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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．－5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；
B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着
某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （ ） C. D. （ ）
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计
算法则分别计算判断．
【详解】解：A、 ，故该项原计算错误；
B、 （ ），故该项原计算错误；
C、 ，故该项原计算正确；
D、 （ ），故该项原计算错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整
数指数幂计算法则是解题的关键．
4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之
中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为 是解本题的关键．
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ．
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
6. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10
到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）A. B. C. 20 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，此题易得 ，得 ，再利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：连接 ，
由已知得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （ ），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
7. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每
3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 头鹿，由此可知 ，
故选C．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
8. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球
第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比
增长速度 ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的
是（ ）
A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题
意；
的
B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆 月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；
C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了 ，推断合理，本选
项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项
符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．
9. 如图， 是 的切线，A为切点，连接 ﹐点C在 上， ，连接 并延长，交
于点D，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到 和 ，再利用四边形的内角和为
进而可求得 ，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解： ，
，
又 是 的切线，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了圆 的切线的性质，四边形内角和是 ，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点 B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧， ，
， ，连接DE，设 ， ， ，给出下面三个结论：
① ；② ；③ ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，由 ，
可得 ，进而可判断①的正误；由 ，可得 ， ，
， ，则 ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，
，由 ，可得 ，进而可判断②的正误；由
勾股定理得 ，即 ，则 ，进而可判断③
的正误．
【详解】解：如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
由勾股定理得 ，即 ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性
质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万
用科学记数法表示为__________．
【答案】【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 时，n是正
数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】5699万 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 在函数 中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不能为 求出自变量x的取值范围．
【详解】 分式中分母不能为 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
13. 把多项式 分解因式的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．14. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得
了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
【答案】460
【解析】
【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 （只），
故答案为：460．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．
15. 已知圆锥的母线长 ，侧面积 ，则这个圆锥的高是__________ ．
【答案】12
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
【详解】解：根据圆锥侧面积公式 变形可得 ，
根据圆锥母线公式 ，可得 ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．
16. 在 中， ，点 是斜边 的中点，把 绕点 顺时针旋转，
得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ， ，在旋转的过程中，
面积的最大值是__________．
【答案】 ##【解析】
【分析】过点A作 交 的延长线于点G，求出 ，然后由旋转的性质可知点
F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线 的距离最
大，求出距离的最大值，然后计算即可．
【详解】解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，
∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了含 直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质
等知识，根据旋转的性质求出点F到直线 距离的最大值是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
， ．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：
尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
解：【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画
弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得 ，根据全等三角形的性质即可得出结论．
（1）解：如图，
（2）解： ．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∴ ．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：
在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的
身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学
生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均
数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
【答案】（1） ， ；
（2）甲组 （3）170， 172
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于 ，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，
168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数 ，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数 ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为
，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
21. 如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为弧EB的中点，过点C作 ，交 的延
长线于点D，延长 交 的延长线于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据弦、弧、圆周角的关系可证 ，根据圆的性质得
，证明 ，得到 ，根据切线的判定定理证明；
的
（2）连接 ， ，根据勾股定理得到 长，根据等弧对等弦得到 ，根据圆
内接四边形对角互补得 ，推出 ，证明 ，利用相
似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；
【小问2详解】
解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
22. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班
的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A，B两款文化衫，每件A款文化衫
比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几
种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
（2）一共有六种购买方案
（3）
【解析】
【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，然后根据用500元购进A款和用
400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，然后根据，学校计划用不多于14800元，
不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，求出
，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的
值无关，由此即可求出 ．
【小问1详解】
解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，
由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴ ，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
