文档内容
梧州市 2022 年初中学业水平考试试题卷
数学
说明：1．本试卷共6页（试题卷4页，各题卡2页），满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的
区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．
2. 在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．【详解】解：选项A：圆柱的主视图为矩形；
选项B：球的主视图为圆；
选项C：圆锥的主视图为三角形；
选项D：四面体的主视图为三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，主视图是指立体图从前往后看得到的平面图形，理解三种视图的
意义是正确解答的前提．
3. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 的绝对值是 B. 对顶角相等
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 如果直线 ，那么直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，对顶角的性质，平行四边形的性质，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：A． 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
是
D． 如果直线 ，那么直线 ，故原命题 真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事
实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
4. 一元二次方程 的根的情况（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据判别式 即可判断求解．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴方程 由两个不相等的实数根，故选：B．
【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别式：当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
5. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，然后再对照数轴看即可．
【详解】解：不等式组的解集为： ，其在数轴上的表示如选项C所示，
故选C．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6. 如图，在 中， 是 的角平分线，过点D分别作 ，
垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即
可判断求解．
【详解】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，故选项A、D结论正确，不符合题意；
又 是 的角平分线， ，
∴ ，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出 ，故选项C结论错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．
7. 已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数 C. 众数 D. 中位数但不是平均数
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出这组数据的平均数，中位数，众数即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴这组数据的平均数为6，
∵这组数据从小到大排列，处在最中间的数据是6，
∴这组数据的中位数是6；
∵这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3，
故选B．【点睛】本题主要考查了求中位数，众数和平均数，熟知三者的定义是解题的关键．
8. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A． ，计算正确，但不符合题意；
B． ，计算正确，但不符合题意；
C． ，计算正确，但不符合题意；
D． ，计算错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式等知识，
掌握相关运算法则是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点A，则关于x，y的二元一次
方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线 与直线 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组
的解．
10. 如图， 是 的外接圆，且 ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），
连接 ，则 的度数是（ ）
A. 60° B. 62° C. 72° D. 73°
【答案】C
【解析】
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD，从而可求出 的度数．
【详解】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD是解题的关键．
11. 如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形
的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形 与四边形 相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形 的面积是2，
∴四边形 的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．12. 如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点
，下列结论错误的是（ ）
A. B. 若实数 ，则
C. D. 当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线对称轴求出 ，再由抛物线开口向上，得到 ，则
由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当 时，
，即可判断C；根据 时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判
断D．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，
熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若 ，则 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】将 代入代数式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算．
14. 在平面直角坐标系中，请写出直线 上的一个点的坐标________．
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．【详解】解：当x=0时，y=0，
∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．
15. 一元二次方程 的根是_________．
【答案】 或
【解析】
为
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能 0即可求解．
【详解】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
16. 如图，在 中， ，点D，E分别是 边上的中点，连接 ．如果
， ，那么 的长是_______m．
【答案】4
【解析】
【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，由此即可求出 ．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌
握中位线定理是解决本题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
．当 时，x的取值范围是_________．
【答案】-2＜x＜0或x＞4
【解析】
【分析】先求出n的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时对应的自变量的取
值范围即可．【详解】解：∵反比例函数 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴ ，
又反比例函数 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜
x＜0或x＞4．
故答案为：-2＜x＜0或x＞4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出n的值是解题的关键．
18. 如图，四边形 是 的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于 的定长为半径画
弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 于点E，F．若 ，则 ， 所围成的阴影部
分面积为_______．【答案】
【解析】
【分析】先证明△EAO为等边三角形得到∠EOA=60°，然后再根据 即可求
解．
【详解】解：连接EO、DO，设EF与AO交于点H，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，
∴EA=EO，
又EO=AO，
∴△EAO为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考察了扇形面积公式的计算及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
19. （1）计算：
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据算术平方根的定义求出 ，然后按照有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可．
【详解】解：（1）解：原式=
=
=
= ；
（2）原式=
= ．
