2000年江西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江西

2000 年江西高考理科数学真题及答案 一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设集合A和B都是坐标平面上的点集x,y|xR,yR，映射 f :AB把集合A 中的元素x,y映射成集合B中的元素x y,x y，则在映射 f 下，象2,1的原 象是 3 1 3 1 （A）3,1 （B） ,  （C） ,  （D）1,3 2 2 2 2  （2） 在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转 ，所得向量对应的复 3 数是 （A）2 3 （B）2 3i （C） 33i （D）3 3i （3） 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 2 ， 3， 6，这个长方体 对角线的长是 （A）2 3 （B）3 2 （C）6 （D） 6 （4）设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①abccab0； ② a  b  ab ③bcacab不与c垂直 ④3a2b3a2b9a 2 4b 2 中，是真命题的有 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④ （5）函数y xcosx的部分图象是 （6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税 款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 第1页 | 共12页超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A） 800~900元 （B）900~1200元 （C）1200~1500元 （D）1500~2800元 1 ab （7）若ab1，P= lgalgb，Q= lgalgb，R=lg ，则 2  2  （A）RPQ （B）PQ R （C）Q PR （D）P RQ （8）右图中阴影部分的面积是 （A）2 3 （B）92 3 32 35 （C） （D） 3 3 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是 12 14 12 14 （A） （B） （C） （D） 2 4  2 （10）过原点的直线与圆x2  y2 4x30相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是 3 3 （A）y  3x （B）y 3x （C） x （D） x 3 3 （11）过抛物线y ax2a0的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线 1 1 段PF与FQ的长分别是 p、q，则  等于 p q 1 4 （A）2a （B） （C）4a （D） 2a a （12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一 周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 1 1 （A）arccos （B）arccos 3 2 2 1 1 （C）arccos （D）arccos 2 4 2 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上。 （13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件， 其中次品的概率分布是  0 1 2 p 第2页 | 共12页x2 y2 （14）椭圆  1的焦点为F 、F ，点P为其上的动点， 9 4 1 2 当FPF 为钝角 1 2 时，点P横坐标的取值范围是________。 （15）设a 是首项为1的正项数列，且n1a2 na2 na a 0（n=1，2， n n1 n n1 n 3，…），则它的通项公式是a =________。 n （16 ）如图，E 、F 分别为正方体的面 ADD A 、面 1 1 BCC B 的中心，则四边形BFD E 在该正方体的面上的 1 1 1 射影可能是_______。（要求：把可能的图的 序号都 填上） 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 （17）（本小题满分10分） 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4 个。甲、乙二人依次各抽一题。 （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （18甲）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱 ABC-ABC ，底面ΔABC 中， 1 1 1 CA=CB=1，BCA=90，棱 AA =2，M、N分别是A B 、 A A 的 1 1 1 1 中点。 （I）求BN 的长； （II）求cosBA ，CB 的值； 1 1 （III）求证ABC M 。 1 1 第3页 | 共12页（18乙）（本小题满分12分） 如图，已知平行六面体ABCD-ABC D 的底面ABCD 1 1 1 1 是菱形，且C CB=BCD=60。 1 （I）证明：C C⊥BD； 1 3 （II）假定CD=2，C C= ，记面C BD为，面 1 2 1 CBD为，求二面角 BD的平面角的余弦值； CD （III）当 的值为多少时，能使AC平面C BD？请给出证明。 CC 1 1 1 （19）（本小题满分12分） 设函数 fx x2 1ax，其中a0。 （I）解不等式 fx1； （II）求a的取值范围，使函数 fx在区间 0,上是单调函数。 （20）（本小题满分12分） 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比 另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。 （21）（本小题满分12分） （I）已知数列c ，其中c 2n 3n，且数列c  pc 为等比数列，求常 n n n1 n 数 p。 （II）设a 、b 是公比不相等的两个等比数列，c a b ，证明数列 n n n n n c 不是等比数列。 n （22）（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD中 AB 2CD ，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过 2 3 C、D、E三点，且以A、B为焦点。当  时，求双曲线离心率e的取值范围。 3 4 第4页 | 共12页参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13）  0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 3 3 1 （14）  x （15） （16）②③ 5 5 n 三、解答题 （5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分10分。 解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C1个，乙依次从判断题中抽到一题的可 6 能结果有C1个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C1 C1个；又甲、乙依 4 6 4 次抽一题的可能结果有概率为C1 C1个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 10 9 C1C1 4 4 6 4  ，所求概率为 ； C1C1 15 15 10 9 ——5分 第5页 | 共12页C1C1 （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 4 3 ，故甲、乙二人中至少有一人抽 C1C1 10 9 C1C1 13 13 到选择题的概率为1 4 3  ，所求概率为 。 C1C1 15 15 10 9 C1C1 C1C1 C1C1 1 4 4 13 13 或 6 5  6 4  4 6     ，所求概率为 。 C1C1 C1C1 C1C1 3 15 15 15 15 10 9 10 9 10 9 ——10分 （18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分12分。 如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz。 （I）解：依题意得B0,1,0，N1,0,1， ∴ BN  102 012 102  3 ——2分 （II）解：依题意得A 1,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B 0,1,2。 1 1 ∴ BA 1,1,2，CB 0,1,2。 1 1 BA  CB 3。 BA  6 ，CB  5 ——5分 1 1 1 1 BA CB 1 ∴ cos BA  CB  1 1  30 ——9分 1 1 BA  CB 10 1 1 1 1  （III）证明：依题意得C 0,0,2，M , ,2 1 2 2  1 1  AB 1,1,2，C M   , ,0 ， 1 1 2 2  1 1 ∴ AB C M    00，∴AB C M ——12分 1 1 2 2 1 1 （18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分 第6页 | 共12页12分。 （I）证明：连结AC 、AC，AC和BD交于O，连结C O。 1 1 1 ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD。 又∵ BCC DCC ,CC CC ， 1 1 1 1 ∴ C BC C DC， 1 1 ∴ C BC D， 1 1 ∵ DO=OB， ∴ C OBD， ——2分 1 但 AC⊥BD，AC∩C O=O， 1 ∴ BD⊥平面AC 。 1 又 C C平面AC ， 1 1 ∴ C CBD。 ——4分 1 （II）解：由（I）知AC⊥BD，C OBD， 1 ∴ C OC是平面角BD的平面角。 1 3 在C BC 中，BC=2，C C  ，BCC 60， 1 1 2 1 2 3 3 13 ∴ C B2 22   22 cos60  。 ——6分 1 2 2 4 ∵ ∠OCB=30， 1 ∴ OB= BC=1。 2 13 9 ∴ CO2 C B2 OB2  1 ， 1 1 4 4 3 ∴ CO 即C O C C。 1 2 1 1 作C H ⊥OC，垂足为H。 1 3 ∴ 点H是OC的中点，且OH ， 2 第7页 | 共12页OH 3 所以 cosC OC   。 ——8分 1 C O 3 1 CD （III）当 1时，能使AC ⊥平面C BD。 CC 1 1 1 证明一： CD ∵ 1， CC 1 ∴ BC=CD=C C， 1 又 BCDC CBC CD， 1 1 由此可推得BD=C BC D。 1 1 ∴ 三棱锥C- C BD是正三棱锥。 ——10分 1 设AC 与C O相交于G。 1 1 ∵ AC ∥AC，且AC ∶OC=2∶1， 1 1 1 1 ∴ AG∶GO=2∶1。 1 又 C O是正三角形C BD的BD边上的高和中线， 1 1 ∴ 点G是正三角形C BD的中心， 1 ∴ CG⊥平面C BD。 1 即 AC ⊥平面C BD。 ——12分 1 1 证明二： 由（I）知，BD⊥平面AC ， 1 ∵ AC 平面AC ，∴ BD⊥AC 。 ——10分 1 1 1 CD 当 1时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， CC 1 同BD⊥AC 的证法可得BC ⊥AC 。 1 1 1 又 BD∩BC =B， 1 第8页 | 共12页∴AC ⊥平面C BD。 ——12分 1 1 （19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。 解：（I）不等式 fx1即 x2 11ax， 由此可得11ax，即ax0，其中常数a0。 所以，原不等式等价于 x2 11ax2 ,  x0 x0 即   ——3分 a2 1x2a0  2a  所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0 x ；  1a2 当a1时，所给不等式的解集为x|x0。 ——6分 （II）在区间 0,上任取x ，x ，使得x