2024届2月份福建质检数学解析版(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_2024届福州高三2月市质检数学试题+答案

（在此卷上答题无效） 2023～2024 学年福州市高三年级 2 月份质量检测 数 学 试 题 （完卷时间120分钟；满分150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A x x1  ,B1,1，则AUB A. ,1  B. ,1 C. 1 D. 1,1 【答案】A 【解析】集合A包含所有小于1的实数，B包含1和1两个元素，所以AUB x x„1  . 2. 已知点A2,2在抛物线C:x2 2py上，则C的焦点到其准线的距离为 1 A． B．1 C．2 D．4 2 【答案】B 【解析】将点A2,2代入x2 2py，可得 p1，故C的焦点到其准线的距离为1. 3. 已知e ，e 是两个不共线的向量，若2e e 与e e 是共线向量，则 1 2 1 2 1 2   A. 2 B.2 C. 2 D.2   【答案】D 【解析】依题意，设2e e =te e ，又e ，e 是两个不共线的向量， 1 2 1 2 1 2 所以t2,t，所以2. 4.在△ABC中，AB2，AC 4，BC 2 7，则△ABC的面积为 A.2 B.2 3 C.4 D. 4 3 【答案】B AB2 AC2 BC2 1 【解析】由余弦定理得，cosA  ，所以A120， 2ABAC 2 1 所以S  ABACsinA2 3 . △ABC 2 5.设函数 f x3a2x在区间 1,2 上单调递减，则a的取值范围是 A. ,2  B. ,4  C.  2, D.  4, 【答案】D 【解析】函数y3x在R上单调递增，而函数 f x3a2x在区间 1,2 上单调递减， 1所以y 2xa 在区间 1,2 单调递减，所以 a 2，解得a 4.故选D. 2 6.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边AD和BC 上，则该 椭圆的离心率为 2 31 51 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【答案】C x2 y2 b2 【解析】不妨设椭圆方程为  1ab0，当xc时，y ，所以 a2 b2 a 2b2 2b2 |AB|2c,|BC| ，因为四边形ABCD为正方形，所以2c ，即b2ac，所以 a a a2 c2 ac，所以e2 e10，解得e 1 5 ，因为e0,1，所以e 51 . 2 2 7.甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z% 的人患了流感，且x,y,z构成以1为公差的等 差数列.已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患 了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为 A.1.21 B.1.34 C.1.49 D.1.51 【答案】D 【解析】设事件D ,D ,D 分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件F,F ,F 分别为“此 1 2 3 1 2 3 人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件G为“此人患了流感”. 5x 3x3 2x4 10x7 由题可知，PF  ，PF  ，PF  ，PGPF F F  ， 1 1000 2 1000 3 1000 1 2 3 1000 所以P  D G  5x ，P  D G  3x3 ，P  D G  2x4 ，因为此人患了流感来自 1 10x7 2 10x7 3 10x7 5x 3x3, 3 甲地区的概率最大，所以 解得x ，故选D. 5x 2x4, 2 8.已知函数 f  x 及其导函数 f x 的定义域均为R，记g  x  f x  .若g  x2 的图象关于 点 2，0 对称，且g  2x g 2x1 g  12x ，则下列结论一定成立的是 2024 2024 A. f  x  f  2x  B.g  x g  x2  C. g  n 0 D.  f n0 n1 n1 【答案】C 【解析】因为g  x2 的图象关于点 2，0 对称，所以g  x 的图象关于原点对称，即函数g  x  为奇函数，则g00，又g  2x g 2x1 g  12x ，所以g  2x g  2x1 g  2x1 ， 所以g  t1 g  t g  t1 0，所以g  t g  t1 g  t2 0， 所以g  t1 g  t2 ，所以g  t g  t3 ，即g  x g  x3 ， 2024 2024 2025 所以3是g(x)的一个周期；因为g  n g  n    g  0 g  1 g  2   0，故C 3 n1 n0 正确； 22 2 2 取符合题意的函数 f xcos x，则gx fx sin x， 3 3 3 2  3 所以g00，又g02 sin  g0，故2不是g(x)的一个周期, 所以 3 3 3 g  x g  x2 ，排除B； 2 1 因为 f  1 cos  不是函数 f  x 的最值，所以函数 f  x 的图象不关于直线x1对称， 3 2 2024 2024 2 所以 f  x  f  2x ，排除A；因为 f n cos n10，所以排除D. 3 n1 n1 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0分。 9.已知等差数列a 的前n项和为S ，a 4，S 35，则 n n 2 5 A.na 的最小值为1 B.nS 的最小值为1 n n S  a  C. n为递增数列 D. n为递减数列  n  n2 【答案】ABC 5a a  【解析】假设a 的公差为d，由S  1 5 5a 35，所以a 7，又a 4， n 5 2 3 3 2 n3n1 所以d 3，a 1，所以a 3n2，S  . 1 n n 2 2  1 1 选项A：na n3n23n   ，故n1时na 的最小值为1，A正确； n  3 3 n 3 1 3 1 9 选项B：nS  n3  n2，令 f x x3 x2，所以 fx x2 x，可知 f x在区间 n 2 2 2 2 2 2   , 单调递增，所以n1时nS 取得最小值1，B正确； 9  n S 3 1 S  选项C： n  n ，故 n为递增数列，C正确； n 2 2  n  a 2 3 a a a  选项D： n   ，因为 1 1， 2 1，所以 n不是递减数列，D错误. n2 n2 n 1 22 n2 10.