上海市宝山区2024届高三下学期二模试题数学Word版含答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届上海市宝山区高三下学期二模试题

2023 学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），
要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 抛物线x2 4y的焦点坐标为______.
 
2. 已知tan3，则tan _______.
 4
 
3. 将 a2 a 其中a0 化为有理数指数幂的形式为_______.
4. 已知向量a  2m,2  ，b  1,m1  ，若ab 10，则实数m .
5. 设实数x、y满足  x yi  i24i  x yi  1i  i为虚数单位，则x y  .
6. 有一组数从 ． 小 ． 到 ． 大 ． 排列为：3，5，x，8，9，10. 若其极差与平均数相等，则这组数
据的中位数为_______.
 
7. 已知集合A 2，a1,a3 ，且1A，则实数a的值为 .
n
8. 在数列  a  中，a 2,且a a lg  n2  ，则a _______.
n 1 n n1 n1 100
9. 某公司为了了解某商品的月销售量 y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之
间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
月销售单价x（元/件） 10 15 20 25 30
月销售量 y（万件） 11 10 8 6 5

由表中数据可得回归方程 y axb中a 0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月
销售量为 万件.
x2 y2
10. 已知双曲线  1  a0,b0 ，以双曲线的右顶点A为圆心，b为半径作圆，圆A
a2 b2
与双曲线的一条渐近线交于M、N 两点，若MAN 60，则双曲线的离心率为_______.
11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探
照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地A A B B ；
1 n n 1
假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；
假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯M 以某一俯角从A A 侧扫描到B B 侧时，记为一次扫描，此过程中照射
k k1 k k1
 
在地面上的光斑形成一个扇环S k 1,2,3,... . 由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成
k
扇环S 、S 、S L .
1 2 3
第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，|OE|30米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯
角为30（如下右图）.记| A A |d ，经测量知| AA |80米，且{d }是公差约为0.1米
k k1 k 1 n k
的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
    
12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：ab2，|b|1，且存在实
   
数t，使得|a|2|atb|0成立，则由a构成的空间几何体的体积是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），
每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结
论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.
13. 已知a b0，则 （ ）.
1 1
A．a2 b2 B．2a 2b C．a2 b2 D．log alog b
1 1
2 2
14. 已知随机变量X 服从正态分布N  0，2  . 若P  X a  5 ，则P  X a  （ ）.
6
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
15. 已知直线l、m、n与平面、，则下列命题中正确的是 （ ）.
A．若//，l ，n，则l//n B．若，l ，则l 
C．若l ，l//，则 D．若l n，mn，则l//m
 
16. 数列 a 中，S 是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S a ，
n n n m
 
则称数列 a 为“某数列”. 现有如下两个命题：
n
 
①等比数列 2n 为“某数列”；
     
②对任意的等差数列 a ，总存在两个“某数列” b 和 c ，使得a b c .
n n n n n n
则下列选项中正确的是 （ ）.
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知sin2 Asin2C sin2 Bsin AsinC
.
（1）求角B的大小；
（2）若ABC的面积为 3，求ac的最小值，并判断此时ABC的形状.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知点P在圆柱OO 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径.
1
（1）求证：BP  AP；
1
（2）若OA2,BOP 60,圆柱的体积为16 2，求异面直线AP与AB所成角的
1
大小.
19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则
1
得0分. 已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为
2
1 3
，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，则该
2 5
2
次投进的概率为 .
5
(1) 求甲投篮3次得2分的概率；
(2) 若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；
(3) 比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
y2
已知双曲线x2  1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上，
2
O为坐标原点.
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若PAPB9,求 OP 的取值范围；
（3）椭圆C的长轴长为2 2，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一
个交点为Q．记POA、QAB的面积分别为S 、S . 求S 2 S 2的最小值，并写出取
1 2 1 2
最小值时点P的坐标.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
函数 y g(x)的表达式为g(x)sin(x) 0  .

