文档内容
试卷类型:A
高三一轮检测
数学试题
2025.03
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1 .若* U = (0』,234r5= {1,23 [1,5),则' A)%;
A.{5} B.1 2t5} C.(05) D.[2,3,4)
2 .已知i为虚数单位，若。-i)(2 +成)是纯虚数,则实数a =
A. -4 B. -2 C. 1 D.2
3 .已知46为空间中两条直线,口为平面,0仁冬6仁仁,则《，6是。_1_仪的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4 .已知向量|a| = |“= 1」＜:|=浮闰。+ 6 - 2c = 0,则cos(a,c) =
5 .若(3-2x)。的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为
VX
A. -240 B.-60 C. 60 D. 240
6 .已知 tan (a - 1)= 3,则 co6 2a =
高三数学试题第1页(共4页)7 .若小 + log5a = 16* + 210g=76,则
A. a < 68 B. a >bs C, a > 8b D.a<8b
8 .已知直线2：w + ny +，= 0（苏+ 1 / 0）与圆C必+（y + 3）2 = 8交于4,8两点，若
成等差数列，则41CB的最小值为
" -" - 2仃 _ 5tt
A. — B. — C."—— D. -t-
3 2 3 6
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列选项正确的是
2 4
A.若随机变量工~8（6可）,则O（X） = §
B.若根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到了 = 4.974,则依据a = 0.05
（P（P 2 3.841）=0.05）的独立性检验，认为变量X与丫不独立，该推断犯错误的概率
不超过0.05
C.若随机变量 X~N （102）,且 P （X < 0） = 0.2,则 P （1 < X V 2） = 0.2
D.数据3,1,1,2,2,9,3,3,11,12的第75百分位数是9
10 .瑞士数学家欧拉在解决柯尼斯堡七桥问题时提出了欧拉回路的定义，即:在 Y图中，经
过图中每一条边且每条边仅经过一次，并最终回到起始顶点的闭合路径.通俗的讲，在图
中任选一个点作为起点,笔尖不离开图形可以完全不重复的走完图形所有边回到起点.
下列图形存在欧拉回路的是
卡B-0仓D.心8
11 .已知无穷数列（4[,也）,若对唱都有|，-6卜1,则称｛4｝与｛6J“伴随”，则下
列选项正确的是
A.若4 =（弓）一九=cos（几+ 1 ）为则｛an｝与｛伴随"
B.若4 =.（二]）,｛ aj的前几项和为S“则（ q』与｛SJ“伴随”
C.若｛。』的前5项为2,3,5,8,13,（6｝与（口『伴随:设集合「= （%上=6"=1,234，）,
则P中元素个数为4或5
D.若（％）是公差为d的等差数列，且｛4）所有的“伴随”数列14都是递增数列，则d > 2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。
12 .抛物线/ =肠上与焦点的距离等于6的点的横坐标为.
13 .从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共
有____种安排方法（用数字作答）.
高三数学试题第2页（共4页）14x 巳知函数/(x) = 25in(a)x + £ Jcoscux - (a)> 0)的最小正周期为 ir,/(工)在
(Y，5)上的图象与直线y = a交于点41,与直线y=遍。交于点CA且MB|=
o 3
2\CD\Ma=z
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在△4SC中，内角AJB,C所对的边分别为a Jf, 2c cos 8 + 5 cob (仃-A ) = a cos B.
(1)求 B;
(2)若 a>b,b = ^^-smB.BC-AB = -6,求一
16. (15 分)
如图，在四梭锥尸-ABCD中，底面4HCD是边长为2的正方形,MW分别为8C回中点.
(I)求证:Af/V 〃平面P44
(2)若尸4 = P8= MJ,平面P4RL平面48CD,求平面园f/V与平面DM/V夹角的余弦值.
