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2024年北京高考数学
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设函数 .已知 ， ，且 的最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总
数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，
生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ， ，该棱锥的高
为（ ）.
A．1 B．2 C． D．9．已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是平面直角坐标系中的点集.设 是 中两点间距离的最大
值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
11．抛物线 的焦点坐标为 ．
12．在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.若 ，则 的
最大值为 ．
13．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为 ．
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形
状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛
量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
15．设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 ，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ， ．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并
整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6
万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数
学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和 的直线 与椭圆 的另一个交点
为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
20．设函数 ，直线 是曲线 在点 处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
21．已知集合 ．给定数列 ，
和序列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作 ；
……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符合条件
的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相等”的充
要条件为“ ”．