【小问2详解】
解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，由题意得， ，
解得 ，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
【小问3详解】
解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，
正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．
23．问题提出：
将一根长度是lcm（l≥4的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折n次（n≥1），然后从重叠的细绳
的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪m刀（m≥1的整数），最后
得到一些长1cm和长2cm的细绳．如果长1cm的细绳有222根，那么原来的细绳的长度l是多少cm？
问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
对折1次，可以看成有21根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长1cm的细
绳，右端出现了21-1=1根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+1×2=4cm；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×21=2根长1cm的细绳，右端仍有21-1=1根长2cm的细绳，
所以原绳长为(2+2)×1+1×2=6cm；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有
2×21=4根长1cm的细绳，右端仍有21-1=1根长2cm的细绳，所以原绳长为(2+4)×1+1×2=8cm；
以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有(m-1)×21=2(m-1)根长1cm细绳，右
端仍有21-1=1根长2cm的细绳，所以，原绳长为
[2+(m-1)×21 ]×1+(21-1)×2=(2m+2)=2(m+1)cm．
探究二：
对折2次，可以看成有22根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长1cm的细
绳，两端共出现了22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+3×2=8cm；如果剪2刀（如图⑤），
左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×22=4根长1cm的细绳，两端仍有22-1=3根长2cm的细绳，所
以原绳长为(2+4)×1+3×2=12cm；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有
2×22=8根长1cm的细绳，两端共有22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为(2+8)×1+3×2=16cm；
以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有(m-1)×22=(4m-4)=4(m-1)根长
1cm的细绳，两端仍有22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为
[2+(m-1)×22 ]×1+3×2=(4m+4)=4(m+1)cm．
探究三：
对折3次（如图⑦），可以看成有23根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有2根长1cm的细绳，
中间有(m-1)×23=(8m-8)=8(m-1)根长1cm的细绳，两端有23-1=7根长2cm的细绳，所以原绳长为[2+(m-1)×23 ]×1+7×2=(8m+8)=8(m+1)cm．
（1）总结规律：
对折n次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有 根长1cm的细
绳，中间会有 根长1cm的细绳，两端会有 根长2cm的细绳，所以原
绳长为 cm．
（2）问题解决：
如果长1cm的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪
了 刀，原来的细绳的长度l是 cm．
（3）拓展应用：
如果长1cm的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度l是 cm．
【答案】（1）2n；2；2n (m-1)；（2n-1）；2n (m+1)
（2）1或2；111或56；224或228
（3）2026
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：对折1次，有21根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，
中间有2(m-1)根长1cm细绳，右端有21-1根长2cm的细绳，原绳长为2(m+1)，
对折2次，有22根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有4(m-1)根长1cm的
细绳，两端有22-1=3根长2cm的细绳，原绳长为4(m+1)，
对折3次，有23根绳子重叠在一起，剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有8(m-1)根长1cm的
细绳，两端有23-1=7根长2cm的细绳，原绳长为8(m+1)，
……
则对折n次，可以看成有2n根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有2根长1cm的细绳，中间会有
2n (m-1)根长1cm的细绳，两端会有（2n-1）根长2cm的细绳，所以原绳长为2n (m+1)cm故答案为：2n，2，2n (m-1)，（2n-1），2n (m+1)；
（2）解：由题意，得2+2n (m-1)=222
∴2n (m-1)=220
220
∴2n=
m-1
又n≥1，220=2×110或220=4×55
∴2n可以为2，4
∴2n=2或4，m-1=110或55
∴n=1或2，m=111或56
∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228
故答案为：1或2，111或56，224或228；
（3）解：由题意，得2+2n (m-1)=2024
∴2n (m-1)=2022
2022
∴2n=
m-1
又n≥1，2022=2×1011
∴2n为2
∴2n=2，m-1=1011
∴n=1，m=1012
∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026
故答案为：2026．
24．如图，在平面直角坐标系中，点 、 在 轴上，点 、 在 轴上，且 ， ，
抛物线 经过 三点，直线 与抛物线交于另一点 ．(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)点 是直线 上一动点，点 为抛物线上直线 下方一动点，当线段 的长度最大时，请求出点
的坐标和 面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 时 的周长最小；
(3)当 面积最大时，点 的坐标为 ，面积最大值为 ．
【详解】（1）∵ ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
将 ， ， 代入 得：
，解得： ，
∴这条抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 ，交抛物线对称轴点 ，如图 所示，∵点 ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴
∴当点 ， ， 三点共线时， 取得最小值，即 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点 时 的周长最小；
（3）∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，联立直线 和抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，∴点 的坐标为 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，如图 所示，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∵ ，
∴当 时， 的面积取最大值，最大值为 ，
∴当 面积最大时，点 的坐标为 ，面积最大值为 ．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 轴，交y轴的正半轴于点 ，且 ，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接 ．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足 ，点C为 的中点， 点为线段 上一动点，连接 ．在
平面内，将 沿 翻折，点B的对应点为点P， 与 相交于点Q，当 时，求线段
的长；
（3）如图3，若动点B满足 ， 为 的中位线，将 绕点B在平面内逆时针旋转，
当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4， 平分 交 于点 ， 于点 ，交 于点 ， 为 的一
条中线．设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．试探究：在B点的运动过程中，当
时，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
（4）【解析】
【分析】（1）根据 ，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出 ， ，再过点 D 作 ，得出
， 解三角形即可求出 ，从而求出 ，
（3）将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将 绕点
B在平面内逆时针旋转 ，可得点 、F恰好落在x轴， ，从而可得直线 与x轴交点
的坐标；当将 绕点B在平面内逆时针旋转到 上方时，可得 ，从而
得出 ， ，继而可求 ，再由 即可求
出交点坐标．
（4）由已知可证明 ，进而可得 ，由此可
得 ，延长 交 于H点，可得 ， ，
然后由双勾股求出 ，进而求出点B坐标．
【小问1详解】
解：∵ ，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为 ，
【小问2详解】
∵ ，直线 轴， ，∴ ， ，
∵点C为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由折叠可知：
∴ ，
如解（2）图，过点D作 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ，
I．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转 ，到如解（3）-1图所示位置时，
∴ ，直线 轴，
∴
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴点 、F恰好落在x轴， ，
此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
II．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，延长 交x轴于点K，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 轴，
∴直线 轴，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
综上所述：将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线 与x轴交点的坐
标为 或 ；
【小问4详解】直线 轴， 于点D，
∴ ， ，
又∵ 平分 交 于点 ，即： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的一条中线．
∴ ，即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于H点，如解（4）图，∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴
解得： （不合题意，舍去）， ，
故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以点B坐标为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和
性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．
