文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 得： ，设其倾斜角为 ， ，
所以斜率 ， 故倾斜角为 ，
故选：C
2．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【详解】 ，
，
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
， ．
，
．
故选：C.
3．直线 与圆 交于 两点，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
如图，由圆 配方得， ，知圆心为 ,半径为 ，
过点 作 于 ，由 到直线 的距离为 ,
则 ,
故 的面积为 .
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司4．设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由椭圆 ，可得 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 ，
又 ，所以双曲线的离心率为 ，
又双曲线 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
5．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
则 ．
故选：B．
6．在棱长为2的正方体 中，E是 的中点，则直线 与平面 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【详解】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，所以 ，
故 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 .
故选：D
7．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且 ，若
的面积为3，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线C： ,
学科网（北京）股份有限公司可得 ，∴ .
∵ ,
∴ .
假设 在双曲线右支上，
则 两边平方得，
∴ ，
又∵ 的面积为 3，
∴ ，即a=2.
故选：A.
8．已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 ，过其左焦点倾斜角为30°的直线 交椭圆
于 ， 两点，若 的周长为16，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为椭圆的离心率 ，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则点 ，右焦点 ，所以 ，
由题意可得直线 的斜率 ，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司由题意设直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 与直线 的交点为 ，
联立 ，可得 ， ，
则 ，可得 为 的中点，所以直线 为线段 的中垂线，
即 ， ，
的周长为 ，可得 ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为： .
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．以下命题正确的是（ ）
A．平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
B．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
C．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
【答案】BD
【详解】对于A，向量 与 不共线，平面 与 不平行，A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B，由 ， ，得 ， 与 垂直，B正确；
对于C， ， ，则 或 ，C错误；
对于D， ，由 是平面 的法向量，
得 ，解得 ，D正确.
故选：BD
10．已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最大值为5
B． 的最大值为
C．直线 与圆 相切时，
D．圆心 到直线 的距离最大值为4
【答案】BC
【详解】圆 的方程可化为 ，所以圆 的圆心为 ，半径 .
，P(x ,y )是圆上的点，
0 0
所以 的最大值为 ，A选项错误.
如图所示，当直线 的斜率大于零且与圆相切时， 最大，
此时 ，且 ，B选项正确.
直线 ，即 ，过定点 ，
学科网（北京）股份有限公司若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，所以C选项正确.
圆心 到直线 的距离 ，
当 时， ，
当 时， ，所以D选项错误.
故选：BC
11．如图，曲线 是一条“双纽线”，其 上的点满足：到点 与到点 的距离之积为4，则
下列结论正确的是（ ）
A．点 在曲线 上
B．点 在 上，则
C．点 在椭圆 上，若 ，则
D．过 作 轴的垂线交 于 两点，则
学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【详解】对选项A，因为 ，由定义知 ，故A正确；
对选项B，点 在 上，
则 ，
化简得 ，所以 ， ，B错误；
对选项C，椭圆 上的焦点坐标恰好为 与 ，
则 ，又 ，所以 ，
故 ，所以 ，C正确；
对选项D，设 ，则 ，
因为 ，则 ，又 ，
所以 ，化简得 ，故 ，所以 ，故 1，所以
，故D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若双曲线 的一个焦点 ，一条渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司又 为双曲线 的一条渐近线，
所以 ，
设双曲线 的半焦距为 ，因为 为其一个焦点，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．在空间直角坐标系中，点 为平面 外一点，点 为平面 内一点．若平面 的一个法向
量为 ，则点 到平面 的距离是 ．
【答案】 /
【详解】由题知 ，又平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故答案为： .
14．已知 ，直线 为 上的动点.过点 作 的切线 ，切
点分别为 ，当 最小时，点 的坐标为 ，直线 的方程为 .
【答案】 (1,0)
【详解】 的标准方程为 ，其圆心为 ，半径为2.如图，
学科网（北京）股份有限公司由题意可知 ，则 ，
所以当 最小时， 最小，此时 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ，即 .
联立 ，解得 ，
所以点 的坐标为(1,0)， .
在Rt 中， ，同理 .
以 为圆心， 为半径作圆 ，如图，则线段 为 与 的公共弦，
的方程为 ，即 ，
两圆方程相减得 ，即直线 的方程为 .
故答案为：(1,0)；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在平面直角坐标系 中，圆 经过点 和点 ，且圆心在直线 上.
学科网（北京）股份有限公司(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 被圆 截得弦长为 ，求实数 的值.
【详解】（1）因为 ， 的中点为 ，且直线 的斜率 ，
则线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ，.............................................................3分
联立方程 ，解得 ，.....................................................................................5分
即圆心 ， ，
所以，圆 的方程为 ..............................................................................................7分
（2）因为直线 被曲线 截得弦长为 ，
则圆心到直线的距离 ，...............................................................................................10分
由点到直线的距离公式可得 ，解得 ...........................................................13分
16．（15分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点与双曲线E： 的右焦点重合，双曲线E的
渐近线方程为 .
(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.
(2)斜率为1且纵截距为−2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求 的面积
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为 .
所以 ，解得 ，从而 ，即 ，...................................3分
所以右焦点为(2,0)，从而 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为 ， ..........................6分
（2）
由题意直线 ，它过抛物线的焦点(2,0)，
联立抛物线方程得 ，化简并整理得 ，
显然 ， ，
所以 ，.................................................................................10分
点 到直线 的距离为 ，.....................................................................12分
所以 ，即 的面积为 .............................................15分
17．（15分）在四棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
学科网（北京）股份有限公司(3)求二面角 的余弦值.
【详解】（1）证明：过 作 于 ，
因为 ，所以 与 相交，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，...........................................................................................................2分
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 与 相交， 平面 ，
所以 平面 ；.......................................................................................................4分
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 两两垂直，.....................................................................................................6分
所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ，
所以 ，...............................................................................8分
因为 ， ， ， 平面
所以 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，则
.......................................................................................................11分
学科网（北京）股份有限公司（3）因为 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，...........................................13分
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，.................................................15分
所以 ，
因为二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ...............................................................................17分
18．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，过点 作两条直
线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，
故 的方程为 ．..........................................................................................4分
（2）易知 的斜率不为0，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ．........................................................................6分
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．.................................................................10分
（3）由（2）可知 ，...................12分
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．.....................................................................................................14分
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 ．.............................................................................................17分
19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之
间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 ， ，则欧几里得距离
；曼哈顿距离 ，余弦距离 ，
其中 （ 为坐标原点）．
(1)若 ， ，求 ， 之间的曼哈顿距离 和余弦距离 ；
(2)若点 ， ，求 的最大值；
(3)已知点 ， 是直线 上的两动点，问是否存在直线 使得 ，若存在，
求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
【详解】（1） ，.............................1分
，
；.........................................................4分
（2）设 ，由题意得： ，
即 ，而 表示的图形是正方形 ，
学科网（北京）股份有限公司其中 、 、 、 ．................................................................6分
即点 在正方形 的边上运动， ， ，
可知：当 取到最小值时， 最大，相应的 有最大值．
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ；.................8分
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，取 ，
则 ．
因为 ，所以 的最大值为 ．..............................................................12分
（3）易知 ，设 ，则 ..............14分
当 时， ，则 ， ，满足题意；
当 时， ，
由分段函数性质可知 ，
又 且 恒成立，当且仅当 时等号成立．
学科网（北京）股份有限公司综上，满足条件的直线有且只有两条， 和 ．.........................................................................17分
学科网（北京）股份有限公司
