文档内容
第十二章 三角形
一、单选题
1．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）在下列各图的 中，正确画出 边上的高的图形是（
）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取
了点O，测得 ，那么A、B间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，
， ，则图2中 的度数为（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图， ，下列条件① ；② ；
③ ；④ 中，若只添加一个条件就可以证明 ，则所有正确条件的序号是
（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三
等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可绕 点转动． 点固定，
，点 ， 可在槽中滑动．如图2，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图， 中， 是 边的高线， 平分 ，
， ，则 的面积是（ ）
2A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 延长
线上一点，点 为 边上一点，若 ，则 的度数为 ．
8．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图， 与 相交于点 ， ，那么要得到
，可以添加一个条件是 （填一个即可）.
9．（2022秋·北京丰台·八年级期末）如图，已知 ，请添加一个条件（不添加辅助线）
，使 ，依据是 ．
10．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按
如图方法进行测量，其中 ， ，测量 的长度即可知道 的长度，理由是根据
可证明 ．
3
学科网（北京）股份有限公司11．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）已知：如图，C为 上一点， ．只需添加一个条件
则可证明 ．这个条件可以是 ．（写出一个即可）．
12．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对
及 对应的边或角添加等量条件(点 ， ， 分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件
后，若能判定 与 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
行动
轮次 添加条件
者
1 甲 cm
2 乙 cm
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加 cm，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件 ；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为 ．
13．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为
cm．
414．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）如图，在等边 中 ， 是 边上的高，延长
至点E，使 ，则 的长为 ．
15．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，等腰 中， ， ，
于点D，点E在 的延长线上，点F在线段 上，且 ．有下面四个结论：① ；②
；③ 是等边三角形；④ ．其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）等腰三角形有两条边长分别为 和 ，则这个等腰三角形
的周长为 ．
17．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图， 中， ， 平分 ，交 于点
， 于 ，若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题
18．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，点P在 的平分线上， ，求证：
．
5
学科网（北京）股份有限公司19．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）已知：如图，点 是线段 上一点， ，
， ．求证： ．
20．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上， ，
， ．请判断 与 的关系，并证明你的结论．
21．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上， ，
， ．
求证： ．
22．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选
择其中一种完成证明．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．
6已知：如图， 中， ，求证： ．
证明：如图，作 的平分线交 于点D． 证明：如图，作 边上高线交 于点D．
23．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图 中， ， ，D是 边上一点，
连接 ， 垂足为点C，且 ， 交线段 于点F．
(1)在图1中画出符合题意的图形，并证明 ；
(2)当 时，求证： 平分 ．
24．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在 中， ， 为 延长线上一点，点 为线段
， 的垂直平分线的交点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点 ，满足 ． 为直线 上一动点．当 的值最大
时，用等式表示 ， 与 之间的数量关系为______，并证明．
7
学科网（北京）股份有限公司25．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图， 中， ， （ ），
为 边上的中线，过点 作 于 ，交 于点 ，作 的角平分线 于 ，交
于 ．
(1)①补全图形1；
②求 的度数（用含 的式子表示）．
(2)如图2，若 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
26．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图， 为等边三角形，在 内作射线
，点 关于射线 的对称点为点 ，连接 ，作射线 交 于点 ，连接 ．
(1)依题意补全图形；
(2)设 ，求 的大小（用含 的代数式表示）；
(3)用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明．
27．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）已知：线段 及过点A的直线l．如果线段 与线段 关
于直线l对称，连接 交直线l于点D，以 为边作等边 ，使得点E在 的下方，作射线
交直线l于点F，连结 ．
8(1)根据题意补全图形；
(2)如图，如果 ，
① ；（用含有α代数式表示）
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
28．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）用直尺和圆规作一个 的角．
作法：①作直线 ，在直线 上任取一点 ；
②以 为圆心，任意长为半径作弧，交直线 于 两点；
