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2026年中考数学常考考点专题之一元一次方程
一．选择题（共12小题）
1．（2025•新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银
子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉
和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
y-4 y+8
淇淇： = ．
7 9
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
2．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每
人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列
一元一次方程，正确的是（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4 x-4 x+3 x+4 x-3
A． = B． = C． = D． =
8 7 8 7 8 7 8 7
3．（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之
缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店
后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
李白醇酒
李白街上走，揭壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花①，喝光壶中酒．
试问壶中原有酒几斗？
第1页（共25页）7 3 5
A．1斗 B． 斗 C． 斗 D． 斗
8 4 8
4．（2025•青秀区校级模拟）若x＝1是方程3x+m＝0的解，则m＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
5．（2025•安徽模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，ab＝﹣c﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＝b，则a2﹣2b＝1 B．若a＝c，则b＝1
C．若b＝c，则a＝1 D．若a＝1，则b2﹣4c≥0
6．（2025•凉山州模拟）对于任意实数 a、b，定义一种新运算“ ”：a b＝2x2﹣（a+b）x﹣a
（b+2），若关于x的方程1 x＝0，已知该方程的两个根为x ，x ，则⊙x +x 的⊙值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．﹣⊙2 C．1 D．﹣1
7．（2025•枣强县模拟）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论
正确的是（ ）
A．a＝b+8 B．c＝a+14 C．b﹣a＝c﹣b D．c＝a+b
8．（2025•枣强县模拟）如图：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个
单位长度后，该点所表示的数为﹣6，则a的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
9．（2025•微山县三模）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又
三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下
的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有x户人家，可列方程为（ ）
x
A．x+ =100 B．x+3（100﹣x）＝100
3
100-x
C．x+ =100 D．x+3x＝100
3
a+b x
10．（2025•杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是aΔb= ，已知(-1)Δx= ，则x的值为
2 4
第2页（共25页）（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
4
11．（2025•永春县模拟）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生
产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低 0.5万
元，总费用降低了10%．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（ ）
A．20+0.5x＝20（1﹣10%） B．20﹣0.5x＝20（1﹣10%）
C．20﹣0.5x＝20（1+10%） D．20+0.5x＝20（1+10%）
12．（2025•鹤壁一模）我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、
每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算 x的值
是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2025 D．﹣2025
二．填空题（共8小题）
13．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，
且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中
已知的3个数，可得x＝ ．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7人，那么有7人
无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间客房．设有 x 间客房，可列方程为：
．
15．（2025•大连模拟）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日
行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？译文如下：有人用车把米从太仓运到
上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林
第3页（共25页）的距离是 里．
16．（2025•永寿县校级二模）某班手工小组计划教师节前做一批手工作品送给老师，如果每人做5个，
那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那么就比原计划多8个，则该手工小组的人数为
．
17．（2025•绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，
每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若
设共有x人，则根据题意，可列方程为： ．
18．（2025•连州市校级一模）若关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，则a＝ ．
|a b| |2 3|
19．（2025•陇南三模）规定一种运算： =ad-bc．例如： =2×5-3×4=-2．已知
c d 4 5
| 1 |
x -x 3
2 = ，则x＝ ．
2
1 2
20．（2025•章贡区三模）如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣6，7，点P在AB之间，若图中有一条
线段是另一条线段的两倍，则点P表示的数可以为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•永寿县校级一模）外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要
在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行 0.5km，则早到3min；若骑手每分钟骑行0.4km，则
要迟到2min，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
22．（2025•雁塔区校级模拟）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少 1.5小时，已
