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届高三 月适应性考试数学
２０２５ ５
参考答案、提示及评分细则
．答案
１【 】D
解析 因为A x x x x 故A Z 故选 ．
【 】 ＝{|| －１|＜３}＝{|－２＜ ＜４}, ∩ ＝{－１,０,１,２,３}, D
．答案
２【 】A
解析 因为 位同学的积分 中位数是第 名 所以知道中位数即可判断是否在前 故选 ．
【 】 ２９ , １５ , １５, A
．答案
３【 】B
m２
解析 依题意 m 即 m １ 则C的焦点在y轴上 因此 m １－ 所以m １ 故C的
【 】 ,０＜ ３ ＜１, ０＜ ＜ , , ３ ＝ , ＝ ,
３ １ ２
短轴长为 m 故选 ．
２ ＝１, B
．答案
４【 】C
【
解析
】
易得 ( １
x－１
) ５ 展开式的通项公式为T
r ＋１＝C
r
５
( １
x
) ５－ r
(－１)
r
＝(－１)
r
C
r
５
x－ ５－
２
r
,
令
－
５－ r
＝－２,
解
２
得r ．将r 代入通项公式可得 １ １x－２ x－２ 故展开式中x－２ 项的系数为 故选 ．
＝１ ＝１ (－１)C５ ＝－５ , －５, C
．答案
５【 】A
解析 令函数fx x x 求导得f′x x 故fx 在R上递增 由y x 得fy
【 】 ()＝ ＋cos , ( )＝１－sin ≥０, ( ) , ＞ ＞０, ()＞
fx 即x y y x 即充分性成立 同理可得 当x y y x时 可得y x 故必要性不成
(), －cos ＜ －cos , ; : －cos ＜ －cos , ＞ ,
立 综上可知 甲是乙的充分条件但不是必要条件 故选 ．
, , , A
．答案
６【 】B
( ) ( ) ( )
解析 已知x π 令t x φ 则t φ π φ 因为 φ π 所以 φ π π ．故原条件等价于
【 】 ∈ ０, , ＝２ ＋ , ∈ , ＋ , ||＜ , ∈ － ,
６ ３ ２ ２ ２
ì
ï
φ π
( ) ( ) ï ï ≥－ ２
已知函数y t在区间 φ π φ 上单调 而函数y t在区间 π π 上单调 所以í 又
＝sin , ＋ , ＝sin － , , ï ,
３ ２ ２
ïïπ φ π
î ＋ ≤
３ ２
( ) ( ]
因为 φ π π 故 φ π π 故选 ．
∈ － , , ∈ － , , B
２ ２ ２ ６
．答案
７【 】D
解析 由正四面体木料知 底面为边长为 的正三角形 故底面面积为 因为平面平行于该木料底面 故该
【 】 , ２ , ３, ,
平面在木料上的截面也为正三角形 设该正三角形与底面的相似比为k 则该平面在木料上的截面面积为
, ,
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ６ )】k２ 截下部分一部分为小四面体 一部分为正三棱台 其中小四面体部分的表面积即 k２ 正三棱台表面
３ , , , ４３ ,
积为 k２ k２ k２ 故 k２ k２ 解得k２ ２ 所以该平面在木料上的截
４３－３３ ＋ ３ ＝４３－２３ , ４３ ＝４３－２３ , ＝ ,
３
面面积为２３ 故选 ．
, D
３
．答案
８【 】A
x x
解析 由题易得f′x ２ －３ln －３ 故x x 满足 x x x x 也即 x
【 】 ()＝ x ２ , １,２ ２ １－３ln １－３＝０,２ ２－３ln ２－３＝０, ln １＝
(２ －３)
x １ x
x x １ (２ １－３)
１ x x １ x ．而fx １ln １ ３ １x 同理fx １x 故过
(２ １－３),ln ２＝ (２ ２－３) (１)＝ x ＝ x ＝ １, (２)＝ ２,
３ ３ ２ １－３ ２ １－３ ３ ３
１x １x
１－ ２
x fx x fx 两点的直线斜率k ３ ３ １ 故选 ．
(１,(１)),(２,(２)) ＝ x x ＝ , A
１－ ２ ３
．答案
９【 】ACD
x２ y２
