文档内容
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机密★启用前（新高考卷）
华大新高考联盟 2025 届高三 11 月教学质量测评
数学
命题：华中师范大学考试研究院
本试题卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核
对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答
在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A.1 B.3 C.7 D.15
2.已知 （其中 为虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则在复平面内，
所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A.2 B.3 C. D.
4.小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐
的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以
设置的不同密码个数为（ ）
A.144 B.120 C.84D.116
5.已知抛物线 ： 的焦点 到准线 的距离为2，第一象限的点 在抛物线 上，过点
作 的垂线，垂足为点 ，若 ，且点 在直线 上，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
6.已知在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的
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取值可能为（ ）
A. B.1 C.3 D.5
7.若函数 ，则 的解集为
（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体 的表面积与体积之比为6，若 ，
，则四面体 的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列四棱锥的所有棱长都相等， ， ， ， ， 是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线 不
与平面 垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数 的图象与直线 连续的三个公共点从左到右依次记为
， ， ，若 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B.
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C.将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，则 在 上的值域为
D.若函数 ，则 在 上有6个零点
11.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ： 与椭圆 交于
， 两点，则（ ）
A.若 ，则
B.若 过右焦点 ，且 ， ，则椭圆 的离心率为
C.若 过右焦点 .且 ， ，则椭圆 的离心率为
D.若 ， ，且椭圆上存在一点 ，使得 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分。
12.定义：已知平面向量 ， 表示夹角为 的两个单位向量， 为平面上的一个定点， 为平面上任
意一点，当 时，定义 为点 的斜坐标.设点 的斜坐标为 ，则 ______.
13.将一组嵌套模型一一拆分之后所得的图形如下所示，若图中每个小正方体的外接球的表面积为 ，
则以此类推，第10个图形的体积为______ .
14.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为 ，二号列车准点到站的概率为 ，一号列车准点到
站或者二号列车不准点到站的概率为 ，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件 ，“一
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号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件 ，则 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 在双
曲线 上.
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知不与 轴垂直且过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ， ，且
，求证： .
16.（15分）
某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，
其中小明和小红通过初试的概率均为 ，小强和小真通过初试的概率均为 ，小明和小红通过复试的概率
均为 ，小强和小真通过复试的概率均为 ，通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试满分
为10分，且初试未通过者不能参加复试.
（1）若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；
（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为 ，求 的分布列以及
数学期望 .
17.（15分）
已知圆柱 如图所示，其中正方形 为轴截面，点 ， 为圆 上异于 ， 且同侧的点，且
，点 为线段 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 夹角的正切值为 ，求 的值.
18.（17分）
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已知函数 ， 的导函数为 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 为 的极大值点，求实数 的取值范围；
（3）若 为锐角，比较 和 的大小关系，并说明理由.
19.（17分）已知有序数组 ， ， 分别为 ： ， ： ， ：
，若它们之间满足：①
；② ；则称
为 的双覆盖数组. 为 的单覆盖数组.
（1）有序数组 ， 分别为 ：8，5，4， ， ： ， ， ，2，若 为 的双覆盖数组，
求 ， ， ， 的值.
（2）已知 为 的单覆盖数组，其中 又可记为 .
（i）判断满足条件的 的个数为奇数个还是偶数个，并给出说明过程.
（ii）判断 是否能成为 的单覆盖数组.若是，写出所有满足条件
的双覆盖数组 ；若不是，说明理由.
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机密★启用前（新高考卷）
华大新高考联盟 2025 届高三 11 月教学质量测评
数学参考答案和评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B C B A C BCD ACD ACD
一、选择题
1.【答案】B
【命题立意】本题考查集合的运算、集合间的关系、不等式的解法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】依题意， ，故 ，则 有3个真子集，故选B.
2.【答案】A
【命题立意】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】方法一 依题意， ，
故 解得
则 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选A.
方法二 易知方程 的解为 ，则 ，即 解
得 则 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选A.
3.【答案】D
【命题立意】本题考查平面向量的基本概念、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用，考查数
学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】依题意， ，故 ，解得
，故 ，故选D.
4.【答案】B
【命题立意】本题考查排列组合，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有 种；
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若选的数字有两个1，则不同的排列方法有 种.
故共有 种不同的设置方法，故选B.
5.【答案】C
【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象
的核心素养.
【解析】依题意，得 ，设 ，则 ，而 ，且 ，故 ，
则 ，解得 ，故直线 的倾斜角为 ，故选C.
6.【答案】B
【命题立意】本题考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换，考查数学运算、逻辑推理、直观想
象的核心素养.
【解析】依题意，得 ，故 ，则 ，
因为 为锐角，所以 .
依题意， ，而
故 ，故 ，
则 ，故选B.
7.【答案】A
【命题立意】本题考查函数的单调性与对称性，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意， ，易知 在 上单调递减，且
，故 的图象关于 中心对称，
则 为奇函数且单调递减，
故
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，故选A.