（1）若1，直线l与曲线y  g(x)相切于点( ,1)，求直线l的方程；
2
（2）函数 y g(x)的最小正周期是2，令h(x) xg(x)lnx，将函数y h(x)的零
点由小到大依次记为x ,x ,,x ,(n1,nN)，证明：数列{sinx }是严格减数列；
1 2 n n
（3）已知定义在R上的奇函数y  f(x)满足 f(x2a)f(x)  a 0 ，
对任意x[0,2a]，当x  a时，都有 f(x) f(a)且 f(a)1.
1
记F(x) f(x)g(x)，G(x) f(x)g(x ).
2
当 时，是否存在x、x R，使得F(x )G(x )4成立？若存在，求出符合
1 2 1 2
题意的x、x ；若不存在，请说明理由.
1 2参考答案
1 5
 
1. 0,1 2. 3.a4 4.2 5. 2 6.7.5
2
2 3 8
7.0 8. 4 9. 1.6 10. 11.15 12.
3 9
      
12.解：由已知得|a|24|atb|2，所以3|a|2 8tab4t2 |b|20
  4
所以存在实数t，使得不等式4t2 16t3|a|20有解，则0，解得|a|
3
    
又因为ab2且|b|1，所以a在b方向上的数量投影是2，

所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母
4
线长为 的圆锥（如图）
3
 1  2  2 8
故由a构成的空间几何体的体积 
 
2
3  3 9
13. A 14. A 15.C 16.C
17.解：（1）由正弦定理得a2 c2 b2 ac..........................2分
a2 c2 b2 ac 1
又由余弦定理得cosB    ...............................4分
2ac 2ac 2

因为B是三角形内角，所以B  ....................................6分
3
（2）由三角形面积公式
1 1  3
S  acsinB  acsin  ac  3..........................8分
ABC
2 2 3 4
得ac 4.........................10分
因为ac2 ac 4，当且仅当a c2时取等号，........................12分
所以ac的最小值为4，此时ABC为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱OO 中，易知AB 圆O，从而AP是AP在圆O上的投影.....2分
1 1
又AB为圆O的直径，可得BP  AP.......................4分
由三垂线定理，就得BP  AP.......................6分
1
（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ、AQ、AQ，
1
易知BQ// AP，ABQ（或其补角）即为所求的角..........................8分
1
由题知V OA2AA 4AA 16 2
1 1
解得AA 4 2.................................10分
1
ABQ中，QB 2 3,AQ 6,AB 4 3
1 1 1
由余弦定理得
124836 1
cosABQ   .......................13分
1 22 34 3 2
从而ABQ 60
1
所以异面直线AP与AB所成角的大小为60................................14分
1
2
1  1 3
19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率 pC1 1  
3 2  2 8
.................3分
（2）由题意知X 的所有可能取值为0,2,4,6
1 3 3 9
则 PX 0    .................4分
2 5 5 50
1 2 3 1 2 2 1 3 2 8
PX 2          .................5分
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
1 3 2 1 2 2 1 2 3 8
PX 4          .................6分
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
1 3 3 9
PX 6    .................7分
2 5 5 50
 0 2 4 6 
 
随机变量X 的分布为 9 8 8 9 ..................8分
 
50 25 25 509 8 8 9
期望EX0 2 4 6 3.................9分
50 25 25 50
（3）设甲三次投篮的得分Y，则Y=0,2,4,6
0 2 4 6
 
可求得随机变量Y的分布为 1 3 3 1
 
8 8 8 8
1 3 3 1
所以E  Y 0 2 4 6 3.............11分
8 8 8 8
1 3 3 1
D  Y 02 22 42 62 32 3...........12分
8 8 8 8
9 8 8 9 97
又可算得D  X 02 22 42 62 32  .......13分
50 25 25 50 25
       
因为E X  E Y ， D X  D Y
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分
另解：设甲三次投篮的次数为，0,1,2,3
1 3
 
则E 3 
2 2
     
设甲的投篮得分为Y ，则Y 2， 从而E Y  E 2 2E 3
20.解：（1）两条渐近线方程为 2x y 0.............................1分
   
n  2,1,n  2,1
1 2
21 1
设两条直线夹角为，则cos  ........................2分
3 3 3
1
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ...............................3分
3
（2）设P  x ,y  ,  x 1,y 0  ，由已知得A  1，0 、B  1,0  ..................4分
1 1 1 1
PA   1x ,y  ，PB   1x ,y  ，则PAPB  x 2 1 y 2 9
1 1 1 1 1 1
得 x 2  y 2 10..............................6分
1 1y 2  
又点P在双曲线上，有x 2  1 1即 y 2 2 x 2 1
1 2 1 1
 
从而x 2 2 x 2 1 10 得x 2 4.
1 1 1
又点P是双曲线在第一象限的点，所以x 2  1,4  .
1
OP 2  x 2  y 2  x 2 2  x 2 1  3x 2 2  1,10 
1 1 1 1 1
 