在长方体ABCD ABC D 中，AB2，AA  AD1，E为AB 的中点，则 1 1 1 1 1 A.AB  BC B.AD平面EBC 1 1 1 1 3 5 C.点D到直线AB的距离为 D.点D到平面EBC 的距离为 3 1 5 1 【答案】BC 【解析】 如图建立空间直角坐标系Dxyz，易知D0,0,0， A 1,0,1，B1,2,0，B 1,2,1，C0,2,0，E1,1,0. 1 1 3  选项A，AB0,2,1，BC 1,0,1， 1 1   ABBC 0,2,11,0,110，所以A错误； 1 1 选项B，显然ADBC ，可得AD平面EBC ， 1 1 1 1 所以B正确； uuur 选项C，记直线A 1 B 的单位方向向量为u，则u u A A u1u B B r      0, 2 5 5 , 5 5    ，又 u A u 1 u D r 1,0,1， 1       2 1 所以向量AD在直线AB上的投影向量为AQ ADu u0, ,  ， 1 1 1 1  5 5  2  2 3 5 则有D到直线AB的距离为DQ AD  AQ  ，故C正确； 1 1 1 5   选项D，设平面EBC 的法向量为m x,y,z，由BC 1,0,1，BE 0,1,1， 1 1 1 uuur uuur DCm 2 3 可求得m 1,1,1，又DC0,2,0，所以点D到平面EBC 的距离d   ， 1 m 3 故D错误. 11.通信工程中常用n元数组a ,a ,a ,L,a 表示信息，其中a 0或1（i,nN*,1 „i„n）. 1 2 3 n i 设ua ,a ,a ,L,a ,vb,b ,b ,L,b ，du,v表示u和v中相对应的元素（a 对应b ， 1 2 3 n 1 2 3 n i i i1,2,K,n）不同的个数，则下列结论正确的是 A.若u0,0,0,0,0，则存在5个5元数组v，使得du,v1 B.若u1,1,1,1,1，则存在12个5元数组v，使得du,v3 C.若n元数组w(0,0,L,0)，则du,wdv,wdu,v 144424443 n个0 D.若n元数组w(1,1,L,1)，则du,wdv,wdu,v 1442443 n个1 【答案】ACD 【解析】 选项A：满足条件的数组共有C1 5个，故A正确； 5 选项B：满足条件的数组共有C3 10个，故B错误； 5 选项C：设u,v中对应项同时为0的共有m0mn个，同时为1的共有s0snm个， 从而对应项一项为1与另一项为0的共有nms个，这里nms，从而 du,vnms，而du,wdv,w2snmsd u,v2sd u,v，故C正确， 同理D正确. 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是2,1，则iz___________. 【答案】12i 【解析】依题意可知z2i，所以izi2i12i. 13.底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 3 4的圆锥，所得的圆台的侧面积为 . 【答案】6 【解析】由已知可得圆台的上底面半径r1，下底面半径r2，母线长l 2，则该圆台的 侧面积为rrl1226. 14.在平面直角坐标系xOy中，整点P（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线PA， PB与eC:x22  y2 4分别切于A，B两点，与y轴分别交于M ，N 两点，则使得△PMN 周长为2 21的所有点P的坐标是_________. 【答案】1,4或2,3 【解析】因为直线PA，PB分别与eC:x22  y2 4相切于A，B两点，且直线PA，PB 分别与y轴交于M,N 两点，所以 PA  PB, AM  OM , BN  ON ， 所以△PMN 的周长为 PM  MN  PN  PM  OM  ON  PN  PM  AM  BN  PN   PA  PB 2 PA 2 PC 2 AC 2 2 PC 24 2 21 ， 所以 PC 5，设Px ,y ,x 0，y 0，所以x 22  y 2 25，因为P为整点，所以点 0 0 0 0 0 0 P的坐标为1,4或2,3 . 备注：只写出一个点坐标不得分. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（13分）    已知函数 f xsinx  03，x 是 f x的零点.  4 8 （1）求的值；   1  （2）求函数y f x  f  x  的值域.  8 2 8    【解析】（1）由已知可得 f  sin  0，········································ 1分 8 8 4   解得  k,kZ，············································································3分 8 4 即28k,kZ，··················································································4分 又03，可得2.·············································································5分   （2）由 f xsin2x  ，可得  4   1  y f x  f  x   8 2 8 5  sin2x sinx  2 cos2xsinx   12sin2x  sinx 2  1 9 2sinx   ，··················································································8分  4 8 其中1sinx1， 1 9 则当sinx 时取得最小值 ，sinx1时取得最大值2，····························12分 4 8   1   9  故函数y f x  f  x  的值域为   ,2  .········································ 13分  8 2 8  8  16.