文档内容
厦泉五校 2024-2025 学年高一年级第二学期期中联考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知向量 ， ，则 （ ）
(−2，−1) (2，1)
A． B． C．-3 D．3
2． （ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 在复平面内对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画出水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的
，已知 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
5．若 是三角形的一个内角，且 ，则 等于（ ）
A． B． 或 C． D． 或
6．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 夹角为 ，且 ，则 等于（ ）A． B． C． D．10
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要
求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正
确选项，每选对一个得2分.
9．给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若 为非零向量，则 与 同向
C．若 则 D．已知λ，μ为实数，若 ，则 与 共线
10．已知 ，则 的可能取值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不存在
11．已知函数 在 处取得最小值 ，与此最小值点最近
的 图象的一个对称中心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．将 的图象向左平移 个单位长度即可得到 的图象
C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上的值域为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 ．
13．将边长为 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为 ．14．已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上投影向量的坐标为 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设 都是第二象限的角，已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16．设 ， ， ， 为平面内的四点，且 ， ， .
(1)若 ，求 点的坐标；
(2)设向量 ，若 与 平行，求实数 的值.
17．已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴、对称中心；
(2)求 单调递增区间；
(3)若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．如图，在梯形 中， ， ， ， 为线段 上的点，满足
D C
记 ， ．
(1)用 ， 表示向量 ；
E
F
A B(2)求 的值；
(3)设 交 于 ，求 ．
19． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)已知 ，① 为 的外心，求 的值；
②若 为锐角三角形，，求 的取值范围.数学科参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B D A D CD BD
题号 11
答案 ABD
12．
根据复数除法运算、复数为实数列方程求得 .
解析：依题意， 为实数
所以 .
故答案为：
13．
分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解.
解析：如下图所示，
由图可知，旋转体是底面半径为 ，高为 的圆柱，
故该旋转体的体积为 .
故答案为： .
14．
根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可.
解析：因为 ，所以 ，又 ，
所以向量 在向量 上投影向量为 ，故所求坐标为 .
故答案： .15．(1)
(2)
（1）先由同角三角函数的关系可得 ，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得 ，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果.
解析：（1）因为 都是第二象限的角，由 可得 (2分)，
由 可得 (4分)，
则 （公式5分，结果6分）.
（2）因为 （8分）， （10分），
则 （公式11分，结果13分）.
16．(1)
(2)
根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.
解析：（1）设点 ，则 , （3分）.
因为 ，
所以 ，即 得 （6分）.
所以点 的坐标为 （7分）.
（2）由题意得 ， （9分）所以 ， （11分）.
因为 ，所以 （13分），
解得 （15分）.
17．(1) ，对称轴为 ，对称中心为
(2)
(3)
解析：（1）因为
（4分），
即 ，所以 的最小正周期 （5分），
令 ，解得 ，故对称轴为 （6分）；
令 ，解得 ，故对称中心为 （7分）.
（2）令 （9分），
解得 ，所以 单调递增区间为 （11分，没有标注扣1分）；
（3）当 时， ，所以 （13分），
则 在 上的值域为 （14分），
因为不等式 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围为 （15分）.
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
D C
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
解析：（1）如图，连接 ，
因为 ， ，
E
F
所以 （2分），因为 ，所以 ，
A B
由向量的加法法则得 （4分），
故 ，即 成立（6分）.
（2）由于 ，可得 ，又有 ，
所以 ，故 （10分）.
（3）由向量的减法法则得 （11分），
由于 ，可得 （12分），又有 ，
得到 ，故 （13分），则 （15分），
由上问得 ，故 （17分）.
19．(1)
9
−
2
(2)①
②
解析：（1）因为 ，由正弦定理得 （1分），
故 （3分），
在 中， ， ，所以 ， ，则 （4分），
可得 ，所以 ，所以 （5分）.
O⃗A
⋅
⃗AC
=|
O⃗A
||
⃗AC
|
cos
⟨
O⃗A， ⃗AC
⟩
（2）① （6分）
=|
O⃗A
|
cos
⟨
O⃗A， ⃗AC
⟩|
⃗AC
|
1
=− |
⃗AC|| ⃗AC|
2
（8分）
2
=−
9
（9分）
②由正弦定理可得 （ 为 外接圆的半径）（10分），
所以 ， （11分），
因为 ，则 ， （12分），所以 （14分），
因为 为锐角三角形，则 ，解得 （15分），
则 ， ，故 （17分）.
