上海市宝山区2024届高三下学期二模试题数学Word版含答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届上海市宝山区高三下学期二模试题

2023 学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）， 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 抛物线x2 4y的焦点坐标为______.   2. 已知tan3，则tan _______.  4   3. 将 a2 a 其中a0 化为有理数指数幂的形式为_______. 4. 已知向量a  2m,2  ，b  1,m1  ，若ab 10，则实数m . 5. 设实数x、y满足  x yi  i24i  x yi  1i  i为虚数单位，则x y  . 6. 有一组数从 ． 小 ． 到 ． 大 ． 排列为：3，5，x，8，9，10. 若其极差与平均数相等，则这组数 据的中位数为_______.   7. 已知集合A 2，a1,a3 ，且1A，则实数a的值为 . n 8. 在数列  a  中，a 2,且a a lg  n2  ，则a _______. n 1 n n1 n1 100 9. 某公司为了了解某商品的月销售量 y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之 间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价x（元/件） 10 15 20 25 30 月销售量 y（万件） 11 10 8 6 5  由表中数据可得回归方程 y axb中a 0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月 销售量为 万件. x2 y2 10. 已知双曲线  1  a0,b0 ，以双曲线的右顶点A为圆心，b为半径作圆，圆A a2 b2 与双曲线的一条渐近线交于M、N 两点，若MAN 60，则双曲线的离心率为_______. 11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探 照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地A A B B ； 1 n n 1 假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米； 假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆. 当探照灯M 以某一俯角从A A 侧扫描到B B 侧时，记为一次扫描，此过程中照射 k k1 k k1   在地面上的光斑形成一个扇环S k 1,2,3,... . 由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成 k 扇环S 、S 、S L . 1 2 3 第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，|OE|30米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯 角为30（如下右图）.记| A A |d ，经测量知| AA |80米，且{d }是公差约为0.1米 k k1 k 1 n k 的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.      12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：ab2，|b|1，且存在实     数t，使得|a|2|atb|0成立，则由a构成的空间几何体的体积是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）， 每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结 论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知a b0，则 （ ）. 1 1 A．a2 b2 B．2a 2b C．a2 b2 D．log alog b 1 1 2 2 14. 已知随机变量X 服从正态分布N  0，2  . 若P  X a  5 ，则P  X a  （ ）. 6 2 1 1 1 A． B． C． D． 3 2 3 6 15. 已知直线l、m、n与平面、，则下列命题中正确的是 （ ）. A．若//，l ，n，则l//n B．若，l ，则l  C．若l ，l//，则 D．若l n，mn，则l//m   16. 数列 a 中，S 是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S a ， n n n m   则称数列 a 为“某数列”. 现有如下两个命题： n   ①等比数列 2n 为“某数列”；       ②对任意的等差数列 a ，总存在两个“某数列” b 和 c ，使得a b c . n n n n n n 则下列选项中正确的是 （ ）. A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， 已知sin2 Asin2C sin2 Bsin AsinC . （1）求角B的大小； （2）若ABC的面积为 3，求ac的最小值，并判断此时ABC的形状. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知点P在圆柱OO 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径. 1 （1）求证：BP  AP； 1 （2）若OA2,BOP 60,圆柱的体积为16 2，求异面直线AP与AB所成角的 1 大小. 19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则 1 得0分. 已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为 2 1 3 ，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，则该 2 5 2 次投进的概率为 . 