（15分） 如图，四棱锥SABCD 的底面为正方形，平面SAD平面ABCD，E在SB上，且AE  BC. （1）证明：SA平面ABCD； （2）若SA AB2，F 为BC的中点，且EF  3，求平面 AEF与平面SAD夹角的余弦值. 【解法一】 （1）因为BC  AB,BC  AE,AE IAB A ， 所以BC平面SAB，····························································································· 又SA平面SAB，所以BC SA，···········································································3分 又BCPAD，所以SA AD，··················································································4分 又平面SAD平面ABCD，平面SADI平面ABCD AD，SA平面SAD， 所以SA平面ABCD.····························································································6分 （2）由（1）得BC平面SAB，又SB平面SAB，所以BC SB，······························7分 因为BF 1,EF  3，所以BE  2，·······································································8分 因为SA平面ABCD，AB平面ABCD，所以SA AB， 1 又SA AB2，所以SB2 2，所以BE  SB，······················································9分 2 由（1）知SA,AD,AB两两垂直， 如图，以点A为原点，分别以AB ，AD，AS所在直线 为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A0,0,0,S(0,0,2),B(2,0,0),E1,0,1,F 21,0.·························································10分 , uuur uuur 所以AE1,0,1，AF 2,1,0，··········································································· 显然平面SAD的一个法向量n 1,0,0，································································· 1 uuur  n  AE, 设平面AEF的法向量为n (x,y,z)，则 2 uuur 2 n  AF, 2 uuur  n AE  xz0, 即 2 uuur 取x1，则n 1,2,1，····················································· 2 n AF 2x y0, 2 6n n 1 6 所以cos n ,n  1 2   ，·····································································14分 1 2 n  n 6 6 1 2 6 设平面AEF 与平面SAD的夹角为，则cos cos n ,n  ， 1 2 6 6 所以平面AEF与平面SAD夹角的余弦值为 .························································15分 6 【解法二】 （1）因为BC  AB,BC  AE,AE AB A ，所以BC平面SAB，·································2分 又SA平面SAB，所以BC SA，···········································································3分 因为平面ABCD平面SAD，平面ABCD平面SAD AD，AB AD， AB平面ABCD，所以AB平面SAD，又SA平面SAD，所以ABSA，···················5分 又BCABB，BC平面ABCD，AB平面ABCD， 所以SA平面ABCD.····························································································6分 （2）由（1）知SA,AD,AB两两垂直，如图，以点A为原点，分别以AB ，AD，AS所在 直线为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S0,0,2,B2,0,0,F2,1,0.··················7分      设SE SB01，则AE ASSE0,0,22,0,22,0,22，    所以EF  AFAE2,1,02,0,2222,1,22，······································9分 1 3 由EF  3，得 222 1222  3 ，解得 ，或 （舍去）， 2 2 所以E1,0,1，····································································································10分 uuur uuur 所以AE1,0,1，AF 2,1,0，··········································································· 显然平面SAD的一个法向量n 1,0,0，································································· 1 uuur  n  AE, 设平面AEF的法向量为n (x,y,z)，则 2 uuur 2 n  AF, 2 uuur  n AE  xz0, 即 2 uuur 取x1，则n 1,2,1，····················································· 2 n AF 2x y0, 2 n n 1 6 则cos n ,n  1 2   ，········································································14分 1 2 n  n 6 6 1 2 6 设平面AEF与平面SAD的夹角为，则cos cos n ,n  ， 1 2 6 6 所以平面AEF与平面SAD夹角的余弦值为 .