文档内容
1988年全国硕士研究生招生考试
数学（一）
（科目代码：301）
一、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
（1） 求幕级数£ 9 —誥"的收敛域.
”=i n • 3
2
（2） 已知=ex，兀申（工）］=1—工，且爭（z）$0,求卩（工），并写出其定义域.
(3)设 S 为曲面 X2 -\-y2 +z2 =1 的外狈＞],计算曲面积分 dz + bdzclz+2：Bdj：dy.
s
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
/ 1 \ 2tx
（1） 设 f（/） = limt l + — ，则厂（刀=
' JC '
（2） 设fd 是周期为2的周期函数，它在区间（-1,1］上的表达式为
12, - 1< < 0,
f（JC）= 则/'（工）的傅里叶级数在工=1处收敛于_________.
1工3 4, 0 < 鼻 V 1,
（3） 设fS 是连续函数，且 f（t）dt =x，则/（7） =________ .
J 0
（4） 设 4 阶矩阵 A =（a ,丫2，丫3，yj，〃=（0，丫2，丁3，yQ，其中 a ,fi,y2 ,y3 ,y4 都是 4 维列向量,
且 \A 1 = 4, \B | = 1,贝!j|A+JB|=________.三、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）若函数y =/（j?）可导，且/"'（工。）=*,则当Ajc fO时，函数/'（g）在鼻—x0处的微分dj/
是（ ）.
（A）与X 等价的无穷小 （E）与同阶的无穷小
（C）比X 低阶的无穷小 （D）比△工高阶的无穷小
（2）设y — fCx）是微分方程》"一2j/ + 4夕=0的一个解，若f （工。）＞ 0且/''（工o）= 0,则函
数于（工）在r =xQ处（ ）.
（A）取得极大值 （E）取得极小值
（C）某邻域内单调增加 （D）某邻域内单调减少
（3）设空间区域 : JC2 +亍 + / ^R2（Z $0） ；02 :工 2 + 夕2 +z2 $0,z $0）,
则（ ）.
ydv
nl °2
(D)jjj xyzAv = 4jjJ xyzAv
ni n2
（4） 若级数工a”（工一1）"在z = — 1处收敛，贝lj该级数在x =2处（ ）.
n = 0
（A）条件收敛 （:B）绝对收敛
（C）发散 （D）收敛性不确定
（5） n维向量组s，a2，・“，a、（3Ws£“）线性无关的充分必要条件是（ ）.
（A） 有一组不全为零的数紅，紅，…，匕，使得紅s +k2a2-\---- \-ksas H 0
（B） a1?a2，-,a（中任意两个向量都线性无关
（C） a1,a2, -,as中存在一个向量，它不可由其余向量线性表示
（D） s，a?,…，°中任意一个向量都不可由其余向量线性表示
四、（本题满分6分）
设u — yf （扌）+ zg （十），其中f，g具有二阶连续导数'求工+ y •
五、（本题满分8分）
设函数夕=》（工）满足微分方程『一3“ + 2y =2eJ且其图形在点（0,1）处的切线与曲线
y = j:2 — x + 1在该点的切线重合，求函数y =_y（j?）.六、（本题满分9分）
A
设位于点（0,1）的质点A对质点M的引力大小为0为常数,r为质点A与质点M之
r
间的距离），质点M沿曲线$=皿—川 从点£（2,0）运动到点O （0,0）,求此运动过程中
质点A对质点M的引力所做的功.
七、（本题满分6分）
I1
/I 0 0 \ 0 0\
已知AP =PB,其中B = 0 0 0 ,P= 2 —1 0 ，求A及八
（0 '2
0 -1'
1
八、（本题满分8分）
/2 0 0\ /2 0 0 \
与B = [ 0 y 0 |相似
已知矩阵A = 0 0 1
'o 1丿 'o 0 - V
(1)求 x ,y ;
（2）求一个满足P AP =B的可逆矩阵P.九、(本题满分9分)
设函数于(工)在区间［a,刃上连续，且在(a,b)内有/■'&)>().证明：在(a,b)内存在唯一
的使曲线y = f (x)与两直线y = y(W),工=a所围成的平面图形的面积Si是曲线
y = /(a-)与两直线y = _/(£),z =b所围成平面图形面积S?的3倍.
十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)
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(1) 设三次独立重复试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为厉，则
事件A在一次试验中出现的概率为________ .
(2) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于的概率为________ •
□
(3) 设随机变量X服从均值为10,均方差为0. 02的正态分布，已知①Q)=丄「e_Vd«,
①(2. 5) =0. 993 8,则X落在区间(9. 95,10. 05)内的概率为________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X的概率密度函数为心(工)= 求随机变量Y = l- yx的概率
7T ( 1 + 工)
密度函数fYCy).