【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先方程两边同时乘以 ，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 得到： ，
解出： ，
当 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．21. 如图，在 中，E，G，H，F分别是 上的点，且 ．
求证： ．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再
证明△AEF≌△CHG即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点睛】本题考察了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性
质是解决本题的关键．
22. 某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生
只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，
绘制成统计图①和图②．（1）本次抽样调查的学生人数共_______人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主
题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
【答案】（1）50 （2）补图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据冰球的人数5与占比 ，求解调查的总人数即可；
（2）由图可得，滑冰的人数为 人，然后补全条形统计图即可；
（3）根据题意列表，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，调查的总人数为 人，
故答案为：50．
【小问2详解】
解：由图可得，滑冰的人数为 人，
∴补图如下：【小问3详解】
解：由题意知，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
的
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能 结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结
果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，列举法求概率．解题的关键在于从统计图中获取正确的信
息．
23. 今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自
动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气
球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， 垂足为点B， ，
， ，求AB的高度．（精确到 ）（参考数据： ﹐
﹐ ， ）【答案】984 m
【解析】
【分析】设AB=xm，分别在Rt△ABC和Rt△ABD中求出BC= ，BD= ，然后根据
BC=CD+BD，构建关于x的方程即可求解．
【详解】解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC= ，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD= ，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴ ，
解得 ，
答：AB的高度约为984m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
24. 梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较
长时间保存．已知 的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成 的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼
的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干
的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出 ，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙
眼．设某果农有 新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之
差为w元，请写出w与a的函数关系式．
【答案】（1）龙眼干的售价应不低于36元/kg
（2）
【解析】
【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a=36a元；加工成
龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax≥36a，解出
即可；
(2)设龙眼干的售价为y元/千克，当 千克时求出新鲜龙眼的销售收益为 元，龙眼干的销售收益
为 元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到
，解出 ；然后再当 千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可
求解．
【小问1详解】
解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
【小问2详解】解： 千克的新鲜龙眼一共可以加工成 千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，
则龙眼干的总销售收益为 元，
当 千克时，新鲜龙眼的总收益为 元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ ，解出 元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴ ，
∴龙眼干的销售总收益为 ，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 元；
当 千克时，新鲜龙眼的总收益为 元，
龙眼干的总销售收益为 元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
元，
故 与 的函数关系式为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中
的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线
恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是 ，将 绕着点C逆时针旋转90°得到 ，点A的对应点是点E．
的
①写出点E 坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 取最小值时，点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①点E在抛物线上；②（0， ）
【解析】
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函
数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，证明△ABO∽△PBQ，从而求出 ，则可判断当P，E，Q三点共线，且
EP⊥AB时， 取最小值，然后根据待定系数法求直线EP解析式，即可求出点P的坐标．【小问1详解】
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 ，
得 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， ，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时， 取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为 ，
又E（6，0），
∴ ，∴ ，
∴直线EP解析式为 ，
当x=0时，y= ，
∴点P坐标为（0， ）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数函数解析式，相似三角形的判定与性质等，解第（2）题第②
问的关键是正确作出点P的位置．
26. 如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作 ，且 ．连接
AD，分别交 于点E，F，与 交于点G，若 ．
（1）求证：① ；
②CD是 的切线．
（2）求 的值．
【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程见解析
（2）
【解析】【分析】（1)①由 得到∠D=∠A，结合对顶角∠CFD=∠BFA相等即可证明；
②由OB=CO得到∠OCB=∠ABC=45°，进而得到∠COB=90°，再根据 得到∠OCD=∠COB=90°
由此即可证明CD是 的切线．
（2）连接DB，连接BG交CD于M点，证明四边形COBD为正方形，由(1)中 相似比为
结合 得到E为CO的中点，再证明△BDM≌△DCE(ASA)得到M为CD的中点；设
DM=x，在Rt△DBG中由勾股定理求出BG，进而在Rt△BFG中由勾股定理求出FG，最后EF=DE-DG-FG
即可求出 的比值．
【小问1详解】
证明：①∵ ，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴ ；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线．
【小问2详解】
解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：∵ 且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知： ，
∴ ，
∵CE∥DB，
∴ ，
∴ ，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x， ，
由勾股定理知： ，在Rt△MBD中由等面积法知： ，
代入数据得到： ，解得 ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： ，
又 且其相似比为 ，
∴ ，
在Rt△BFG中由勾股定理可知： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的性质、勾股定理求线段长、正方形的性质和判定等，
本题属于综合题，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键