8.【答案】C
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【解析】依题意， ，解得 .如图所示，过点 作 ，过点 作 ，
，且 与 交于点 ，设 ， ，
则 ， ， ，
，
故 ，当且仅当 时， 取到最大值 ，故选C.
二、选择题
9.【答案】BCD
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】B中直线 平面 ；C、D中 与 不垂直，故直线 平面 不成立.故选
BCD.
10.【答案】ACD
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意， ，故A正确；
，故 ， ，记 ，则 ，
故 ，则 ①.
而 ②，联立①②可得 ，故B错误；
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，故当 时， ， ，
故 ，C正确；
，在直角坐标系中分别作出 ，
的图象如图所示，观察可知，它们在 上有6个交点，即 在 上有6
个零点，故D正确.故选ACD.
11.【答案】ACD
【命题立意】本题考查椭圆的方程、椭圆的性质、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、
直观想象的核心素养.
【解析】若 ，则 ，故A正确；
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，则 ，故B错误；
设 ，则 ，又因为 ，所以 ，
由椭圆的定义知 ，得 .
又 ，即点 为短轴端点，
故在 中， ，
在 中， ，
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解得 ，故C正确；
设 ， ，则 ，则 ，
因为点 ， ， 均在椭圆 上，故 ， ， ，
因为 ，故 ，故 ，
联立 故 ，
显然 ， ， ，
故 ，解得 ，故 正确.
故选ACD.
三、填空题
12.【答案】 .
【命题立意】本题考查向量的数量积及其应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】依题意， ，则 .
13.【答案】2648.
【命题立意】本题考查数列的通项公式，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【解析】设小正方形的边长为 ，则 ，解得 .故第10个图形的体积为
2648.
14.【答案】 .
【命题立意】本题考查概率的基本公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】记“一号列车准点到站”为事件 ，“二号列车准点到站”为事件 ，则 ，
，
，故 ，
则 ，则 ，
故 ，
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而 ，即 ，故 ，
则 .
四、解答题
15.【命题立意】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想
象的核心素养.
【解析】（1）依题意，
解得 ，故双曲线 的方程为 .
（2）依题意，得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 整理得 ，
因此当 时， ， ， ，
则 ，即
故直线 ： ，
令 ，得 ，则 ，
故 ，
故 .
16.【命题立意】本题考查相互独立事件的概率、全概率公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心
素养.
【解析】（1）记选出小明、小红参加面试为事件 ，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事
件 ，选出小强、小真参加面试为事件 ，这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件 ，
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则 ， ， ，
（2） 的可能取值为0，6，10，12，16，20，
故 ， ，
， ，
， .
故 的分布列为：
0 6 10 12 16 20
则 .
17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的
核心素养.
【解析】（1）因为 ，故 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
取线段 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，故 ，
故四边形 为平行四边形，则 .
而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
而 ， 平面 ， 平面 ，
故平面 平面 .
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（2）如图，连接 ，因为 是圆 的直径，所以 ，过点 作圆柱的母线 ，则 平
面 ，所以 ， ， 互相垂直，以 为原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ， ， ，则 ，则 ， ， ，
所以 ， .
设 为平面 的法向量，
令 ，解得 所以 为平面 的一个法向量.
易知 为平面 的一个法向量.
因为平面 与平面 夹角的正切值为 ，故夹角的余弦值为 ，
所以 ，化简得 ，
而 ，解得 （ 舍去），则 .
18.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）依题意，有 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
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当 时， ， 单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增.
（2）依题意， ，
当 时，易知 ，由（1）可知，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 是函数 的极小值点，不符合题意，舍去；
当 时， ，且 ，
由（1）可知，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 是函数 的极小值点，不符合题意；
当 时， ， ， ， 在 上单调递增，故 无极值点，
不符合题意；
当 时， ，且 ；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以， 是 的极大值点，符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
（3）结论： .
要证 ，
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即证 ，
即证 ，
即证 ， ，
因为 ， ，
即证当 时， .
即证当 时， .
令 ，由（2）可知，当 时， ，
故 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，
两式相加可得， ，
即 .
19.【解析】（1）由 ，可得
则
（2）（i）依题意，设 为 的双覆盖数组，
构造数组： ；
记 ，
所以当 时， ， ，
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且 .
因为 ，
所以 也是 的双覆盖数组，
一方面，因为 ， ，
所以 .
另一方面，假设 ，因为 ，所以 ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
故满足条件的 的个数为偶数个.
（ii）假设 是 的双覆盖数组.
由题意得 ， ，
相加得 ，即 ，
当 时， ，与 矛盾，
故 不能成为 的单覆盖数组.
当 时， 能成为 的单覆盖数组.
当 时， ，又因为 ， ，
所以 有两种可能 ： .
故 有四种情况： ， ， ， .
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