知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地间的距离．
第4页（共25页）23．（2025•亳州模拟）晓辰用边长为2cm的等边三角形卡纸和边长2cm且有一个角为60°的菱形卡纸来
制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长4√3 cm（如图1）；当菱
形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长6√3cm（如图2）；当菱形卡纸有3个时，
需要等边三角形卡纸18个，整个图案长8√3 cm（如图3）；以此类推．
【总结规律】
（1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸 个；
（2）用 n 个菱形制作图案需要等边三角形卡纸 个，整个图案长
cm（用含n的式子表示）；
【解决问题】
（3）若要使整个图案长2024√3 cm，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？
24．（2025•二道区校级四模）学校为初中部24个班新建了一栋教学大楼，该教学楼共有4道门，其中一
道正门，三道侧门大小相同．安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正
门和两道侧门时，1分钟可以通过260人；同时开启一道正门和一道侧门时，3分钟可以通过540人．
求正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过多少人？
25．（2025•西安校级模拟）科技馆门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 18元 15元 10元
风鸣学校七年级（1）、（2）两个科技班共103人去科技馆，其中（1）班有40多人不足50人．经计
算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元．
（1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元．
（2）七年级（2）班有多少学生？
（3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？
第5页（共25页）2026年中考数学常考考点专题之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B D D A C B A C B
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题）
1．（2025•新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银
子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉
和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
y-4 y+8
淇淇： = ．
7 9
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设总人数为x人，根据两次分钱的总银两数相同列出方程7x+4＝9x﹣8；设总银两数为y两，
y-4 y+8
根据总人数相同，列出方程 = ，然后进行判断即可．
7 9
【解答】解：嘉嘉设总人数为x人，嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同；淇淇设
总银两数为y两，淇淇所列方程用的相等关系是总人数相同，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每
第6页（共25页）人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列
一元一次方程，正确的是（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4 x-4 x+3 x+4 x-3
A． = B． = C． = D． =
8 7 8 7 8 7 8 7
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，
从而可以解答本题．
【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
x+3 x-4
= ，
8 7
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列
出相应的方程．
3．（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之
缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店
后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
李白醇酒
李白街上走，揭壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花①，喝光壶中酒．
试问壶中原有酒几斗？
7 3 5
A．1斗 B． 斗 C． 斗 D． 斗
8 4 8
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
第7页（共25页）【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意分别表示出三次加酒喝喝酒的代数式，进而列得
方程，解方程即可．
【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗，
则第一次遇店加酒后壶中有酒2x斗，第一次见花喝酒后壶中剩余的酒为（2x﹣1）斗，
第二次遇店加酒后壶中有酒2（2x﹣1）斗，第二次见花喝酒后壶中剩余的酒为[2（2x﹣1）﹣1]斗，
第三次遇店加酒后壶中有酒2[2（2x﹣1）﹣1]斗，第三次见花喝酒后壶中剩余的酒为{2[2（2x﹣1）﹣
1]﹣1}斗，
则2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，
1
那么2（2x﹣1）﹣1= ，
2
3
因此2x﹣1= ，
4
7
解得：x= ，
8
7
即诗中李白的壶中原来有酒 斗，
8
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
4．（2025•青秀区校级模拟）若x＝1是方程3x+m＝0的解，则m＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【考点】一元一次方程的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把x＝1代入方程可得关于m的方程，再解方程即可．
【解答】解：由条件可得3+m＝0，即m＝﹣3；
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解的概念和一元一次方程的求解，正确计算是关键．
5．（2025•安徽模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，ab＝﹣c﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＝b，则a2﹣2b＝1 B．若a＝c，则b＝1
C．若b＝c，则a＝1 D．若a＝1，则b2﹣4c≥0
【考点】等式的性质；完全平方公式．
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【专题】运算能力．
【答案】D
第8页（共25页）【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：若a＝b，则2b+c＝0，即c＝﹣2b，代入ab＝﹣c﹣1，得a2＝2b﹣1，
所以A错误，不符合题意；
b
若a＝c，则a=- ，代入后得到b2+b﹣2＝0，于是解得b＝﹣2或b＝1，
2
所以B选项错误，不符合题意；
同B选项，可得a＝﹣2或a＝1，
故C选项错误，不符合题意；
若a＝1，则b＝﹣c﹣1，b2﹣4c＝（c+1）2﹣4c＝（c﹣1）2≥0，
所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．
6．（2025•凉山州模拟）对于任意实数 a、b，定义一种新运算“ ”：a b＝2x2﹣（a+b）x﹣a
