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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京二中教育集团 2023—2024 学年度第二学期
初一数学期末考试试卷
考查目标：
1．知识：人教版七年级下册《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元
一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分
类讨论能力．
A卷面成绩 （满分90分） B过程性评价（满分10分）学业成绩总评 A B（满分
100分）
考生须知：
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷7页，答题卡8
页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个象限点的坐标特征，点 的横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特
征，从而得到答案．
【详解】解：根据各个象限点的坐标特征，点 的横坐标为正、纵坐标为负，
点 在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查各个象限点的坐标特征，熟记这些特征是解决问题的关键．
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2. 实数4的算术平方根是（ ）
A. B. 2 C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的性质和应用，掌握算术平方根的含义是解题的关键．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个非负数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的
算术平方根，记为 ，根据定义求解即可．
【详解】解：实数 的算术平方根是： ，
故选：B．
3. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）
A. 调查《新闻联播》的全国收视率 B. 检测某品牌婴儿奶粉的质量
C. 检测“神舟十八号”飞船的零部件质量 D. 调查我国野生东北虎的数量
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较
多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A．调查《新闻联播》的全国收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．检测某品牌婴儿奶粉的质量，适合抽样调查，故本选项不合题意
C． 检测“神舟十六号”飞船的零部件质量，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；；
D．调查我国野生东北虎的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
4. 如图，下列能判定 的条件是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判
断即可．
【详解】解：A、 ，则 ，不能判断 ，本选项不符合题意；
B、 ，则 ，不能判断 ，本选项不符合题意；
C、 ， 不能判断 ，本选项不符合题意；
D、 ，则 ，本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，点 是硬币圆周上一点，点 与数轴上2所对应的数重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若
将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点 恰好与数轴上点 重合．则点 对应的实数是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上的点与实数一一对应，解题关键是求出圆的周长．求出圆的周长即可得到答
案．
【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴圆的周长是 （个单位），
的
∵A与数轴 数2对应的点重合，
∴点 表示的数是 ．
故选C．
6. 北京中轴线创建于元代，形成、完善于明清两代，是北京城市建筑东西对称布局 的对称轴线．若按图所
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示，表示东直门的点的坐标为 ，表示宣武门的点的坐标为 ，则表示下列地点的点的大致
坐标正确的是（ ）
A. 正阳门 B. 永定门 C. 广渠门 D. 西直门
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是利用坐标表示位置，先建立坐标系，再根据坐标系可得答案．
【详解】解：如图，∵按图所示，表示东直门的点的坐标为 ，表示宣武门的点的坐标为 ，
∴建立如下图的坐标系，
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∴正阳门 ，永定门 ，广渠门 ，西直门 ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
7. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1，图2中各行从左到右列出的算筹
数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．如图1表示的方程组是 ，在图2所示的算
筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（
）
A. | B. || C. ||| D. ||||
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是
解题关键，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为 ，列出方程组求解即可．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数字为 ，则有：
，
将 代入得 ，
可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出 代表的图形为“|”．
故选：A．
8. 2024年2月29日，国家统计局发布了《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，如图
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是公报中发布的全国“2019-2023年国内生产总值及其增长速度”统计图．下列说法中正确的有（ ）
①2020年，我国国内生产总值突破了100万亿元；
②2023年的国内生产总值比2019年的国内生产总值增加了 以上；
的
③2021年 国内生产总值增长速度最快，与前一年相比国内生产总值增加了13000多亿元；
④2019年到2023年，国内生产总值的增长速度虽然有快有慢，但是国内生产总值始终上升．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查折线统计图于条形统计图综合，解题的关键是从统计图中获取有用的信息．
根据图象中的数据逐项求解判断即可．
【详解】①2020年，我国国内生产总值突破了100万亿元，正确；
②2023年的国内生产总值比2019年的国内生产总值增加了 ，故②错误；
③ ，
∴2021年的国内生产总值增长速度最快，与前一年相比国内生产总值增加了13000多亿元，正确；
④2019年到2023年，国内生产总值的增长速度虽然有快有慢，但是国内生产总值始终上升，正确．
综上所述，正确的有3个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
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9. 若点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是2，写出一个满足条件的点 坐标_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到 x轴距离为点的纵坐
标的绝对值，点到y轴距离为点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离与横纵坐标的关系可得到结果．
【详解】解：由点P到x轴的距离是3，可得点P的纵坐标为3或 ，
由点P到y轴的距离是2，可得点P的横坐标为2或 ，
因此点P的坐标是 或 或 或 ，
故答案为： （答案不唯一）．
10. 已知二元一次方程 ，写出该方程的所有正整数解______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．先用 x的代数
式表示y，再得出正整数解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该方程的所有正整数解为 ， ，
故答案为： ， ．
11. 如图，若 ， ， 为垂足，那么 ， ， 三点在同一直线上，其理由是__________．
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【答案】 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】
【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答
案．
【详解】解：∵ ， ， 为垂足，
∴ ， ， 三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
12. 若不等式 的解集是 ，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据系数化为1时不
等号方向改变列式求解即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围是
_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得
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是解题关键．利用加减消元法求得 ，再建立不等式求m即可；
【详解】解：
由① ②，得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：
14. 若 ，则 的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是绝对值的含义，一元一次不等式组的解法，根据绝对值的含义可得 ，
再解不等式组即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 在数轴上对应的数在 与 之间，
∴ ，
解得： ；
故答案为：
15. 根据下表回答问题：
16.
