2024 年中考第三次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 112
C B C B B C D D C B C D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
5
13．
36
14．
15．√5+2
16．y=-2x
17．√10
18． 图见解析；连接BD与网格线相交于点F，取AB与网格线的交点E，连接FE并延长与网格
线相交于点G，连接AG并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）【详解】（1）解：x-3(x-2)≥4，
x-3x+6≥4，
-2x≥-2，
x≤1；故答案为：x≤1；（2分）
x-1 2x+1
（2）解： > -1，
2 5
5x-5>4x+2-10，
x>-3；
故答案 ：x>-3；（4分）
（3）解：数轴如图所示：
（6分）
（4）解：由数轴可知：原不等式组的解集为-3<x≤1．
故答案为：-3<x≤1．（8分）
20．（8分）【详解】（1）解：本次随机抽查的学生人数为4+6+11+12+7=40（人），
m%=100%-17.5%-10%-30%-27.5%=15%，即m=15；
故答案为：40，15；（2分）
（2）解：平均数为：(4×6+6×7+11×8+12×9+7×10)÷40=8.3（分），（4分）
由图表得知，众数是9分．（5分）
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；（6分）
（3）解：根据题意得：
17.5%×1280＝224（人），（8分）
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有224人．
21．（10分）【详解】（1）解：∵E为 ⏜ 的中点，
AC
⏜ ⏜ ，
∴AE=EC1
∴∠AOE=∠EOC= ∠AOC，（2分）
2
又∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90°．
∴∠AOE=∠EOC=45°，
1
∴∠ABE= ∠AOE=22．5°（3分）
2
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠OAE=90°-∠ABE=67.5°；（5分）
（2）解：连接OE，
∵GH是⊙O的切线，
∴OE⊥GH，即∠OEH=90°．
∴∠HEF=90°-∠OEB，
又AB⊥CD，得∠EFH=∠OFB=90°-∠ABE，（7分）
∵OE=OB，得∠OEB=∠ABE，
∴∠HEF=∠EFH．
∴HE=HF=8．
在Rt△HEO中，EO=6，HE=8，
（8分）
∴HO=√OE2+EH2=10．
∴FO=HO-HF=HO-HE=2．
在Rt△BFO中，BO=6，
．（10分）
∴BF=√FO2+BO2=2√10
22．（10分）【详解】（1）解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠BEC=∠AEC=90°．由题意，得∠ABC=45°，∠ACK=75°，BC=2．
∴∠BAC=∠ACK-∠ABC=30°．
在Rt△BCE中，BE=BC⋅cos∠ABC=2×cos45°=√2，（2分）
CE=BC⋅sin∠ABC=2×sin45°=√2．（3分）
CE √2
在Rt△ACE中，AE= = =√6．（4分）
tan∠BAC tan30°
．
∴AB=AE+BE=(√6+√2)km
答：小文爷爷家 到小文家 的距离为 ．（5分）
A B (√6+√2)km
（2）解：如图，过点A作 于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．（6分）
∵∠AEC=90°，∠BAC=30°，CE=2．
∴AC=2CE=2√2．（7分）
由题意，得∠DCK=15°，∠ACK=75°，CD=3√2．
∴∠ACF=∠ACK-∠DCK=60°．
在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠ACF=2√2×cos60°=√2，
AF=AC⋅sin∠ACF=2√2×sin60°=√6．
∴DF=CD-CF=3√2-√2=2√2．（9分）
．
∴AD=√AF2+DF2=√(√6) 2+(2√2) 2=√14(km)
答：综合实践活动基地D到小文爷爷家A的距离为√14km．（10分）
300
23．（10分）【详解】（1）解：小江休息前登山的速度为 =10（米 分），
30
∵小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，
∴小北减速前的速度为20米 分，
300
∴小北到达半山腰所用时间为： =15（分)，
20∴
小北减速后登山的速度为 （米 分），
故答案为：10，12；（2分）
（2）解：根据题意得： ，
解得a=16；（6分）
（3）解：若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为48-35=13（分钟），
300
∴小江的速度至少为 （米 分），（8分）
13
300 170
-10= （米 分），
13 13
170
∴小江加速后的速度至少要比原来提高 米 分钟．（10分）
13
24．（10分）【详解】（1）解：方程x2-4x-12=0，
解得∶ x =6 ，
1
∴OC=6,（2分）
∵四边形AOCB是是形，∠AOC=60°，
，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD=90°,
，
过点A作AH⊥OC于 ，如图1，（3分）
∵∠AOH=60°，1
∴OH= OA=3，
2
√3
AH=OA⋅sin60°=6× =3√3，
2
∴A(3,3√3)，
设直线
AD
的解析式为y=kx+b(k≠0) ，代入 得∶
{3k+b=3√3
.