（b+2），若关于x的方程1 x＝0，已知该方程的两个根为x ，x ，则⊙x +x 的⊙值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．﹣⊙2 C．1 D．﹣1
【考点】解一元一次方程；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则，结合1 x＝0，得出方程2x2﹣（1+x）x﹣1•（x+2）＝0，整理该方程，
得出x2﹣2x﹣2＝0，再根据根与系数的关⊙系，得出答案即可．
【解答】解：根据题意可知，2x2﹣（1+x）x﹣1•（x+2）＝0，
整理得：x2﹣2x﹣2＝0，
-2
∴x +x =- =2．
1 2 1
故选：A．
【点评】本题主要考查考查了实数的运算，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键．
7．（2025•枣强县模拟）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论
正确的是（ ）
第9页（共25页）A．a＝b+8 B．c＝a+14 C．b﹣a＝c﹣b D．c＝a+b
【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可．
【解答】解：根据图示知：a+8＝b，b+8＝c，
所以c＝a+16．
所以b﹣a＝c﹣b＝8．
观察选项可知，选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用﹣日历问题，解题的关键是能够把数学和生活密切联系起来，
从所给材料中分析得出规律．
8．（2025•枣强县模拟）如图：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个
单位长度后，该点所表示的数为﹣6，则a的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意列式0+2﹣a＝﹣6，求出a的值即可．
【解答】解：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，
0+2﹣a＝﹣6，
解得a＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及一元一次方程的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
第10页（共25页）9．（2025•微山县三模）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又
三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下
的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有x户人家，可列方程为（ ）
x
A．x+ =100 B．x+3（100﹣x）＝100
3
100-x
C．x+ =100 D．x+3x＝100
3
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
户数
【分析】根据题意可知：户数+ =鹿的头数，然后即可列出相应的方程．
3
【解答】解：由题意可得，
x
x+ =100，
3
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列
出相应的方程．
a+b x
10．（2025•杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是aΔb= ，已知(-1)Δx= ，则x的值为
2 4
（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
4
【考点】解一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
-1+x x
【分析】根据新运算规则，得到一元一次方程 = ，即可解答．
2 4
-1+x x
【解答】解：根据题意可知， = ，
2 4
解得：x＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
11．（2025•永春县模拟）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生
第11页（共25页）产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低 0.5万
元，总费用降低了10%．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（ ）
A．20+0.5x＝20（1﹣10%） B．20﹣0.5x＝20（1﹣10%）
C．20﹣0.5x＝20（1+10%） D．20+0.5x＝20（1+10%）
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“第一次的总费用﹣第二次单价比第一次单价降低的值×采购数量＝第二次的总费用”列
关于x的一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意，得20﹣0.5x＝20（1﹣10%）．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系并列方程是解题的关键．
12．（2025•鹤壁一模）我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、
每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算 x的值
是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2025 D．﹣2025
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由第一行和第三列上的三个数之和相等，可求出第一行第一个方格中的数为﹣2027；由第二
行和对角线上的三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵第一行和第三列上的三个数之和相等，
∴第一行第一个方格中的数为1+3﹣2031＝﹣2027；
∵第二行和对角线上的三个数之和相等，
∴﹣x+1＝﹣2027+3，
解得：x＝2025．
故选：C．
第12页（共25页）【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，
且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中
已知的3个数，可得x＝ 8 ．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】设第三行第一个方格中的数为a，根据第三竖列及对角线上的三个数的和相等，可列出关于x
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第三行第一个方格中的数为a，如图所示．
根据题意得：a+x+5＝a+4+9，
即x+5＝4+9，
解得：x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7人，那么有7人
无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： 7 x +7 ＝ 9
（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
第13页（共25页）【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程．
15．（2025•大连模拟）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日
行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？译文如下：有人用车把米从太仓运到
上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林
400
的距离是 里．
7
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
400
【答案】 ．
7
x x
【分析】设太仓到上林的距离是x里，根据题意可得往返1次的时间为( + )天，再根据5天往返
60 80
3次建立方程，解方程即可得．
【解答】解：设太仓到上林的距离是x里，
x x
根据题意列一元一次方程得：3( + )=5，
60 80