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.6 16.7 16.8
5
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25 259.2 262.4 265.6 268.9 2.72 275.5 278.8 282.2
6 1 4 9 6 25 6 9 4
① 的平方根是_______；
② ________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和平方根，观察表格发现规律是解题的关键．
（1）直接利用平方根的定义结合表格中数据得出答案；
（2）结合表格中数据 即可得出答案．
【详解】解：（1）由表中数据可得：278.89的平方根是： ；
（2） ，
∴ ．
故答案为： 和 ．
16. 如图，点 ，点 ，点 ，点 ，…，按照这样的规律下去，点 的坐标
是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解
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题的关键．根据题意得： ， ， ， ，……，由此发现：脚标为偶数的
点的坐标的规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ， ， ，……，
由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为 ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
三、解答题（共68分，其中第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每
题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减．
【详解】
．
18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法
消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．
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【详解】
得：
解得
将 代入②得：
解得 ，
∴方程组的解为： ．
19. 解不等式 ，并将解集表示在数轴上．
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是不等式的解法，再数轴上表示不等式的解集，先去分母，去括号，再移项，合并同
类项，最后把未知数的系数化为1，最后在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
整理得： ，
解得： ；
在数轴上表示不等式的解集如下：
．
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20. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
21. 完成下面的证明，在括号中填写推理依据．
如图，已知 ， ，垂足分别为 ， ．
求证： ．
解： ， （已知）
（ ）
（同位角相等，两直线平行）
（ ）
（已知）
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（ ）
（ ）
（ ）
【答案】垂直定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平
行，同位角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据垂直定义可得 ，从而可得
，然后利用平行线的性质可得 ，从而利用同角的补角相等可得 ，进而
可得 ，最后利用平行线的性质可得 ，即可解答．
【详解】解： ， （已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：垂直定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线
平行，同位角相等．
22. 如图，直线 ， 交于点 ，
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（1）过点 画 的垂线 ，其中点 位于 上方，点 位于 下方；
（2）画 的平分线 ；
（3）当 时，求 ．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是画垂线，画角平分线，角的和差运算，熟练的画图是解本题的关键．
（1）利用三角尺过点 画 即可；
（2）利用量角器画 即可；
（3）由对顶角的性质可得 ，证明 ，可得
，结合 平分 ，可得 ，再进一步可得答案．
【小问1详解】
解：如图，直线 即为所求；
．
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；
．
【小问3详解】
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解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）在 中，点 经过平移后的对应点为 ，将 作同样的平移得到 ，画出平移
后的 ；
（2）将点 向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 ，则
， ；
（3）点 是坐标轴上的点，当 与 的面积相等且点 为格点时，直接写出点 坐标．
【答案】（1）见解析 （2） ，
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（3） 或
【解析】
【分析】此题考查了平移作图，坐标与图形，平移的性质，熟知图形的平移不变性的性质是解答此题的关
键．
（1）根据平移的性质画图即可；
（2）根据题意得到 ， ，进而求解即可；
（3）过点C作 与坐标轴的交点即为所求的点D，进而求出点D的坐标即可．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
∵将点 向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 ，
∴ ，
∴ ， ；
【小问3详解】
如图所示，过点C作 与y轴交于点 ，与x轴交于点
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∵
∴ ， 与 的面积相等
∴点 的坐标为 或 ．
24. 为了落实习近平总书记提出的科技创新，科教兴国的发展战略，某校组织学生参加了自然科学知识竞
赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计
表和统计图，请根据图表信息解答以下问题．
组别 成绩 分 频数
组 6
组 9
组 15
组
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（1）本次调查抽取的样本容量是 ，表中 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“ 组”对应的圆心角的度数约是 ；（精确到度）
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优秀”，请估计该校2000人中有多少同学可以在本次竞赛
中获得“优秀”．
【答案】（1） ；
（2）画图见解析 （3）
（4） 人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图数据分析，利用样本估计总体．