③分别以 为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧在直线 的上方交于点 ，作直线 ；
④作 的角平分线 ；
所以 即为所求作的 角．
(1)利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接 ，
，
点 在线段 的垂直平分线上( )(填推理的依据)．
，
点 在线段 的垂直平分线上．
直线 是线段 的垂直平分线．
．
∴
∵ 平分 ，
9
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
29．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）已知： ．
求作：点 ，使得点 在 上，且 ．
作法：
①分别以 ， 为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于 ， ；
②作直线 ，与 交于 点．
点 为所求作的点．
根据上述作图过程
(1)请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ．
， ，
， 在线段 的垂直平分线上．即 是线段 的垂直平分线．
点 在直线 上，
（填写推理的依据）．
30．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的
平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：
①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线 对齐；
②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线 对齐；
10如图3，两把直尺的另一条边相交于点 ，作射线 ．射线 是 的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
……
请你也参与探讨，解决以下问题：
(1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
(2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中 的平分线，并简述画图的过程．
31．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图，在 中， ， 分 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ， ，垂足为点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
32．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M
上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，
11
学科网（北京）股份有限公司N间的“最距离”，记作： ．
如图，点B，C在数轴上表示的数分别为0，2， 于点B，且 ．
(1)若点D在数轴上表示的数为5，求d（点D， ）；
(2)若点E，F在数轴上表示的数分别是x， ，当d（线段 ， ） 时，求x的取值范围．
33．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在 中， ， ．求 边
上的高的长．
34．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知 是等边三角
形，D为 边的中点，E为中线 上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线 的对称点是
点F．连接 ， ， ．
(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线 上运动时， 是一种特殊三角形．
请你回答 是 三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线 上运动时， 的长度也有规律的变化．当 为最大值时，在图2中画
出点F，并连接 与 交于点P．
①按要求画出图形；
12②在 上存在一点Q，使 的值最小，猜想这最小值____________ （填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边 上存在一点M，同时满足 的值最大且 的值最小，则此时 与 的数量
关系是____________．
35．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在线段 ， 上，
如果存在点 使得 且 (点 ， ， 逆时针排列)，则称点 是线段 的“关
联点”如图1．点 是线段 的“关联点”．
(1)如图2，已知点 ， ，点 与点 重合．
①当点 是线段 中点时，在 ， 中，其中是线段 的“关联点”的是___________；
②已知点 是线段 的“关联点”，则点 的坐标是_______________．
(2)如图3，已知 ， ．
①当点 与点 重合，点 在线段 上运动时(点 不与点 重合)，若点 是线段 的“关联点”，
求证： ；
13
学科网（北京）股份有限公司②当点 ， 分别在线段 ， 上运动时，直接写出线段 的“关联点” 形成的区域的周长．
36．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点
D，过点D作 交 于点E．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．
14参考答案：
1．C
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【详解】解： 边上的高就是过B作垂线垂直 交 于某点，因此只有C符合条件，
故选C．
【点睛】本题考查了利用基本作图作三角形高的方法，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．A
【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴A、B间的距离不可能是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边两边之差小于第三
边是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是 的外角， ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角和是解题的关键．
4．C
【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可．
【详解】解：已知 ，
加上① ，可用“ ”来判定 ．
加上② ，可用“ ”来判定 ．
加上③ ，可用“ ”来判定
15
学科网（北京）股份有限公司加上④ 不能判定
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键．
5．B
【分析】由等边对等角即可得出 ．再结合三角形外角性质即可求出
，从而可求出 的大小．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
6．B
【分析】过点E作 于点F，根据角平分线的性质，得出 ，根据三角形面积公式进
行计算即可．
【详解】解：过点E作 于点F，如图所示：
∵ 是 边的高线，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
16【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点
到角的两边距离相等．
7． /65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