解析 中a b 故C的实轴长为 故 正确c２ a２ b２ 故c 易得C的
【 】 － ＝１ ＝３,＝ ７, ６, A ; ＝ ＋ ＝９＋７＝１６, ＝４,
９ ７
b
焦点坐标为 故 正确 易得C的渐近线方程为y x ７x 故 错误 由对称性 不妨取焦
(±４,０), C ; ＝±a ＝± , B ; ,
３
点 到渐近线 y x 的距离为d |４７| 故 正确 故选 ．
(４,０) ３ ＋ ７ ＝０ ＝ ＝ ７, D , ACD
９＋７
．答案
１０【 】AC
解析 对于 令x y 则ff f f 由 可知f 所以f f f 解
【 】 A, ＝１,＝０, ((１))＝ (１)＋ (０), ② (１)＝１, (１)＝ (１)＋ (０),
得f 故 正确 对于 令y x 则ffx x fx f x 得ff fx
(０)＝０, A ; B, ＝－ , ( ( － ))＝ ( )＋ (－ ), ( (０))＝ ( )＋
f x 由 可知f 所以f fx f x 即f x fx 故fx 为奇函数 故
(－ ), A (０)＝０, (０)＝ ()＋ (－ )＝０, (－ )＝－ (), () , B
错误 对于 令y x 则ffx x fx f x ff f 即fx
; C, ＝１－ , ( ( ＋１－ ))＝ ( )＋ (１－ )＝ ( (１))＝ (１)＝１, ( )＋
( )
f x 即fx 的图象关于点 １ １ 中心对称 故 正确 对于 由于fx f x 且
(１－ )＝１, ( ) , , C ; D, ( )＋ (１－ )＝１
２ ２
f x fx 则有fx fx 即fx fx 所以f f f
(－ )＝－ (), ( )－ ( －１)＝１, ( )＝ ( －１)＋１, (２)＝ (１)＋１＝２, (３)＝
f f 故 错误 故选 ．
(２)＋１＝３,,(２０２５)＝２０２５, D , AC
．答案
１１【 】BCD
解析 因为圆O是 ABC的外接圆 所以O是 ABC的外心 O在BC的中垂线上 若O符合 AO→ OB→
【 】 △ , △ , , ２ ＝
OC→ 则A也应在BC的中垂线上 因为AB AC 故 错误 因为O是 ABC的外心 所以O在AB的
＋ , , ≠ , A ; △ ,
AB→ ２
中垂线上 AO→ AB→ AO→ AB→ OAB | | 故 正确 对等式 AO→ AB→ AC→两边
, ＝| || |cos∠ ＝ ＝１８, B ; １８ ＝８ ＋３
２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ２ ( ６ )】同时乘以AB→ 则 AO→ AB→ AB→ AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ 解得AC→ AB→
, １８ ＝８ ＋３ ⇒１８×１８＝８×３６＋３ , ＝
故 A １ A ３ ABC的面积为１AB AC A １ ３ 故 正确 由余弦定
１２, cos ＝ ,sin ＝ ,△ × sin ＝ ×４×６× ＝６３, C ;
２ ２ ２ ２ ２
AB２ AC２ BC２ BC
理可得 A １ ＋ － 解得BC 由正弦定理 R ２７ 所以圆O的半径为
cos ＝ ＝ AB AC , ＝２７, , A＝２ ＝ ,
２ ２ × sin ３
２
２ ２１ 其周长为４ ２１ 故 正确 故选 ．
, π, D , BCD
３ ３
．答案
１２【 】４
解析 因为z ２ 所以z的实部为 虚部为 和为 故答案为 ．
【 】 ＝(１＋i)(２＋i)＝２＋i＋２i＋i＝１＋３i, １, ３, ４, ４
．答案 ５
１３【 】
２４
θ θ θ θ
解析 由题意可得 θ ２tan ８ 解得 θ １或 θ 舍去 故２cos－３sin ２－３tan
【 】 tan２ ＝ ２θ＝ , tan ＝ tan ＝－４( ), θ θ＝ θ ＝
１－tan １５ ４ ４sin ＋５cos ４tan ＋５
５ 故答案为５．
,
２４ ２４
．答案 １２２
１４【 】
２４３
解析 记事件A为S 为奇数 设事件A′为S 为奇数 分析可知 当S 为奇数时 若a 则S