5 (1) 求甲投篮3次得2分的概率； (2) 若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望； (3) 比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） y2 已知双曲线x2  1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上， 2 O为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若PAPB9,求 OP 的取值范围； （3）椭圆C的长轴长为2 2，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一 个交点为Q．记POA、QAB的面积分别为S 、S . 求S 2 S 2的最小值，并写出取 1 2 1 2 最小值时点P的坐标. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 函数 y g(x)的表达式为g(x)sin(x) 0  .  （1）若1，直线l与曲线y  g(x)相切于点( ,1)，求直线l的方程； 2 （2）函数 y g(x)的最小正周期是2，令h(x) xg(x)lnx，将函数y h(x)的零 点由小到大依次记为x ,x ,,x ,(n1,nN)，证明：数列{sinx }是严格减数列； 1 2 n n （3）已知定义在R上的奇函数y  f(x)满足 f(x2a)f(x)  a 0 ， 对任意x[0,2a]，当x  a时，都有 f(x) f(a)且 f(a)1. 1 记F(x) f(x)g(x)，G(x) f(x)g(x ). 2 当 时，是否存在x、x R，使得F(x )G(x )4成立？若存在，求出符合 1 2 1 2 题意的x、x ；若不存在，请说明理由. 1 2参考答案 1 5   1. 0,1 2. 3.a4 4.2 5. 2 6.7.5 2 2 3 8 7.0 8. 4 9. 1.6 10. 11.15 12. 3 9        12.解：由已知得|a|24|atb|2，所以3|a|2 8tab4t2 |b|20   4 所以存在实数t，使得不等式4t2 16t3|a|20有解，则0，解得|a| 3      又因为ab2且|b|1，所以a在b方向上的数量投影是2，  所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母 4 线长为 的圆锥（如图） 3  1  2  2 8 故由a构成的空间几何体的体积    2 3  3 9 13. A 14. A 15.C 16.C 17.解：（1）由正弦定理得a2 c2 b2 ac..........................2分 a2 c2 b2 ac 1 又由余弦定理得cosB    ...............................4分 2ac 2ac 2  因为B是三角形内角，所以B  ....................................6分 3 （2）由三角形面积公式 1 1  3 S  acsinB  acsin  ac  3..........................8分 ABC 2 2 3 4 得ac 4.........................10分 因为ac2 ac 4，当且仅当a c2时取等号，........................12分 所以ac的最小值为4，此时ABC为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱OO 中，易知AB 圆O，从而AP是AP在圆O上的投影.....2分 1 1 又AB为圆O的直径，可得BP  AP.......................4分 由三垂线定理，就得BP  AP.......................6分 1 （2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ、AQ、AQ， 1 易知BQ// AP，ABQ（或其补角）即为所求的角..........................8分 1 由题知V OA2AA 4AA 16 2 1 1 解得AA 4 2.................................10分 1 ABQ中，QB 2 3,AQ 6,AB 4 3 1 1 1 由余弦定理得 124836 1 cosABQ   .......................13分 1 22 34 3 2 从而ABQ 60 1 所以异面直线AP与AB所成角的大小为60................................14分 1 2 1  1 3 19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率 pC1 1   3 2  2 8 .................3分 （2）由题意知X 的所有可能取值为0,2,4,6 1 3 3 9 则 PX 0    .................4分 2 5 5 50 1 2 3 1 2 2 1 3 2 8 PX 2          .................5分 2 5 5 2 5 5 2 5 5 25 1 3 2 1 2 2 1 2 3 8 PX 4          .................6分 2 5 5 2 5 5 2 5 5 25 1 3 3 9 PX 6    .................7分 2 5 5 50  0 2 4 6    随机变量X 的分布为 9 8 8 9 ..................8分   50 25 25 509 8 8 9 期望EX0 2 4 6 3.................9分 50 25 25 50 （3）设甲三次投篮的得分Y，则Y=0,2,4,6 0 2 4 6   可求得随机变量Y的分布为 1 3 3 1   8 8 8 8 1 3 3 1 所以E  Y 0 2 4 6 3.............11分 8 8 8 8 1 3 3 1 D  Y 02 22 42 62 32 3...........12分 8 8 8 8 9 8 8 9 97 又可算得D  X 02 22 42 62 32  .......13分 50 25 25 50 25         因为E X  E Y ， D X  D Y 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分 另解：设甲三次投篮的次数为，0,1,2,3 1 3   则E 3  2 2       设甲的投篮得分为Y ，则Y 2， 从而E Y  E 2 2E 3 20.