是 的外角，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关
键。
8． （答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件证明即可．
【详解】解：可以添加一个条件是 ，
证明：在 与 中，
，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
9． ．
【分析】根据全等三角形的判定方法，结合题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
再由 ，可得 ，
故答案为： ， （答案不唯一）
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
10．
【分析】利用三角形全等的 定理证明 ，根据全等三角形的性质可得 ．
【详解】解∶在 和 中，
17
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的 定理是解题的关键．
11． （答案不唯一）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】解：添加的条件是 ，
理由是：在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全
等三角形的判定定理有 ， ， ， ，两直角三角形全等还有 等．
12．①③
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵如果甲添加 cm，
又 cm， cm，
∴ （SSS），
∴乙获胜，故结论①正确；
②∵如果甲添加 ，
又 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错
误，
18③如果第二条条件修改为 ，甲在第三条填入 ，那么乙可能获胜，故结论③正确．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
13．17
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：①当腰长为 时，②当腰长为 时，分别进行求解即可．
【详解】解：①当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，不符合三角形的三边关系；
②当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，符合三角形的三关系，则三角形的周长
；
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，已知没有明确腰和底边的情
况下，需要分类进行分类讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形．
14．3
【分析】由等边三角形的性质可得 ，根据 是 边上的高线，可得 ，再由
题中条件 ，即可求得 ．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 边上的高线，
∴D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得
到 是正确解答本题的关键．
15． /
【分①析】③根③据①等边对等角，求出 的度数，即可判断①；易证 ， ，即可判断②；
连接 ，先根据三角形的内角和求出 ，再证明 ，可得出
，求出 ，即可判断③； 根据三角形三边之间的关系，即可判断④．
【详解】解：①∵ ， ，
19
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
故①正确；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
与 不全等，
故②不正确；
③连接 ，
∵ ， ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①可得
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
故③正确；
④由③可知， 是等边三角形；
20∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故④不正确；
综上：正确的有①③；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，三角形三边之
间的关系，熟练掌握相关内容并灵活运用是解题的关键．
16．17
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求
解．
【详解】解：根据题意，当腰长为 时，7、7、3能组成三角形，周长为： ；
当腰长为 时， ，7、3、3不能构成三角形，
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边”．
17．
【分析】先由角平分线的性质得到 ，再证明 ，得到 长，再根据勾股定理
解出 ，设 ，则 ，由勾股定理得求出 长．
【详解】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
21
学科网（北京）股份有限公司，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，
解得 ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各种性质定理是解
题的关键．
18．见解析
【分析】根据 平分 ，可得 ，可证得 ，即可．
【详解】证明：∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．见解析
【分析】由平行线的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
22∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是解本题的关键．
20． ， ，证明见解析
【分析】根据已知条件可证 ，由全等三角形的性质可得： ， ．，进
而得到 ．
【详解】解： ， ，证明如下：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质判定、全等三角形的判定和性质等知识点，根据已知条件证得
是解答本题的关键．
21．证明见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出 ，再根据线段之间的数量关系，得出
，再根据“边角边”，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
23
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判
定方法．
22．见解析
【分析】利用辅助线信息，结合“ ”证明全等三角形即可．
【详解】证：（1）作 的平分线交 于点D，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）作 边上高线交 于点D，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形判定定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出图形，证明 ，即可得出 ；
（2）根据 得出 ，根据 ，得出 ，根据平行线
的判定和性质，证明 ，得出 ，从而证明 ，得出 ，证明
，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
24在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ．
25