【 】 “k ”, “k ＋１ ”, , k , k ＋１＝２, k ＋１
仍然为奇数 , 若S k 为偶数 , a k ＋１＝１ 或 ３ 时 , S k ＋１ 仍然为奇数 , 从而 : p ２ P ( A )＋ P ( A )( p １＋ p ３)＝
P ( A′ ),( 其中pi 表示a k ＋１＝ i的概率 , i ＝１,２,３), 设P ( A )＝ qk, P ( A′ )＝ qk ＋１, 从而有 :－ １qk ＋ ２ ＝ qk ＋１
３ ３
( ) ( ) ( )k －１( ) ( )k －１
⇒－
１ qk
－
１
＝
qk
＋１－
１
,
进而
－
１ q
１－
１
＋
１
＝
qk, q
１＝
２
⇒
qk
＝
１
＋
１
－
１
＝
P
(
A
)
３ ２ ２ ３ ２ ２ ３ ２ ６ ３
q １ １ １２２ 故答案为１２２．
⇒ ５＝ ＋ ＝ ,
２ ４８６ ２４３ ２４３
．解析 由列联表可得s 分
１５【 】(１) ＝２９０－１６０＝１３０, ２
t ． 分
＝４００－２００＝２００ ４
由题意可得 岁青年群体对新产品感兴趣的频率为 １６０ ． 分
(２) １８~２２ : ＝０８, ６
２００
岁青年群体对新产品感兴趣的频率为 １３０ ． ． 分
２３~２７ : ＝０６５ ８
２００
零假设为H 对新产品感兴趣与青年的年龄段无关联．
(３) ０:
２
因为χ ２ ４００(１６０×７０－４０×１３０) ． ． 分
＝ ≈１１２８５＞１０８２８, １２
(１６０＋４０)(１３０＋７０)(１６０＋１３０)(４０＋７０)
则根据小概率值α ． 的独立性检验 我们推断H 不成立 即认为对新产品感兴趣与青年的年龄段
＝０００１ , ０ ,
有关． 分
１３
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ３ ( ６ )】．解析 由题意可知fx 的定义域为 分
１６【 】(１) :() (０,＋∞), １
x ax
且f′x ax a １ (２ ＋１)( －１) 分
()＝２ ＋(－２)－x＝ x , ２
当a 时f′x 可知fx 在 上单调递减 分
≤０ , ()＜０, () (０,＋∞) ; ３
当a 时 由f′x 得x １ 由f′x 得 x １ 分
＞０ , ()＞０ ＞a; ()＜０ ０＜ ＜a; ４
( ) ( )
可知fx 在 １ 上单调递减 在 １ 上单调递增 分
() ０,a , a,＋∞ ; ５
综上所述 当a 时fx 的单调减区间为 无单调增区间 分
: ≤０ ,() (０,＋∞), ; ６
( ) ( )
当a 时fx 的单调减区间为 １ 单调增区间为 １ ． 分
＞０ ,() ０,a , a,＋∞ ７
解法一 参变分离法 由已知得ax２ a x x 在 上恒成立 分
(２) :( ) ＋(－２)－ln ≥０ (０,＋∞) , ８
x x x x
等价于a ２ ＋ln 在 上恒成立 设gx ２ ＋ln x 分
≥x２ x (０,＋∞) , ()＝x２ x ,＞０, １０
＋ ＋
( )
１ x２ x x x x
２＋x ( ＋ )－(２ ＋ln )(２ ＋１) x x x
则g′x (２ ＋１)(１－ －ln ) 分
()＝ x２ x２ ＝ x２ x２ , １２
( ＋ ) ( ＋ )
设hx x xx 可知hx 在 上单调递减 且h 分
()＝１－ －ln ,＞０, () (０,＋∞) , (１)＝０, １３
当 x 时hx 即g′x 当x 时hx 即g′x 可知gx 在 上单调递增
０＜ ＜１ ,()＞０, ()＞０; ＞１ ,()＜０, ()＜０; () (０,１) ,
在 上单调递减 分
(１,＋∞) , １４
则g x g 可得a 即a的取值范围为 ． 分
()max＝ (１)＝１, ≥１, [１,＋∞) １５
解法二 分类讨论法 由题意可知 f x 在 上恒成立 分
:( ) : ()min≥０ (０,＋∞) , ８
由 知 当a 时fx 在 上单调递减 且f a 不合题意 分