17. （15 分）
为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人
组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则
得。分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人/每局
比赛获胜的概率分别为今彳
(J)设前两轮比赛中甲队得3分为事件人前两抡比赛中机器人a得2分为事件B,求
P(B\A )；
(2)受机器人电池蓄航能力影响，本次比赛最多进行10抡，规定当一队得分比另一队
得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了 X抡，求X的数学期望.
高三数学试题第3页(共4页)18. （17 分）
已知椭圆艮［+《=1（。>6>0）的离心率为浮,修£分别为摘四片的左,右食瓦
a b 2
人吕分别为椭圆月的上,下顶点，且M81 = 2.
（1）求椭圆£的方程；
（2）已知过,।的直线/与楠困E交于两点，且直线/不过椅困四个顶点.
⑴设△MF、FQMAB的面积分别为显得,若星W 5工,求M初的最大值；
⑻若川在x轴上方为ZJWV的角平分线，求直线/的方程.
19.（17 分）
已知函数f （z）= In— +
（1）当。=1时,求函数在。J（1））处的切线方程；
（2）讨论函数“切的单调性；
（3）若方程ht +与詈=0+ 有两个不同的实数根，求实数。的取值范围.
高三数学试题第4页（共4页）iWi二一'轮检测
数学试题参考答案及评分标准 202503
12.4 13. 180 14.2
3
四、解答题：
15. （13 分）
解：（1）由题意得
2c cos B - b cos A = a cos B
即 a cos B + b cos A - 2c cos B
：.sin A cos B + sin B cos A = 2 sin C cos B.............................. 2分
/. sin （/I + B） = 2 sin C cos B
sin C = 2 sin C cos B
4分
,：B e （0,ir）
•.F..................................................... 6分
⑵由⑴可得
,2y/39 . n 2V39 y/3 ▼
I）= --- sin B = —-— x---= v 13.............................. 7分
3 3 2
BC-AB = -BC-BA = -6
——— 1
BC • BA = ac cos B = —ac = 6
2
/. ac = 12 ...........................8.分.......................
.„ a2 + c2 - b2
X cos B =--- ------
2ac
=（a + c）2 T3 2
2ac
9分
2
高三数学试题参考答案第1页（共7页）a + c = 7 11分
得卜U或卜U ................................................. 12分
(c = 4 ( c = 3
a> b = xj 13,
a = 4,c = 3 ................................................. 13 分
16. (15 分)
(1 )证明：取P/l中点£，连接BE,NE
•・・ △P4。中,E,/V分别为R4,P。中点
EN 〃 AD 且 EN = ：AD...................................... 2 分
又正方形ABCD中,M为8。中点
BM // AD,BM =^BC = ^AD ................................ 4 分
BM £ EN
J.四边形5M/VE为平行四边形.....................................5分
:.BE // MN ............................................... 6 分
MN 仁平面 P/18, BE U平面 213
M/V 〃平面P45........................................... 7 分
(2)取中点为。,。0中点为F,连接P(),OF
△P/18 中,=
/. PO.LAB
•「平面 PAB ± 平面C 平面P/I8,
平面P4N D平面4BCO = AI3
PO.L^-^ABCD
又四边形4BCO为正方形
/. OF ±AB
以OB, OF, OP所在直线分别为x, y, z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系...................................9分
PA = PB =①,46 = 2
・•・ 4(-1,0,0)。(-1,2,0) M(l,l,0)
初=(2,1,0),而=(2,- l,0),W = (-1,0J)
高三数学试题参考答案第2页(共7页)设平面4M/V的法向量为n（ = （x（必必）
I 2x, + %=0
[n( 'AM = 0
贝邛巴丽=0 即《3 ，取 为 = 2,则 ％ =-4,Z[ = 3
'\~2X' + Zi = 0
n,=(2,-4,3) ...........................................