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定
义，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明 ．
24．(1)100；
(2)① 时等边三角形，证明见解析；
② ．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）① 时等边三角形，证明 ， 即可；②结论： ．如图，作点
关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ．当点 在 的延长线上时， 的值最大，
此时 ，利用全等三角形的性质证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：∵点 为线段 ， 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：100．
（2）解：①结论： 时等边三角形．
理由：∵点 是线段 ， 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
26∴ ，
∴ ，
∴ 时等边三角形；
②结论： ．
理由：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ．
∵
则，点 在 的延长线上时， 的值最大，此时 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称
27
学科网（北京）股份有限公司的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考
常考题型．
25．(1)①见解析；②
(2) ，见解析
【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②根据三角形内角和的性质，求解即可；
（2）连接 ，通过证明 ，得到 是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：①补全图形
②∵ ， 是 的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2） ，证明：
连接 ，
28∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∵
∴
∴
∵在 和 中
∴
∴
∵ 是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线．
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∴ ．
∴
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直
平分线的性质，解题的关键是能够灵活利用相关性质进行求解．
26．(1)图见解析
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）根据题意，补全图形即可；
（2）连接 ，交 于点 ，根据点 关于射线 的对称点为点 ，得到 为线段 的中垂线，进
29
学科网（北京）股份有限公司而得到 ，利用 为等边三角形，得到三个角均为 ， ，
从而得到 ，利用三角形的内角和定理，求出 ，再用 ，即可得解；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 从而得到 ， ，
进而得到 ，从而得到 为等边三角形，根据 ，得到 即可．
【详解】（1）解，补全图形，如图所示：
（2）解：连接 ，交 于点 ，如图所示：
∵点 关于射线 的对称点为点 ，
∴ 为线段 的中垂线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，证明如下：
30延长 至点 ，使 ，连接 ，如图：
由（2）知， 为线段 的中垂线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查对称的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边三角形的三角相等，
三边相等，证明三角形全等，是解题的关键．
27．(1)见解析
31
学科网（北京）股份有限公司(2)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）根据要求作出图即可；
（2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可；
②结论： ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，证明 ，推
出 ，推出 ，可以得出结论．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）解：①∵线段 与线段 关于直线 对称，
∴ 垂直平分线段 ，
∵ 是等边三角形，
，
，
故答案为： ；
②结论：
理由如下：
32在 上截取 ，使得 ，连接
，
是等边三角形
在 和 中
，
，
即 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判
定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．(1)见解析
(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【分析】（1）根据题意，补全图形，即可求解；
（2）连接 ， ，由 ，可得点 在线段 的垂直平分线上，继而得到 是线段 的
33
学科网（北京）股份有限公司垂直平分线，可得 ，再由 平分 ，即可．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：连接 ， ，
，
点 在线段 的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
，
点 在线段 的垂直平分线上．
是线段 的垂直平分线．
．
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定，熟练掌握作已知线段的垂直平分线，作已
知角的平分线的作法是解题的关键．
29．(1)见解析
(2) ，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【分析】（1）根据题意进行作图即可；
（2）先根据作图方法可知 ， ，则点 在直线 上，再根据线段垂直平分线的性质
即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求；
34（2）证明：连接 ， ， ， ．
， ，
， 在线段 的垂直平分线上．即 是线段 的垂直平分线．
点 在直线 上，
（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．
故答案为： ，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线
上的点到线段的两个端点距离相等是解题的关键．
30．(1)正确，理由见解析
(2)图见解析，过程见解析
【分析】（1）小惠的做法正确，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）在 上取 ，把两块含 的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长
直角边交于点 ，则射线 即为 的角平分线．
【详解】（1）解：小惠的做法正确，理由如下：
由作图可知，点 到 的距离均为尺子的宽度，
∵两把完全相同的尺子，
∴尺子的宽度相同，
即点 到角两边的距离相等，
根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到： 为 的角平分线．
（2）解：在 上取 ，把两块含 的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两
