22的结果除以3的余数为____
(2)1x2x4x5x7x8x10x11x13x14的结果除以3的余数为______。
12、
4 1 1 9 1 2 3 1 2 2 1 3 4 2 3
4 5 6 15 16 18 A
4 9 15 30 46 64 C D E F B G
已知第二行数字由第一行计算而来，第三行数字由第二行计算而来，请寻找规律，尝试将表
格补充完整，并回答以下问题。
(1) A格子应该填写______
(2) G格子应该填写_____
(3) 如果希望修改第一行中的若干个数，使得按规律计算出新的第三行中，C格子中的数比
原来多1，D格子中的数比原来多2，E格子中的数比原来多3，F格子中的数比原来多4,B
格子中的数比原来多5，G格子中的数比原来多6，第三行的其它数字却不变。请问最少需
要修改第一行_____个数(注意，仅填写最少需要修改的数的个数）
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