所以 OP  1，10 ................................9分
y2
（3）椭圆C中a  2,b1，焦点在 y轴上，标准方程为 x2 1..................10分
2
     
设Q x ,y , x 0,y 0 ，直线AP的斜率为k, k 0
2 2 2 2
 
则直线AP的方程为 y k x1
 
y k x1

联立方程组y2 得

x2 1
 2
 
2k2 x2 2k2xk2 20
2k2 2k2
该方程的两根分别为1和x  同理可得x 
2 2k2 1 2k2
所以x x 1.........................12分
1 2
1 y 1
记S  S  1y  1 S  S  2y  y ..........................13分
1 POA 2 1 2 2 QAB 2 2 2
y 2 1     1 5
则S 2 S 2  1  y 2  2 x 2 1 21x 2  x 2 2x 2 
1 2 4 2 4 1 2 2 1 2 2
 x 2 2  5 5 1
 1   2 1 
  2 x 2   2 2 2
1x 2 2
当且仅当 1  即x 2 2时取等号，.....................15分
2 x 2 1
1
1  
所以S 2 S 2的最小值为 ，此时点P的坐标为 2，2 .................16分
1 2 2
y y
另解:k  1 ,k  2
AP x 1 AQ x 1
1 2
2 2
y y  y   y 
因为k k ，所以 1  2 即 1   2 
AP AQ x 1 x 1   x 1     x 1  
1 2 1 2
   
又 y 2 2 x 2 1 ，y 2 21x 2 ，代入上式化简得
1 1 2 2
x 1 1x
1  2 ，整理得x x 1
x 1 x 1 1 2
1 2
21.解（1）1时，g(x)sinx,则g'(x)cosx..................1分
 
从而k  g'( )cos 0..................3分
2 2
所以直线l的方程是 y 1..................4分
2
（2）由 2，可知1，则h(x) xsinxlnx（x 0），.......................5分

lnx
当h(x)0时sinx .......................6分
x
lnx
① 当0 x1时，sinx0, 0，此时函数 yh(x)没有零点；.....................7分
x
② 当x1时，
lnx 1lnx lnx
因为( )' ，可知 y 在  1,e  上严格增，在[e,)严格减
x x2 x
 
又 y sinx在[1, ]上严格增，在[ ,e]严格减，
2 2
所以x[1,e]时， y sinx在xe时有最小值sine，
lnx lne 1
y  在xe时有最大值 
x e e1 lnx
因为sine 所以sinx 在[1,e]上没有交点，
e x
即h(x) xsinxlnx在[1,e]上没有零点.......................9分
所以函数 y h(x)的零点x 满足e x  x  x ，.
n 1 2 n
lnx lnx lnx lnx
因为 y 在[e,)严格减，所以 1  2  n .
x x x x
1 2 n
lnx
又因为sinx  n ，所以数列{sinx }是严格减数列........................10分
n x n
n
（3）因为 f(x)f(x2a)f(x4a)  f(x4a)，
所以 y  f(x)是以4a为周期的周期函数.................11分
因为任意x[0,2a]，当x  a时，都有 f(x) f(a)且 f(a)1，
所以当x a时， y  f(x)在[0,2a]上有唯一的最大值1...............................12分
由得g(x)sinx，F(x) f(x)sinx, G(x) f(x)cosx................13分
假设存在x、x R，使得F(x )G(x )4成立，
1 2 1 2
即 f(x )sinx  f(x )cosx 4成立
1 1 2 2
故，当x a4ka  kZ 时， f(x )取得最大值1；
1 1

当x  2m  mZ 时，sinx 取得最大值1
1 2 1
 4m1
由a4ka 2m，可知a  ①时， f(x )sinx  2...................15分
2 8k2 1 1 max
又因为 y  f(x)是奇函数，所以当x a时， f(x)在[2a，0]上有唯一的最小值1
故，当x a4na  kZ 时， f(x )取得最小值1；
2 2
当x 12t  tZ 时，cosx 取得最小值1
2 2
2t1
由a4na12t，可知a ②时 f(x )cosx  2.....................17分
4n1 2 2 min
若 f(x )sinx  f(x )cosx 4成立，
1 1 2 2
4m1 2t1
则由①②得  ，即(4m1)(4n1)(2t1)(8k 2)
8k2 4n1
因为m,n,k,tZ，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分