(１) , ≤０ ,() (０,＋∞) , (１)＝２ －２＜０, ; １０
( )
当a 时 可知f x f １ １ a 分
＞０ , ()min＝ a ＝１－a＋ln ≥０, １２
设ma １ aa 可知ma 在 上单调递增 分
()＝１－a＋ln ,＞０, () (０,＋∞) , １３
且m 若f x 则ma 可得a 故a的取值范围为 ． 分
(１)＝０, ()min≥０, ()≥０, ≥１, [１,＋∞) １５
．解析 证明 由折叠知 AD DC 分
１７【 】(１) : , １⊥ １ , １
又因为平面ACD 平面BCD AD 平面ACD 平面ACD 平面BCD CD 分
１⊥ １, １⊂ １, １∩ １＝ １, ３
故AD 平面BCD ． 分
１⊥ １ ４
又AD 平面ABD 所以平面BCD 平面ABD ． 分
１⊂ １, １⊥ １ ６
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ４ ( ６ )】由 知AD BD 在 ABD 内 过点D 作DH AB．易得DH 平面ABC 在 ABD 内
(２) (１) １⊥ １, △ １ , １ １ ⊥ １ ⊥ , Rt△ １ ,
BD ２ ２ ． 分
１＝ ６－４ ＝２５ ７
又S １ AD BD １ AB DH 即 DH ４×２５ ４５ 分
△ ABD １＝ ×| １|×| １|＝ ×| |×| １ |, | １ |＝ ＝ , ８
２ ２ ６ ３
进而AH ８ BH １０．
＝ , ＝
３ ３
如图 以点B为原点 BC→为x轴正方向 BA→为y轴正方向建立空间直角坐标系 则A C
, , , , (０,６,０), (４,０,０),
( )
D １０４５ B 分
１ ０, , , (０,０,０), ９
３ ３
( ) ( )
AD→ ８ ４５ AC→ BD→ １０４５ ．设平面ACD 法
１＝ ０,－ , , ＝(４,－６,０), １＝ ０, , １
３ ３ ３ ３
向量为m xyz 分
＝(,,), １０
ì
ï
则
{m
AD→
１＝０
即í
ï
－
８y
＋
４５z
＝０ 分
, ï ３ ３ , １１
m AC→ ï
＝０ îx y
４ －６ ＝０
取x 则m 为平面ACD 的一个法向量 分
＝３５, ＝(３５,２５,４) １ , １２
m BD→
设BD 与平面ACD 所成角为θ 则 θ | １| １２５ ２ 分
１ １ , sin ＝ m BD→ ＝ ＝ , １４
| || １| ９×２５ ３
故直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为２． 分
１ １ １５
３
p p
．解析 点C 满足 CF OF 则 解得p ． 分
１８【 】(１) (４,０) | |＝３| |, ４－ ＝３ , ＝２ ２
２ ２
故Ey２ x 准线方程x ． 分
: ＝４ , :＝－１ ３
{x my
设直线ABx my m Ax y Bx y 联立 ＝ ＋１得y２ my 故yy
(２) :＝ ＋１( ≠０), (１,１), (２,２), －４ －４＝０, １ ２＝
y２ x
＝４
y２y２
xx １ ２ 分
－４,１ ２＝ ＝１, ５
１６
由抛物线定义有 AF x BF x
| |＝ １＋１,| |＝ ２＋１,
x x x x
则 １ １ １ １ １＋ ２＋２ １＋ ２＋２ 得证． 分
AF ＋ BF ＝x ＋x ＝xx x x ＝x x ＝１, ８
| | | | １＋１ ２＋１ １ ２＋ １＋ ２＋１ １＋ ２＋２
( )
令y tt 则y ２ 令x t２ 则x １ 即At２ t B １ ２ 分
(３) １＝２(＞１), ２＝－t, １＝ , ２＝t２ , ( ,２), t２ ,－t , ９
y y t t
由于AB AM 且直线AB 的斜率k １－ ２ ２ 故直线AM x t２ ２ y t 即x
⊥ , ＝x x ＝t２ , : － ＝－t２ ( －２), ＝
１－ ２ －１ －１
t t４ t２
２ y ＋３ 分
－t２ ＋t２ , １０
－１ －１
t４ t２ ( ) t２