··························································15分 6 17.（15分） 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特 征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 7外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 （1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取 1人担任志愿者.设这三人中性格外向型的人数为X ，求X 的数学期望． （2）对表格中的数据，依据0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两 种性格特征与人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检 验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否 一致？请说明理由. nad bc2  0.1 0.05 0.01 附：参考公式：2  . abcdacbd x 2.706 3.841 6.635  【解法一】 3 （1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比 4 2 3 为 ，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一 3 4 2 人为外向型女生的概率是 .···················································································· 2分 3 则X 的所有可能取值为0，1，2，3. ·········································································3分 2 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 则PX 0    ，PX 1C1        ， 4 3 48 2 4 4 3 4 3 6 2 2 3 1 3 1 2 21 3 2 3 PX 2   C1     ，PX 3    ，······························· 7分 4 3 2 4 4 3 48 4 3 8 1 1 21 3 13 所以EX0 1 2 3  .·······························································8分 48 6 48 8 6 （2）零假设为H ：这两种性格特征与人的性别无关联.················································9分 0 由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知 9004501001502002 90 2   6.9232.706x ···········································13分 600300650250 13 0.1 依据0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不 一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结 论发生了变化.·····································································································15分 【解法二】 3 （1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比 4 2 3 为 ，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一 3 4 2 人为外向型女生的概率是 .···················································································· 2分 3 8从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y ；从该校女生中随机抽取1人， 1  3  2 抽到性格外向型的人数记为Y ，则Y :B2, ,Y :B1,  ，·······································4分 2 1  4 2  3 3 3 2 2 所以EY2  ，EY 1  ，··································································6分 1 4 2 2 3 3 3 2 13 所以EXEY Y EY EY    .························································8分 1 2 1 2 2 3 6 （2）略，同解法一. 18.（17分） y2 已知双曲线 W :x2  1 ，A3,0，动直线 l: xmy30与x轴交于点B，且与W 8 交于C，D两点，t CD 是 BC ， BD 的等比中项，tR． （1）若C，D两点位于y轴的同侧，求t取最小值时△ACD的周长； （2）若t 1，且C，D两点位于y轴的异侧，证明：△ACD为等腰三角形． 【解法一】 （1）因为动直线l: xmy30与x轴交于点B  3,0 ，因为W :x2  y2 1的右焦点为3,0， 8 所以点B为W 的右焦点. 