解：（1）两条渐近线方程为 2x y 0.............................1分     n  2,1,n  2,1 1 2 21 1 设两条直线夹角为，则cos  ........................2分 3 3 3 1 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ...............................3分 3 （2）设P  x ,y  ,  x 1,y 0  ，由已知得A  1，0 、B  1,0  ..................4分 1 1 1 1 PA   1x ,y  ，PB   1x ,y  ，则PAPB  x 2 1 y 2 9 1 1 1 1 1 1 得 x 2  y 2 10..............................6分 1 1y 2   又点P在双曲线上，有x 2  1 1即 y 2 2 x 2 1 1 2 1 1   从而x 2 2 x 2 1 10 得x 2 4. 1 1 1 又点P是双曲线在第一象限的点，所以x 2  1,4  . 1 OP 2  x 2  y 2  x 2 2  x 2 1  3x 2 2  1,10  1 1 1 1 1   所以 OP  1，10 ................................9分 y2 （3）椭圆C中a  2,b1，焦点在 y轴上，标准方程为 x2 1..................10分 2       设Q x ,y , x 0,y 0 ，直线AP的斜率为k, k 0 2 2 2 2   则直线AP的方程为 y k x1   y k x1  联立方程组y2 得  x2 1  2   2k2 x2 2k2xk2 20 2k2 2k2 该方程的两根分别为1和x  同理可得x  2 2k2 1 2k2 所以x x 1.........................12分 1 2 1 y 1 记S  S  1y  1 S  S  2y  y ..........................13分 1 POA 2 1 2 2 QAB 2 2 2 y 2 1     1 5 则S 2 S 2  1  y 2  2 x 2 1 21x 2  x 2 2x 2  1 2 4 2 4 1 2 2 1 2 2  x 2 2  5 5 1  1   2 1    2 x 2   2 2 2 1x 2 2 当且仅当 1  即x 2 2时取等号，.....................15分 2 x 2 1 1 1   所以S 2 S 2的最小值为 ，此时点P的坐标为 2，2 .................16分 1 2 2 y y 另解:k  1 ,k  2 AP x 1 AQ x 1 1 2 2 2 y y  y   y  因为k k ，所以 1  2 即 1   2  AP AQ x 1 x 1   x 1     x 1   1 2 1 2     又 y 2 2 x 2 1 ，y 2 21x 2 ，代入上式化简得 1 1 2 2 x 1 1x 1  2 ，整理得x x 1 x 1 x 1 1 2 1 2 21.解（1）1时，g(x)sinx,则g'(x)cosx..................1分   从而k  g'( )cos 0..................3分 2 2 所以直线l的方程是 y 1..................4分 2 （2）由 2，可知1，则h(x) xsinxlnx（x 0），.......................5分  lnx 当h(x)0时sinx .......................6分 x lnx ① 当0 x1时，sinx0, 0，此时函数 yh(x)没有零点；.....................7分 x ② 当x1时， lnx 1lnx lnx 因为( )' ，可知 y 在  1,e  上严格增，在[e,)严格减 x x2 x   又 y sinx在[1, ]上严格增，在[ ,e]严格减， 2 2 所以x[1,e]时， y sinx在xe时有最小值sine， lnx lne 1 y  在xe时有最大值  x e e1 lnx 因为sine 所以sinx 在[1,e]上没有交点， e x 即h(x) xsinxlnx在[1,e]上没有零点.......................9分 所以函数 y h(x)的零点x 满足e x  x  x ，. n 1 2 n lnx lnx lnx lnx 因为 y 在[e,)严格减，所以 1  2  n . x x x x 1 2 n lnx 又因为sinx  n ，所以数列{sinx }是严格减数列........................10分 n x n n （3）因为 f(x)f(x2a)f(x4a)  f(x4a)， 所以 y  f(x)是以4a为周期的周期函数.................11分 因为任意x[0,2a]，当x  a时，都有 f(x) f(a)且 f(a)1， 所以当x a时， y  f(x)在[0,2a]上有唯一的最大值1...............................12分 由得g(x)sinx，F(x) f(x)sinx, G(x) f(x)cosx................13分 假设存在x、x R，使得F(x )G(x )4成立， 1 2 1 2 即 f(x )sinx  f(x )cosx 4成立 1 1 2 2 故，当x a4ka  kZ 时， f(x )取得最大值1； 1 1  当x  2m  mZ 时，sinx 取得最大值1 1 2 1  4m1 由a4ka 2m，可知a  ①时， f(x )sinx  2...................15分 2 8k2 1 1 max 又因为 y  f(x)是奇函数，所以当x a时， f(x)在[2a，0]上有唯一的最小值1 故，当x a4na  kZ 时， f(x )取得最小值1； 2 2 当x 12t  tZ 时，cosx 取得最小值1 2 2 2t1 由a4na12t，可知a ②时 f(x )cosx  2.....................17分 4n1 2 2 min 若 f(x )sinx  f(x )cosx 4成立， 1 1 2 2 4m1 2t1 则由①②得  ，即(4m1)(4n1)(2t1)(8k 2) 8k2 4n1 因为m,n,k,tZ，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分