6k+b=2√3
{ √3
解得∶ k=- ，
3
b=4√3
√3
∴直线AD的解析式为y=- x+4√3；（4分）
3
（2）当x=0时，y=4√3，当y=0时，x=12,
为 的中点，
EF
在Rt△EFO中，
=8√3（6分）
=OF
∴△ODF是等边三角形．
当0≤t≤2√3时，即点N在线段ED上运动时，过点N作 于K，如图2，则
当2√3<t≤4√3时，即点N在线段DF上运动时，过点N作 于K，如图3，
则EN=2t，
，
综上所述，点N到直线OB的距离 与运动时间t的函数关系式为
h=
{-√3t+6(0≤t≤2√3)
;
（8分）
√3t-6(2√3<t≤4√3)
（3）存在，分情况讨论∶
①如图4，当AN是矩形AMCN的边时，则 ，过点N作 于T，
∴∠CNE=90°，即点N为BC与EF的交点，，
3 3√3
∴将点N向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点C，
2 2
3 3√3
∴将点A向左平移向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点M，
2 2
∵A(3,3√3)，
(3 3√3)；
∴M ,
2 2
②如图5，当AN是矩形ACNM的对角线时，则 ，过点N作NL⊥CF于L，
∵OA=OC,∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
∴ C N
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
∴ A M3 3√3
∴存在一点M，使得以A,C,N,M为顶点的四边形是矩形，点M的坐标是( , )或 ．（10
2 2
分）
( 10)
25．（10分）【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-2过点 2, 且交x轴于点A(1,0)，
3
( 10)
把点 2, 、A(1,0)代入y=ax2+bx-2，
3
{ 10
4a+2b-2=
得 3 ，
a+b-2=0
2
{a=
解得 3，
4
b=
3
∴抛物线的解析式为 ；（3分）
（2）解：过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示：
∵PM∥AC，
∴∠PMN=∠CAO，
∵∠AOC=∠MNP，
∴△AOC∽△MNP，
AO OC AC
∴ = = ,∠ACO=∠MPN，（4分）
MN PN PM
∵A(1,0),C(0,-2)，
∴OA=1,OC=2，
，OC PN 2 2√5
∴cos∠ACO= =cos∠MPN= = = ，
AC PM √5 5
√5
∴PM= PN，
2
2 4
令y=0,0= x2+ x-2，
3 3
∴x =1,x =-3，
1 2
∴B(-3,0)，
设直线BC为 ，
把B(-3,0),C(0,-2)代入 ，
{-3k+b=0
得 ，
b=-2
{ 2
k=-
解得 3，
b=-2
2
∴y=- x-2，（5分）
3
设P ( m, 2 m2+ 4 m-2 ) ，
3 3
2 4
∴PN=- m2- m+2，
3 3
∵PH∥x轴交BC于点H，
2 2 4
∴H的纵坐标为 ，得- x-2=- m2+ m-2，
3 3 3
∴x=-m2-2m，
∴H ( -m2-2m, 2 m2+ 4 m-2 ) ，
3 3
∴PH=-m2-2m-m=-m2-3m，
3√5
∴ PM+PH
5
3√5 √5
= × PN+PH
5 2
= 3√5 × √5 × ( - 2 m2- 4 m+2 ) +(-m2-3m)
5 2 3 3
=-2m2-5m+3( 5) 2 49
=-2 m+ + ，
4 8
3√5 49
时， PM+PH有最大值，是 ，
5 8
此时 2 m2+ 4 m-2= 2 × ( - 5) 2 + 4 × ( - 5) -2=- 21 ，
3 3 3 4 3 4 8
( 5 21)
此时点P的坐标为 - ,- ．（8分）
4 8
（3）解：过点D作DP⊥x轴于点P，如图所示：
2 4 2 8
∵抛物线y= x2+ x-2= (x2+2x)- ，
3 3 3 3
( 8)
∴顶点D -1,- ，
3
8
∴AP=2,DP= ，
3
∴AD=
√
22+
(8) 2
=
10，
3 3
8
DP 3 4 AP 2 3
∴sin∠DAP= = = ,cos∠DAP= = = ，
AD 10 5 AD 10 5
3 3
5 5 3 3
∴原抛物线沿射线DA方向平移 个单位长度时，相当于向上平移 个单位，向右平移 × = 个
2 2 5 2
单位，
∴新的抛物线的表达式为：y=
2(
x-
3) 2
+
4(
x-
3)
-2+2=
2
x2-
2
x-
1
，
3 2 3 2 3 3 2
2 2 1
令 x2- x- =0，
3 3 2
3 1
解得：x = ，x =- ，
1 2 2 2
∴A'(3
,0
) ，B'(
-
1
,0
)
，
2 2
当点G在x轴上方时，如图所示：
∵ ，
∴△A'OE为等腰直角三角形，
3
∴OE=OA'= ，
2
3
设直线A'E的解析式为：y=kx+ ，
2
把A'(3
,0
)
代入y=kx+
3
得：0=
3
k+
3
，
2 2 2 2
解得：k=-1，
3
∴直线A'E的解析式为：y=-x+ ，
2
3 2 2 1
令-x+ = x2- x- ，
2 3 3 2
3
解得：x =-2，x = （舍去），
1 2 2
3 7
把x =-2代入y=-x+ 得y= ，
1 2 2( 7)
∴此时G点坐标为 -2, ；
2
当点G在x轴下方时，如图所示：
∵ ，
∴△A'OE为等腰直角三角形，
3
∴OE=OA'= ，
2
3
设直线A'E的解析式为：y=kx- ，
2
把A'(3
,0
)
代入y=kx+
3
得：0=
3
k-
3
，
2 2 2 2
解得：k=1，
3
∴直线A'E的解析式为：y=x- ，
2
3 2 2 1
令x- = x2- x- ，
2 3 3 2
3
解得：x =1，x = （舍去），
1 2 2
3 1
把x =1代入y=x- 得y=- ，
1 2 2
( 1)
∴此时G点坐标为 1, ；
2
( 7) ( 1)
综上分析可知，点G的坐标为： -2, 或 1, ．（10分）
2 2