设平面OM/V的法向量为n2 =(孙必
y2)
g•丽=0 [2出一力=0
则《 八即$ 3 ，取孙=2，则力=4/2 = 3
l[n2*MA/ = 0 l^-y %2 + z2 = 0
n2 = (2,4,3)...................................... 13分
设平面/1M/V与平面DMN的夹角为仇则
I / 、। n, 3
cos0=|cos(«h«2)| = |~~- ........................................................ 15 分
| n\\\ n2\
17. (15 分)
解：（1）设前两轮比赛中a得，分为事件G，6得，分为事件卬J = 0,1,2
p（g）=y==a 4）2 =：
3 2 12 3 9
p（，）=a（M）|（M）|=石/（。2）=&（1）2=行..................... 2 分
由题意 4 = CR + C2Dl,AB = CR
■：各轮比赛，各局比赛结果互不影响,6,。 与互斥
2
/4） = p（G2） + P@a）= P（G）P（2）+ P（G）P（OJ
1 I? 3
P(^)=P(C2)P(D,) = -x —= — ............................ 5分
.•"皿)=盗4...................................... 6分
(2)由题意,X= 1,2,……,10........................................ 7分
设第A：轮两队比分为1： 1为事件£** = 1,2,……,9
•••各局比赛互不影响
1 3 1 3 1
••• 0 （瓦^^（””（.万附二
P（瓦）=1 一。（瓦）=g......................................8分
由题意，4=1时-,P（X= 1）=P（瓦）
高三数学试题参考答案第3页（共7页）
「天朝k》2时，事件"X = F =醺&…E1瓦"=2,3,…,9
••・各轮比赛互不影响
P(X = k) = P(EJP 电)…P(EQPg
= lx|x...x|x| = (i)^ = 2,……,9 ................ 9分
• •• P(X=
10)=P(M)P(£：2)…P(EJ
=(y )9 ........................................ 10分
E(A)= 1x1+ 2x(1 )2 +... + 9x(l)'> + 10x(l)'> ............. 11 分
设S =1 x — + 2 x(— )2 +…+ 9x(— )9
2 2 2
・ •. yS= lx(1)2 + ... + 8x(l)9 +9x(1)'°
• ，• S - ：S = (； 9 x(i )10
g + (g )2 + …+ )9 -
.•.yS=l-(1)9-9x(l)'o
S = 2 - llx(l)9 ........................................ 14分
1 1023 1 1023
• •・仅、)=2-(5)9=翳(注：2-(千)9或甯■均得分)........15分
乙 乙 乙 乙
J 1 J 1
18. (17 分)
f a2 = b2 + c2
解：(1)由题意知I £ =苧
[b = 1
.••椭圆方程为>/ = 1 ...................................... 3分
⑵⑴设也久。,九),则
Si = =yx| 八 七| x| 九| 二 g X 2 x| y0| =|y0|
SMIAII
§2 = = yX|/lB|x|x0| = yX2x|x0| =|x0|
••• 5t WS2
」• |y°| w|%°|................................................. 5分
y(> w %o~
又・•• M(/,y。)在椭圆上
高三数学试题参考答案第4页（共7页）= 2 - 2y。2
2
•••“ W 2 - 2y。2，即端 w - .................................... 6分
1•i I = %。2 + (九 一 1 )2 = 2 - 2y。2 + %2 _ 2兀 + ]
=-To2 - 2y0 + 3 , y° e[一空,0)U(0,"^ ]............... 7分
। 2 276 . 7 + 2\/6 (\/6 + 1 )2 八八
」「村 mnx = -- + —+3 = ^^ = -............... 8分
J/；
■.\AM\ ...................................... 9分
1 1 max 4
(ii)设4=仇直线4N的倾斜角为a,直线4M的倾斜角为0
•.• 4(0,l),F(-l,0)
/.直线4 %的倾斜角为:
4
a = — TT + 0八,/八3 = - 7T - 0八
4 4
1T
a + /3 = —............................................... 11 分
TT
乂 3n = lan a, kAM = lanjS = tan (--a)
•,• = I ............................................. 12分
由题意/的斜率不为0,设直线/的方程为:* = my - I,/?? * 1
[x = my - 1
由《一 得(z〃2 + 2)y2 - 2m.y -1 = 0
5=1
设M (所,九)/¥(：%,左)，则
△ = 8/?»2 + 8 > 0
又
Lin， Km =1
¥2 T % T
X2 X]
即(加 -1)02 T) = "/2 =(wiy, - i)(my2 - 1)
整理得(〃/- 1)%% =(加 一 1)(% + %) .......................... 15分
-(/n + 1) _ 2m.