设 BC  p， BD q， 因为C,D两点位于 y 轴的同侧，所以 CD  pq， 因为t CD是 BC，BD 的等比中项，所以 t CD 2  BC  BD ，·······························2分 pq pq 1 所以 t2   pq 2 „  2 pq 2  4 ，当且仅当 pq时取等号，所以t min  1 2 ，···················4分 1 当t 时 pq，所以 AC 2 p2q AD ，所以l  x轴，··································5分 2 x3, 由 解得y8， 8x2  y2 8, 所以 BC  BD 8，所以 CD 16，·································································6分 由双曲线的定义得 AC 10， 所以 AC  AD  CD 10101636， 即△ACD的周长为36.····················································································8分 （2）设C  x,y ，D  x ,y ， 1 1 2 2 由   xmy30, 得  8m2 1  y2 48my640， 8x2  y2 8, 因为直线l与W 交于C，D两点，  8m2 10, 48m 64 所以 且y  y  ，y y  ，····························10分  256  m2 1  0, 1 2 8m2 1 1 2 8m2 1 9 2 由t 1，可得 BC  BD  CD 2，故 1m2 y  1m2 y  1m2 y  y ， 1 2 1 2 又C,D两点位于 y轴的异侧，所以y y 0，所以y y  y y 2，即5y y  y y 2， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 64  48m 2 5 所以5   ，解得m2  ，····················································13分 8m2 1  8m2 1 4 所以y y  64 ，所以 CD 2  BC  BD   1m2 yy   1 5   64 16， 1 2 9 1 2  4 9 所以 CD 4，·····························································································15分  BC  AC 2，  4 BD  AC 2， 不妨设点C在第二象限，根据双曲线定义，得 ，即  AD  BD 2，  AD  BD 2， 解得 AC  AD ，所以△ACD是等腰三角形. ····················································17分 【解法二】 （1）设Cx ,y ,Dx ,y  1 1 2 2 由   xmy30, 得  8m2 1  y2 48my640， 8x2  y2 8, 因为直线l与W 交于C，D两点，  8m2 10, 48m 64 所以 且y  y  ，y y  ，·····································2分  256  m2 1  0, 1 2 8m2 1 1 2 8m2 1 64 1 由C,D两点位于 y 轴的同侧，可得y y  0，解得m2  ， 1 2 8m2 1 8 又t CD是 BC，BD 的等比中项，故可得 BC  BD t2 CD 2，  2 故 1m2 y  1m2 y t2 1 m2 y  y ， 1 2 1 2 64  即t2  y 1 y 2  8m2 1  1 18m2 ，············································ 5分 y  y 2  48m  2 64 4 m2 1 1 2   4  8m2 1 8m2 1 1 118m2  1 9  又0m2  ，故t2     8 ， 8 4 m2 1  4 m2 1 1 1 1 1 可得0t2  ,即 t 且t 0，所以t  ，·················································· 6分 4 2 2 min 2 1 x 3, 当t 即m0时，所以l  x轴，由 解得y8， 2 8x2  y2 8, 所以 BC  BD 8，所以 CD 16， 又 AB 6，所以 AC  82 62 10， 所以 AC  AD  CD 10101636， 即△ACD的周长为36.····················································································8分 1064 1 （2）因为C,D两点位于y轴的异侧，故y y  0，所以m2  ， 1 2 8m2 1 8 1 18m2 18m2 1 且由（1）知t2    1， 4 m2 1 4 m2 1  5 5 解得m 或m ，·····················································································12分 2 2 当m 5 时，设CD的中点E的坐标为x ,y ，y  y 1  y 2  4 5 ， 2 E E E 2 3 5 5 4 5 1  1 4 5 x E  2 y E 3 2  3 3 3 ，所以点E的坐标为    3 ， 3    ，························13分 5 4 5 5  1 又CD的垂直平分线的斜率为 ，所以CD的垂直平分线方程为y  x  ， 2 3 2  3 5 3 5 即y x ，······························································································15分 2 2 又点A 3,0 在直线y 5 x 3 5 上，所以 AC  AD ，即△ACD为等腰三角形． 2 2 5 当m 时，同理可证，△ACD为等腰三角形． 2 综上所述，△ACD为等腰三角形．··········································································17分 19.（17分） 已知函数 f xxlnxx2 1. （1）讨论 f x的单调性； 1 2 （2）求证： f xex   1； x2 x （3）若 p 0，q0且 pq1，求证： f p f q4. 