条长直角边交于点 ，则射线 即为 的角平分线．
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
35
学科网（北京）股份有限公司即： 即为 的角平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握到角两边距离相等的点在
角平分线上，是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用角平分线平分角，得到 ，利用平行线的性质，得到 ，
从而得到： ，即可得到： ；
（2）利用角平分线的性质，得到 ，利用勾股定理求出 的长，再根据 ，
，求出 的长，再利用勾股定理，求出 的长即可．
【详解】（1）证明：∵ 分 交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 分 交 于点 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌
握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．
32．(1)
(2) 或
36【分析】（1）根据直角三角形中,斜边最长，判定点D到图形 的最距离是 ，根据勾股定理计算
即可．
（2）分线段 在原点的左侧和右侧两种情形计算．
【详解】（1）连接， ，根据直角三角形中斜边最长，
所以点D到图形 的最距离是 ，
因为点B，C在数轴上表示的数分别为0，2， 于点B，且 ，点D在数轴上表示的数为
5，
所以 ，
所以 ，
所以d（点D， ）为 ．
（2）当线段 在原点的左侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x， ，
所以d（线段 ， ） 时，
得到 ，
所以 ，
解得 ；
当线段 在原点的右侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x， ，
所以d（线段 ， ） 时，
得到 ，
所以 ，
解得 ， （舍去）；
综上所述，x的取值范围 或 ．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确理解新定义的内涵是解题的关键．
33． 边上高的为
37
学科网（北京）股份有限公司【分析】过 作 于 ，根据等腰三角形三线合一的性质，得出 ，再根据勾股定理，得出
，即可得出 边上高的长．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 边上高的为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等腰三角形三线
合一的性质．
34．(1)①图形见详解；②等边；③证明见详解；
(2)①图形见详解；② ；③证明见详解；
(3) ．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明 ，从而判定 是等边
三角形；
（2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点 关于直线 的对称点 一定在 上，先证明
，当且仅当点 在线段 上时（如图 所示），上式等号成立即 的最小值
等于 ，即结论得证；
（3）连接 并延长交 于 ，设 交 于点 ，先证明 最小；再根据 的值最大，
38可知点 与点 重合，点 在 上，最后证明得到 ．
【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：
②根据题意可知， 是等边三角形；
故答案为：等边；
③ 点E关于直线 的对称点是点F，
垂直平分线段 ，
，
又 是等边三角形，且 是中线，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：①如图1，
可知 ，
为直角三角形，
边是定值，要使斜边 最大，则 最大，
当 点与 点重合时， 最大，
故当点 与点 重合时，点 关于直线 的对称点即为所求点 ；
如图2所示：
39
学科网（北京）股份有限公司②在 上存在一点Q，使 的值最小，猜想这最小值等于 ；
答案为： ；
③如图 ，由已知可知：点 关于直线 的对称点 一定在 上，
，
又 是等边三角形，且 是中线，
垂直平分线段 ，
，
，
由图可知： ，
当且仅当点 在线段 上时（如图 所示），上式等号成立，
即 的最小值等于 ，
故在 上存在一点Q，使 的值最小，且这最小值等于 ；
40（3）解：如图 ，连接 并延长交 于 ，设 交 于点 ，
点E关于直线 的对称点是点F，
最小；
又 的值最大，
点 与点 重合，点 在 上，如图 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
为线段 的中点，
41
学科网（北京）股份有限公司；
故答案为： ．
【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线
的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加
适当的辅助线是解答此题的关键．
35．(1)① ；②
(2)①证明过程见详解；②
【分析】（1）①点 与点 重合，则点 ，点 是线段 中点，则 ，根据“关联点”的定
义，即可求解；
②点 ，“关联点”点 ，根据“关联点”的定义，即可求解；
（2）①证明 ，推出 ，可得结论；
②分别证明M在平行于OA的直线上和平行于x轴的直线上运动，当P、Q分别于A、B重合时，四边形
是平行四边形，进而可证四边形 是菱形，然后找出线段 的“关联点” 形成的区域求
解即可．
【详解】（1）解：①点 ， ，点 与点 重合，点 是线段 中点，
∴ ， ，
∴ ，
根据“关联点”的定义可知， 且 (点 ， ， 逆时针排列)，
如图所示，连接 ，作线段 的垂直平分线 ，且点 ，点 ，
42∴ ，点 ， ， 在一条直线上，不满足 ，故点 不是线段 的“关联
点”；
∵ ， ， ，
∴ ，且 ， ，
∴ ， ，
∴点 是线段 的“关联点”，
故答案为： ；
②∵点 ，“关联点”点 ，
∴ ，且 ，
使得 ，连接 ， ， ，如图所示，
43
学科网（北京）股份有限公司∴点 ，“关联点”点 ，则点 的坐标为 ，即点 与点 重合，
故答案为： ．
（2）解：①如图中，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，
过 上点Q作 交 于P，则 是等边三角形，
同①可证 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
44如图，当点 ， 分别在线段 ， 上运动时，线段 的“关联点” 形成的区域是边长为4的菱
形．
∴当点P，Q分别在线段 ， 上运动时，线段 的“关联点”M形成的区域的周长为16．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点与图像变换的综合，掌握“关联点”的定义，等腰三角形
的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
36．(1)见解析
(2) 的长为3
【分析】（1）根据 平分 ， 证明 ，最后根据等角对等边即可得出答案；
（2）过点D作 于点F，根据角平分线的性质得出 ，证明
，得出 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理
列出方程，求出x的值即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点D作 于点F，如图所示：
45
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角
平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明 ，根据勾股定理列出方程．
46
