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3.2.1 双曲线
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点 ，两个定点 ， ，若 为大于零的
常数，则动点 的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【解析】两个定点的距离为 ,
当 时， 点的轨迹为双曲线的一支；
当 时， 点的轨迹为射线；
不存在 的情况.
综上所述， 的轨迹为双曲线的一支或射线.
故选：D
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设 是双曲线 上的动点，则 到该双曲线两个焦点的距
离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 .由双曲线的定义可知 到该双曲线两个焦点的距离之差 .
故选：A
3．已知点F(0，－13)，F(0,13)，动点P到F 与F 的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为(
1 2 1 2
)
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
【答案】C
【解析】∵||PF |－|PF ||＝|FF|，∴点P的轨迹是分别以F，F 为端点的两条射线．所以点P的轨迹方程为
1 2 1 2 1 2
x＝0(|y|≥13).故答案为：C4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】C
【解析】设动圆圆心 ，半径为 ，圆x2+y2＝1的圆心为 ，半径为 ，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得 ，则圆心 ，半径为 ，
根据圆与圆相切，则 ， ，两式相减得 ，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
5．（2020·渝中）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，
则 等于（ ）
A．11 B．9 C．6 D．5
【答案】B
【解析】由双曲线 ，可得 ，由双曲线的性质可得： ，可得
或 (舍去)，故选：B.
6．双曲线 的左右焦点为F,F ，过点F 的直线l与右支交于点P,Q，若|PF |=|PQ|，则|PF |的值
1 2 2 1 2
为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为双曲线 的左右焦点为F,F ，过点F 的直线l与右支交于点P,Q，若|PF |=|PQ|，利
1 2 2 1
用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF |的值为6选B
2【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线 上有一点M到右焦点 的距离为18，则点
M到左焦点 的距离是（ ）
A．8 B．28 C．12 D．8或28
【答案】D
【解析】双曲线 的 ， ，
由双曲线的定义得 ，即为 ，解得 或28.
检验若 在左支上，可得 ，成立；
若 在右支上，可得 ，成立.故选：D
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, ) C．(0,3) D．(0, )
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在 轴上，所以 ，解得 ，因为方程
表示双曲线，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ，故选A．
3．（2020·全国）“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】可以直接求出方程 表示双曲线的充要条件，即为
，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程 表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】方程 表示双曲线，则 ，解得 或 .故选：D.
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程 表示双曲线的一个充分不必要条
件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
【答案】A
【解析】由题意知， ，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，
故选A.
6．（2020·山东青岛）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，曲线 为椭圆，其焦距为
B．当 时，曲线 为双曲线，其离心率为
C．存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线
D．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线与圆 相切
【答案】B【解析】对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为椭圆，
焦距 ， 错误；
对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，
则 ， ， 离心率 ， 正确；
对于 ，若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，解集为空集，
不存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线， 错误；
对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，其渐近线方程为 ，
则圆 的圆心到渐近线的距离 ，
双曲线渐近线与圆 不相切， 错误.故选： .
x2 y2
7.（2019·浙江高二期末）设F ,F 是双曲线 - =1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且
1 2 5 4
|PF |:|PF |=2:1，则ΔPF F 的面积等于__________．
1 2 1 2
【答案】12
x2 y2
【解析】由于 - =1，因此a=❑√5，c=3，故|F F |=2c=6，由于|PF |:|PF |=2:1即
5 4 1 2 1 2
|PF |=2|PF |，而|PF |-|PF |=2a=2❑√5，所以|PF |=4❑√5，|PF |=2❑√5，
1 2 1 2 1 2
PF 2+PF 2-F F 2 4 3
cos∠F PF = 1 2 1 2 = ，所以sin∠F PF = ，因此
1 2 2PF ⋅PF 5 1 2 5
1 21
S = |PF ||PF |sin∠F PF =12.
ΔPF 1 F 2 2 1 2 1 2
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线 的两个焦点分别为F、F，点P在双曲线上且满
1 2
足∠FPF =60°，则△FPF 的面积为_______．
1 2 1 2
【答案】
【解析】因为
,
所以 ，
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线
的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
则实轴长为： ，虚轴长为 ，
由题意有： ，解得： ，代入 可得双曲线方程为 .
本题选择D选项.
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线 ： 的左焦点 作斜率为 的直线，恰好与圆
相切， 的右顶点为 ，且 ，则双曲线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点为 ，则直线方程 ，
即 ，因为直线 恰好与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离等于半径，
即 ，得 ，则 .
则 ，
解得 ， .则 .所以双曲线 的标准方程为 .故选:B.
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线 ： ， 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线
交于 ， 两点，若 是边长为2的等边三角形，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
由图可知， ，且一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ，解得 ，所以双曲线 的方程为
.故选：A
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则该双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为
，且过点 ，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为 ，但不过点 ，
不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意.综上所述，本小题选B.
5．（2020·湖南）已知双曲线 的中心为坐标原点，离心率为 ，点 在 上，则 的方
程为（）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为： .
根据题意可得： ，解得 ，所以 .
当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为： .
根据题意可得： ，方程无解.
综上 的方程为 .故选B.
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线 ，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线方程为 ，则渐近线方程为： 即 ．故选：A．2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为 ，则该双曲
线的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为焦点在 轴上的双曲线虚轴长为 ，焦距为 ，所以 ，
则有 ， ，则 ，则双曲线的标准方程为： ，
该双曲线的渐近线方程为为： 故选：C．
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率
，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知 ， ，解得 ，所以双曲线的渐近线方程为： ，选
B.
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，若点
为双曲线左支上的一点，且直线 、 的斜率分别为 ， ，则双曲线的渐近线方程为
______________.【答案】
【解析】 的方程为 ， 的方程为 ，则 ，
将点 的坐标，代入双曲线，则 ，则 ，则 ，
则双曲线渐近线方程为 .
故答案为： .
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线 ,则焦点到渐近线的距离为
。
【答案】
【解析】在双曲线 中，焦点在 轴上， ， ， ，
其焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即 ，
所以焦点到其渐近线的距离 ，故选D.．
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线 的离心率 ，则其渐近线的方程为
_________
【答案】
【解析】双曲线的方程是 ， 双曲线渐近线为 ，又 离心率为 ，
可得 ， ，即 ，可得 ，由此可得双曲线渐近线为 ，故答
案为 .