in2 + 2 m2 + 2
m = -y................................................. 16 分
I的方程为 3“ + y + 3 = 0.................................... 17分
高三数学试题参考答案第5页（共7页）19. (17 分)
解：由题意/(” )的定义域为(0, + 8 )
(1)当《 = 1 时,/(*)= In e" - In % + N = 3% - In x
•••/'(*)= 3 - '............................................. 2分
x
・•・广(1)=2
又•••/(1)=3
.•./(%)在(1,/(1))处的切线方程为y - 3 = 2(%- 1),即入-？ + 1 = 0……3分
(2) •「/(*) = Ine2' - Inx + ax = (a + 2 )% - In*
/. f (汽)=a + 2-- =........... ............................ 4 分
x x
当a + 2・0,即〃《一2时,/，(％)<0
/(%)在(0,+ 8)上单调递减 .......................................5分
当 a + 2>0,即0>一2 时
在(。，二一)上广⑺< °，在(亍二，+8)上广⑺>。
2 + a 2 + a
.•./(")在(0, J-)上单调递减，在(丁1—, +8)上单调递增 ..........6分
综上,a W -2时,/(久)在(0, + 8)上单调递减
a > -2时,/(出在(0. —i―)上单调递减,在(, + oo)上单调递增
2 + a 2 + a
.....................................................7分
(3)方程e'T +也q=(〃 + 有两个不同实根，等价于方程
X
xex 1 - a\nx - x = 0有两个不同实根.................................8分
设g(%) = xex" 1 - alnx - x = (e'"1 - 1 )x - aln久，则
/(%) = («+ 1 )eT'1 " - " 1 月.g'(l) = 1 - a........................ 9分
x
当。WO 时，％ £(0,1)时,g(%)(05£(l, + 8)时,g(%)>0,
此时函数g(”)只有一个零点x= I,方程只有一个根，不符合题意 ..... 10分
a >0时,g，(%) = )+ l)e*-' - 1--在(0,+ 8)上单调递增
X
当00,g/(a) = (a + l)e"T - 2 < a - 1 < 0
.•・存在盯w(0,l)使"5)=0
在(0曲)上g'⑺<0,在(町，+ 8)上/(町)>0
g⑺在(0,町)上单调递减，在(%”+ 8)上单调递增 ................11分
，= g("l) 0),则//(%) = e'"1 --
x
当 o<%< i 时,/〃4)< i 单调递减
X
又/i(l) = 0,0 0
又gO)=o
g(x)在(0魏i)上和(4i, + 8)上各有一个零点，符合题意 ............13分
当Q = I 时,g'(l ) = 0
在(0,1)上g'(”)<0,在(1,+8)上g«)〉o
... g(%)在(0,1)上单调递增，在(1, + 8)上单调递增
=g(l) =。
・•. g(%)只有％ = 1 一个零点，不符合题意 .......................... 14分
当 a> 1 时,g'(l)= 1 - a < 0
g'(a) = (a + \ - 2> a + 1 - 2> 0
存在孙e(l,a)使得g'(#2)= 0 ................................ 15分
在(0/2)上g'(*)<0,g(%)单调递减，在区，+ 8)上K⑺>0,g⑺单调递增
=g(%2)1时,/1'(")=炉-|-'> 1 -’>0,九(*)单调递增
x x
又/i ⑴=0, a> 1
g(a)>。
gQ)在(孙,")上存在一个零点
又 g(l)=0
a> 1时g(%)有两个零点，符合题意 ............................ 16分
综上，方程e- +且⑷= (a+ I,有两个不同实根时,a> 1或0