整理得，21x＝1200，
400
解得x= ，
7
400
即太仓到上林的距离是 里，
7
400
故答案为： ．
7
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数学常识，关键是根据题意找到关系式．
16．（2025•永寿县校级二模）某班手工小组计划教师节前做一批手工作品送给老师，如果每人做5个，
那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那么就比原计划多8个，则该手工小组的人数为 1 0 ．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】设该手工小组有x人，根据“如果每人做5个，那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那
第14页（共25页）么就比原计划多8个”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该手工小组有x人，
根据题意得：5x+2＝6x﹣8，
解得：x＝10，
∴该手工小组有10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2025•绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，
每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若
设共有x人，则根据题意，可列方程为： 8 x ﹣ 3 ＝ 7 x + 4 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设共有x人，根据该物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：8x﹣3＝7x+4，
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并
据此列出方程．
18．（2025•连州市校级一模）若关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，则a＝ ﹣ 5 ．
【考点】一元一次方程的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】根据一元一次方程解的意义，将x＝﹣1代入原方程解得a的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，
第15页（共25页）∴﹣2﹣a＝3，
解得：a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
|a b| |2 3|
19．（2025•陇南三模）规定一种运算： =ad-bc．例如： =2×5-3×4=-2．已知
c d 4 5
| 1 |
x -x 3 2
2 = ，则x＝ ．
2 3
1 2
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
2
【答案】 ．
3
【分析】根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程即可得．
| 1 |
x -x
【解答】解：由题意得： 2 =c，
1 2
| 1 |
x -x 3
∵ 2 = ，
2
1 2
1 3
∴2x-( -x)= ，
2 2
3 1
∴2x+x= + ，
2 2
2
解得x= ，
3
2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据新运算的定义正确建立方程是解题关键．
20．（2025•章贡区三模）如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣6，7，点P在AB之间，若图中有一条
5 1 8
线段是另一条线段的两倍，则点P表示的数可以为 - 或 或 ．
3 2 3
第16页（共25页）【考点】一元一次方程的应用；数轴．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
5 1 8
【答案】- 或 或 ．
3 2 3
【分析】设点P表示的数为x，则AP＝x﹣（﹣6）＝x+6，BP＝7﹣x，AB＝7﹣（﹣6）＝13，分BP＝
2AP、AB＝2AP、AB＝2BP及AP＝2BP四种情况，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设点P表示的数为x，则AP＝x﹣（﹣6）＝x+6，BP＝7﹣x，AB＝7﹣（﹣6）＝13，
当BP＝2AP时，7﹣x＝2（x+6），
5
解得：x=- ；
3
当AB＝2AP时，13＝2（x+6），
1
解得：x= ；
2
当AB＝2BP时，13＝2（7﹣x），
1
解得：x= ；
2
当AP＝2BP时，x+6＝2（7﹣x），
8
解得：x= ．
3
5 1 8
综上所述，点P表示的数可以为- 或 或 ．
3 2 3
5 1 8
故答案为：- 或 或 ．
3 2 3
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•永寿县校级一模）外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要
在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行 0.5km，则早到3min；若骑手每分钟骑行0.4km，则
要迟到2min，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】骑手将餐送到目的地的规定时间是23min，骑手所行驶的总路程为10km
第17页（共25页）【分析】设规定的时间为x min，根据“路程＝速度×时间”，再根据“需要在规定时间内将餐送到目
的地即路程相等”建立一元一次方程，求解即可．
【解答】解：设规定的时间为x min，
根据题意列一元一次方程得，0.5（x﹣3）＝0.4（x+2），
整理得，0.3x＝6.9
解得x＝23，
∴0.5（x﹣3）＝0.5×（23﹣3）＝0.5×20＝10（km），
∴骑手将餐送到目的地的规定时间是23min，骑手所行驶的总路程为10km．
【点评】本题考查了一元一次的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
22．（2025•雁塔区校级模拟）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少 1.5小时，已
知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地间的距离．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】148.5千米．
【分析】设甲、乙两地间的距离为x千米，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
【解答】解：设甲、乙两地间的距离为x千米，
x x
根据题意列一元一次方程可得， - =1.5，
20-2 20+2
整理得，4x＝594，
解得x＝148.5，
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
23．（2025•亳州模拟）晓辰用边长为2cm的等边三角形卡纸和边长2cm且有一个角为60°的菱形卡纸来
制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长4√3 cm（如图1）；当菱
形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长6√3cm（如图2）；当菱形卡纸有3个时，
需要等边三角形卡纸18个，整个图案长8√3 cm（如图3）；以此类推．
第18页（共25页）【总结规律】
（1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸 2 6 个；
（2）用n个菱形制作图案需要等边三角形卡纸 （ 6+ 4 n ） 个，整个图案长 2√3(n+1) cm
（用含n的式子表示）；
【解决问题】
（3）若要使整个图案长2024√3 cm，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？
【考点】一元一次方程的应用；规律型：图形的变化类．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）26；
（2）（6+4n）；2√3(n+1)；