【解法一】 （1） f x的定义域为0,，·············································································· 1分 fxlnx2x1，····························································································· 2分 1 12x 记tx fx，tx 2 ， x x  1 1  当x0,  时，tx0，tx单调递增；当x , 时，tx0，tx单调递减.···· 3分  2 2  1 所以tx t ln20，即 fx0，·····························································4分 max 2 所以 f x在区间0,上单调递减.·········································································5分 （2）先证 f x „ x1，记gx f xx1，则gxxlnxx2 xxlnxx1， 1 记mxlnxx1，则mx 1，所以x0,1时，mx0，mx递增； x x1,时，mx0，mx递减. 所以mx m10，所以mx „0，又x0，所以gx „0，故 f x „ x1. max 11··························································································································8分 1 2 1 2 1 2 再证ex   1x1，即证ex   x0，记hxex   x， x2 x x2 x x2 x 2 1  则hxex x1 1 ex x1， x  记 pxex x1，则 px1ex 0，所以 px在x0,递增， 1 2 所以 px p00，所以hx0，即ex   1x1， x2 x 1 2 所以 f xex   1.···················································································· 11分 x2 x （3）由（2）知mxlnxx1的最大值为0. 因为 p 0，q0且 pq1，则 p，q之中至少有一个大于1，·····································12分 1 1 不妨设 p1，则q 0，由（1）可知 f x为减函数，所以 f q f  ， p  p 1 所以 f p f q f p f  ，··········································································14分  p 2 2 1 1 1 1  1  1 因为 f p f   plnp p21 ln   1 p ln pp  4  p p p  p  p  p  1 1 1 1 1 p lnp p 4，记splnp p ，则spmp 1„ 1 0，  p p p p p 1 1 因为 p1，所以 p ，所以 f p f  4，所以 f p f q4.······················17分 p  p 【解法二】 （1）略，同解法一.······························································································· 5分 （2）构造函数hxex x1x0，hxex 1， 当x0时，hx0，hx单调递增，hxh00，所以ex  x1，························6分 1 构造函数φxlnxx1，φx 1， x 当x0,1时，φx0，φx单调递增；当x1,时，φx0，φx单调递减.········· 所以φx φ10，即φx0，即lnxx1成立. ·············································7分 max 所以 f xxlnxx2 1xx1x2 1x1，······················································8分 1 2 1 2 1 2 所以ex   1x1  1   x ，····················································9分 x2 x x2 x x2 x 2 1 2 1 2 1  则只需证明  xx1，即  10，而  1 0显然成立，·····················10分 x2 x x2 x x  1 2 所以 f xex   1.···················································································· 11分 x2 x （3）先证 f x „ x1，记gx f xx1，则gxxlnxx2 xxlnxx1， 1 记mxlnxx1，则mx 1，所以x0,1时，mx0，mx递增； x 12x1,时，mx0，mx递减.······································································13分 所以mx m10，所以mx „0，又x0，所以gx „0，故 f x „ x1. max ························································································································ 14分 所以 f p „  p1， f q „ q1， 因为 p 0，q0且 pq1， 所以 f p f qpq2，·············································································· 15分 所以 pq 2 pq 212，所以pq2，则 f p f q224. ························································································································ 17分 13