则点M 横坐标x
M ＝t２
＋３
,
由B
t
１
２ ,－t
２
,
C
(４,０)
可得直线BC
:
x
＝
４
t
－１y
＋４, １１
分
－１ ２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ５ ( ６ )】ì ï t t４ t２
x ２ y ＋３
联立í ï ï
ï
＝－
t
t
２
２ －１ ＋t２ －１
,
解得点N纵坐标yN
＝
２ t
４ t
( t
４
４
－
－
t
t
２
２
＋
＋
１
４)
, １３
分
ïïx ４ －１y
î ＝ t ＋４
２
x２ x ２
因此 ,( S １－ S ２) S ３＝ １ | CF || y １＋ y ２| １ ( x M －４)| yN |＝ ３( x １ ２ － x １＋４) , １４ 分
２ ２ ４ １－ １＋１
x２ x ２ x x２ x x２ x
记fx ( － ＋４)x 则f′x (－２)( － ＋４)(８ ＋１３ －１) 分
()＝ x２ x ,＞１, ()＝ x２ x ２ , １５
４ － ＋１ (４ － ＋１)
故fx 在区间 上单调递减 在 上单调递增 分
() (１,２) , (２,＋∞) , １６
因此当x 时 S S S 取到最小值３６ 此时A ． 分
１＝２ ,(１－ ２)３ , (２,２２) １７
５
．解析 由题可知a a a 为公差为 的等差数列 故a a 分
１９【 】(１) :１,２,,１０ １ , １０＝ １＋９＝１０, ２
a a a 为公差为d的等差数列 故a a d 分
１０,１１,,２０ , ２０＝ １０＋１０ ＝４０, ３
解得d ． 分
＝３ ４
由题可知a a a 为公差为 的等差数列 故a a k k 分
(２) :１,２,,k １ , k ＝ １＋(－１)１＝ ; ５
a a a 为公差为d的等差数列 故a a kd k d ． 分
k,k ＋１,,２ k , ２ k ＝ k ＋ ＝ (１＋ ) ６
a
２ k,
a
２ k ＋１,,
a
３ k
为公差d２ 的等差数列
,
故a
３ k ＝
a
２ k ＋
kd２
＝
k
(１＋
d
＋
d２
)
．
７
分
[( )２ ]
a k d １ ３ ３k 又k为正整数 故３k 分
３ k ＝ ＋ ＋ ≥ , , ＞０, ８
２ ４ ４ ４
即a 的最小值为３k． 分
３ k ９
４
由题可知n ks t．当s 时a a a 是公差为ds的等差数列． 分
(３) :＝ ＋ ≥１ ,ks,ks ＋１,,k(s ＋１) １０
而a k(s ＋１)＝ a ks ＋ kds , a ks ＝ a k(s －１)＋ kds －１ , 依次类推 , a k ＝ a １＋ k －１, 也即a k(s ＋１)－ a ks ＝ kds , １１ 分
a ks － a k(s －１)＝ kds －１ , 依次类推 , a k － a １＝ k －１, 累加得a k(s ＋１)＝ k (１＋ d ＋ d２ ＋＋ ds ) ． １２ 分
当d 时a ks ． 分
＝１ ,k(s ＋１)＝ (＋１) １３
ds
＋１
ds
＋１
当d a k １(１－ )k １－ ． 分
≠１,k(s ＋１)＝ d ＝ d １４
１－ １－
ì ï ksd ì ï ks td
ï ,＝１ ï ＋ ,＝１
也即a ks ＝ í ï ïk １－ ds d ．由题 , t ∈[０, k ), 则a ks ＋ t ＝ a ks ＋ tds ＝ í ï ïk １－ ds tdsd , １６ 分
î d,≠１ î d＋ ,≠１
１－ １－
ì ï nd
ï
,＝１
当s ＝０ 时 , a ks ＋ t ＝ a t ＝ t , 仍然满足上式．综上 , a n ＝ í ï ïk １－ ds tdsd ． １７ 分
î d＋ ,≠１
１－
评分细则 本题第三问若考生引入高斯函数来表示余数及整数部分 只要过程严谨合理均酌情给分．
【 】: ,
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【 ６ ( ６ )】