（3）需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个．
【分析】（1）观察可知每多一个菱形就多4个等边三角形，据此求解即可；
（2）观察可知每多一个菱形就多4个等边三角形且图形长度增加2√3cm，据此求解即可；
（3）根据（2）所求可得方程2√3(n+1) =2024√3，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸6+4×1＝10（个），
当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸6+4×2＝14（个），
当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸6+4×3＝18（个），
以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸（6+4n）个，
∴当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸6+4×5＝26（个），
故答案为：26；
（2）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸6+4×1＝10个，整个图案长2×2√3=4√3 cm（如
图1）；
当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸6+4×2＝14个，整个图案长3×2√3=6√3cm（如图2）；
当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸6+4×3＝18个，整个图案长4×2√3=8√3 cm（如图
3）；
以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸（6+4n）个，整个图案长2√3(n+1) cm，
故答案为：（6+4n）；2√3(n+1)；
（3）根据题意列一元一次方程得，
2√3(n+1) =2024√3，
解得n＝1011，
∴6+4n＝6+4×1011＝4050，
∴要使整个图案长2024√3 cm，
第19页（共25页）答：需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个．
【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，一元一次方程的应用，实数的运算，正确理解题意
找到规律是解题的关键．
24．（2025•二道区校级四模）学校为初中部24个班新建了一栋教学大楼，该教学楼共有4道门，其中一
道正门，三道侧门大小相同．安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正
门和两道侧门时，1分钟可以通过260人；同时开启一道正门和一道侧门时，3分钟可以通过540人．
求正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过多少人？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过100人．
【分析】设正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过x人，根据平均每分钟一道侧门通过的人数不
变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过x人，
260-x 540
根据题意得： = - x，
2 3
解得：x＝100．
答：正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过100人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
25．（2025•西安校级模拟）科技馆门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 18元 15元 10元
风鸣学校七年级（1）、（2）两个科技班共103人去科技馆，其中（1）班有40多人不足50人．经计
算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元．
（1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 65 6 元．
（2）七年级（2）班有多少学生？
（3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】优选方案问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出购买103张票的总钱数，将其与1686做差即可得出结论；
（2）设七年级（1）班有x个学生，则（2）班有（103﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票
费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
第20页（共25页）（3）先计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以
得出结论．
【解答】解：（1）1686﹣10×103＝656（元）．
答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省656元钱．
故答案为656；
（2）设七年级（1）班有x个学生，则（2）班有（103﹣x）个学生，
根据题意得：18x+15（103﹣x）＝1686，
解得：x＝47，
则103﹣x＝56．
答：七年级（2）班有56个学生；
（3）47×18＝846（元），51×15＝765（元），
∵765＜846，
∴如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，可购买51张门票最省钱．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运
用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．
第21页（共25页）考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接
利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
第22页（共25页）（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，
去括号后括号内的各项都要改变符号．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
7．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
第23页（共25页）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括
号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，
方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
10．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含x
的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分
的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基
本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
11．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×
进价
人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要
求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、
求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
第24页（共25页）1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 8:43:50；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964
第25页（共25页）
