2000年广东高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_广东

2000 年广东高考数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。 共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅 笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 三角函数的积化和差公式 1 sincos [sin()sin()] 2 1 cossin [sin()sin()] 2 1 sinsin  [cos()cos()] 2 正棱台、圆台的侧面积公式 1 S  (cc)l 台侧 2 其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 1 V  (S  S SS)h 台体 3 其中S、S 分别表示上、下底面积，h表示高。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （1）已知集合A{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是： （A）15 （B）16 （C）3 （D）4  （2）在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是： 3 （A）2 3 （B）2 3i （C） 3 3i （D）3+ 3i （3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3， 6 ，这个长方体对角线的长是： （A）2 3 （B）3 2 （C）6 （D） 6 （4）已知sin＞sin ，那么下列命题成立的是 （A）若、是第一象限角，则cos＞cos  （B）若、是第二象限角，则tg＞tg  （C）若、是第三象限角，则cos＞cos  第1页 | 共11页（D）若、是第四象限角，则tg＞tg  （5）函数y  xcosx的部分图象是 （6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必 纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A）800~900元 （B）900~1200元 （C）1200~1500元 （D）1500~2800元 1 ab （7）若a＞b＞1，P  lgalgb,Q  (lgalgb),R lg ，则 2  2  （A）R＜P＜Q （B）P＜Q＜R （C）Q＜P＜R （D）P＜R＜Q （8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是     （A） 2cos  （B） 2sin   4  4     （C） 2cos1 （C） 2sin1 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 12 14 12 14 （A） （B） （C） （D） 2 4  2 （10）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 3 3 （A）y  3x （B）y   3x （C）y  x （D）y   x 3 3 （11）过抛物线y  ax2(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长  1 1 分别是p、q，则 + 等于 p q 1 4 （A）2a （B） （C）4a （D） 2a a （12）如图，OA是圆雏底面中心O互母线的垂线，OA绕轴旋转 一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦 值为 第2页 | 共11页1 1 1 1 （A） （B） （C） （D） 3 2 2 2 n 2 2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号。 三 题号 二 总分 17 18 19 20 21 22 分数 得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、 三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用 数字作答）。 x2 y2 （14）椭圆  1的焦点F 、F ，点P为其上的动点，当∠F P F 为钝角时,点P横坐 9 4 1 2 1 2 标的取值范围是 。 （15）设 a 是首项为1的正项数列，且（n+1）a2 na 2 a a 0(n=1，2，3，…)，则 n n1 n n1 n 它的通项公式是a  。 n （16）如图，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB 的中心，则四边形 1 1 1 1 BFDE在该正方体的面上的射影可能是 。 1 （要求：把可能的图序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 得分 评卷人 （17）（本小题满分12分） 第3页 | 共11页已知函数y  3sinxcosx,xR （Ⅰ）当函数取得最大值时，求自变量x的集合； （Ⅱ）该函数的图象可由y sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 得分 评卷人 （18）（本小题满分12分）   设 a 为等比数例，T  na (n1)a 2a a ，已知T 1，T  4。 n n 1 2 n1 n 1 2   （Ⅰ）求数列 a 的首项和公式； n   （Ⅱ）求数列 T 的通项公式。 n 得分 评卷人 （19）（本小题满分12分） 如图，已知平行六面体ABCD—ABCD 的底面ABCD上菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD， 1 1 1 1 1 1 （Ⅰ）证明：CC⊥BD； 1 CD （Ⅱ）当 的值为多少时，能使AC⊥平面 CBD？ 请 给 1 1 CC 1 出证明。 得分 评卷人 （20）（本小题满分12分） 设函数 f(x)  x2 1ax，其中a 0。  （Ⅰ）解不等式 f(x)≤1； （Ⅱ）证明：当a≥1时，函数 f(x)在区间[0，+∞]上是单调函数。 得分 评卷人 （21）（本小题满分12分） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市 时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。 第4页 | 共11页（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p  f(t)； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q  g(t)； （Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天） 得分 评卷人 （22）（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三 2 3 点，且以A、B为伪点，当  时，求双曲线离心率c的取值范围。 3 4 2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的 解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部 分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 A型卷答案 （1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9） A （10）C （11）C （12）D 第5页 | 共11页B型卷答案 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9） C （10）A （11）A （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 3 3 1 （13）252 （14） x （15） （16）○2○3   5 5 n 三、解答题 （17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。 满分12分。 y  3sinxcosx  3 1  解：（1）  2 sinx cosx   2 2       2sinxcos cosxsin   6 6    2sinx ,xR。 …………3分  6 取得最大值必须且只需   x  2k,kZ, 6 2 即  x  2k,kZ, 3 所以，使函数取得最大值的自变量x的集合为  {x| x  2k,kZ}, …………6分 3 （Ⅱ）变换的步骤是：  （1）把函数y sinx的图象向左平移 ,得到 …………9分 6   y  sinx 的图象；  6 （2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到   y  2sinx 的图象；  6 经过这样的变换就得到函数y  3sinxcosx的图象。 …………12分 （18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。   （Ⅰ）解：设等比数列 a 以比为q，则 n T  a ,T  2a a  a (2q)。 …………2分 1 1 2 1 2 1 第6页 | 共11页∵T 1,T  4， 1 2 ∴a 1,q  2。 …………4分 1 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知a 1,q  2，故a  a qn1  2n1, 1 n 1 因此，T  n1(n1)2 22n2 12n1， …………6分 n  T  2T T n n n  n2(n1)22  22n1 12n  -[n1(n1)2 22n2 12n-1]  ∴ -n222  2n1 2n  2-22n -n 1~2 -n2n1 2  (n2)2n1。 …………12分 解法二：设S  a a  a 。 n 1 2  n 由（Ⅰ）知a  2n1。 n S 12 2n1 ∴ n  …………6分  2n 1 T  na (n1)a  2a a n 1 2  n1 n a (a a ) (a a  a a ) 1 1 2  1 2  n1 n S S  S 10分 1 2  n  ∴ (21)(2n-1) (2n-1)  (22n  2n )-n  222n  n 12  2n1 2n 12分  （19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。 （Ⅰ）证明：连结A C 、AC和BD交于O，连结C O。 1 1 1 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC=CD。 又∵∠BC C =∠DCC ，C C =C C ， 1 1 1 1 ∴C BC  C DC， 1 1 ∴C B=C D， 1 1 ∵DO OB 第7页 | 共11页∴C O  BD， 3分 1 但AC  BD,AC C O O，  1 ∴BD 平面AC 。 1 又C C 平面AC ， 1 1 ∴C C  BD。 …………6分 1 CD （Ⅱ）当 1时，能使AC 平面C BD。 CC 1 1 1 证明一： CD ∵ 1， CC 1 ∴BC CD C C， 1 又BCD C CB C CD， 1 1 由此可推得BD C B C D。 1 1 ∴三棱锥C C BD是正三棱锥。 …………9分 1 设AC与C O相交于G。 1 1 ∵AC // AC，且AC ：OC  2：1， 1 1 1 1 ∴C G：GO=2：1。 1 又C O是正三角形C BD的BD边上的高和中线， 1 1 ∴点G是正三角形C BD的中心， 1 ∴CG 平面C BD， 1 即AC 平面C BD。 …………12分 1 1 证明： 由（Ⅰ）知，BC 平面AC ， 1 ∵AC 平面AC ，∴BD  AC。 …………9分 1 1 1 CD 当 1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， CC 1 第8页 | 共11页同BD  AC的正法可得BC  AC。 1 1 1 又BD BC  B，  1 ∴AC 平面C BD。 …………12分 1 1 （20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运 算、推理能力，满分12分。 （Ⅰ）解：不等式 f(x)1即 x2 11ax， 由此得11ax，即ax 0，其中常数a 0。  所以，原不等式等价于 x2 1(1ax)2,  x 0. 即 x 0,  …………3分 (a2 1)x2a 0 2a 所以，当0 a 1时，所给不等式的解集为{x|0 x  }；   1a2 当a 1时，所给不等式的解集为{x| x 0}。 …………6分 （Ⅱ）证明：在区间[0,)上任取x ,x 使得x x 1 2 1  2 f(x ) f(x )  x2 1 x2 1a(x x ) 1 2 1 2 1 2 x2 x2  1 2 a(x x ) 1 2 x2 1 x2 1 1 2   x  x   (x x ) 1 2 a . 9分 1 2    x2 1 x2 1  1 2  x  x ∵ 1 2 1,且a 1，  x2 1 x2 1 1 2 x  x ∴ 1 2 a 0，  x2 1 x2 1 1 2 又x x 0， 1 2  ∴ f(x ) f(x ) 0， 1 2  即 f(x ) f(x )。 1  2 所以，当a 1时，函数 f(x)在区间[0,)上是单调递减函数。 …………12分 第9页 | 共11页（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决 实际问题的能力，满分12分。 解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 300t, 0 t  200, f(t)    2分 2t 300 200  t 300 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 1 g(t)  (t 150)2 100, 0 t 300。 …………4分 20 （Ⅱ）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)= f(t) g(t)， 即  1 1 175  t2  t  , 0 t  200,   200 2 2 h(t)= …………6分 1 7 1025  - t2  t  , 200 t 300    200 2 2 当0t  200时，配方整理得 1 h(t)= (t 50)2 100。 200 所以，当t 50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当200 t 300时，配方整理得  1 h(t)= (t 350)2 100， 200 所以，当t 300时，h(t)取得区间（200，300）上的最大值87.5 …………10分 综上，由100 87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t 50，即从二月  一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 …………12 分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综 合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。 解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xO，则CD 轴。 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，………… 2分 1   依题意，记A(c,0),C c,h ,E(x ,y )，其中c  | AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高， 2 0 0 2 由定比分点坐标公式得 c c (2)c x  2  , 0 1 2(1) h   . 0 1 第10页 | 共11页x2 y2 c c 设双曲线的方程为  1，则离心率e  ，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和e  a2 b2 a a 代入双曲线的方程，得 e2 h2  1， ○1 4 b2 e2 2 2    2 h2     1. ○2 …………7分 4 1 1 b2 h2 e2 由○1式得  1， ○3 b2 4 将○3式代入○2式，整理得 e2 (44) 12， 4 3 故1 …………10分 e2 2 2 3 2 3 3 由题设  得， 1  。 3 4 3 e2 2 4 解得 7 e 10， 所以，双曲线的离心率的取值范围为[ 7, 10]， …………14分 第11页 | 共11页