（1）根据题意利用条形统计图和扇形统计图中已知数据作除法即可得到答案；
（2）求出 的值再画图即可；
（3）由 乘以“ 组”占比即可；
（4）先求出成绩在90分以上（包括90分）学生的占比，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
解：根据题意得： （人），
（人）；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴补全图形如下：
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；
【小问3详解】
解： ；
【小问4详解】
解：D组占比： ，而成绩在90分以上（包括90分）的为“优秀”，
∴ （人），
答：估计该校2000人中有 位同学可以在本次竞赛中获得“优秀”．
25. 《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中明确指出：“健康体魄是青少年为
祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．”学校为加强学生的体育锻炼，开展球类运
动和比赛，需要购买若干个排球和篮球．两次购买排球和篮球的支出情况如下表：
排球 篮球 总支出
（个） （个） （元）
第一
2 1 240
次
第二
3 2 410
次
（1）求排球和篮球的单价各多少元？（请列方程组求解）
（2）学校决定一次性购买排球和篮球共60个，且总费用不超过4500元，恰巧购买排球有9折促销活动，
学校最少可以购买多少个排球？（请列不等式求解）
【答案】（1）排球的单价为70元，篮球的单价为100元
（2）学校最少可以购买41个排球
【解析】
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【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设排球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据第一次和第二次的总支出列方程组求解即可；
（2）设购买m个排球，则购买篮球 个，根据“总费用不超过4500元”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设排球的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：排球的单价为70元，篮球的单价为100元；
【小问2详解】
解：设购买m个排球，则购买篮球 个，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴最小整数m为41，
答：学校最少可以购买41个排球．
26. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为 ，将不等式（组）的解集记为 ，给出定义：若
中的数都在 内，则称 包含 ．如，方程组 的解为 ，记 ，不等式
的解集为 ，记 ．因为0，2都在 内，所以 包含 ．
（1）将方程组 的解中的所有数的全体记为 ，将不等式 的解集记为 ，请问 能否
包含 ？说明理由；
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（2）将方程组 的解中的所有数的全体记为 ，将关于 的不等式组 的解集记为
，若 包含 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 能包含 ，理由见详解．
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组等知识．
（1）分解解出二元一次方程组的解以及一元一次不等式的解，标准好A，B，根据定义判断即可．
（2）解二元一次方程组得出 ，解一元一次不等式，得出 ，根据 包含 ，
则： ，解不等式组求出关于a的解集即可．
【小问1详解】
解：
解得： ，
，
∴
解 ，得 ，
，
∴
，3都在 内，
∵
所以B包含A．
∴【小问2详解】
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解： ，
解得： ，
∴
解：
解得： ，
，
∴
若 包含 ，则： ，
解得：
．
∴
27. 已知直线 ，点 ， 分别为 ， 上的点， 为平面内一点， ， 平分
交 于点 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，直接写出 与 的数量关系．
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【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，垂直的概念，
（1）首先根据平行线的性质和角平分线的概念得到 ，，然后求出
，过点C作 ，然后利用平行线的性质求解即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，然后同（1）的方法分别求解即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴
∵ 平分 交 于点
∴
∴
如图所示，过点C作
∵
∴
∴
∵
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∴
∴
∵
∴ ；
【小问2详解】
如图所示，过点C作
∵ ，设
∴
∵ 平分 交 于点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
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∴
∴ ；
如图所示，过点C作 ，
∵ ，设
∴
∵ 平分 交 于点
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
综上所述， 与 的数量关系为 或 ．
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28. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，点 ，定义 与 中的较大值为
点 ， 的“绝对距离”，记为 ．特别地，当 时，规定 ．
（1）已知 ， ，
① ；
②点 是坐标系内一动点，当 时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点 坐标；
（2）已知点 ，点 ，当 时， 的最小值是 ， 的
最大值是 ；
（3）已知点 ，点 ，点 在线段 上，点 的坐标是 ，点 向右平移1个单
位长度得到点 ，对于线段 上任意一点 ，存在点 满足 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；② ；
（2） 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）
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【解析】
【分析】（1）①直接利用定义计算即可；②先判断符合条件的A的位置，再结合图形解答即可；
（2）设 ，当 时，分两种情况讨论，结合新定义可得答案；
（3）根据点的坐标特点分两种情况讨论；当 在第四象限时，当 在第二象限时，再进一步结合图形与
新定义可得答案．
【小问1详解】
解：①∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②当 时，
∴满足条件的 点如图所示；
∴满足条件的绝对距离最小时的点 坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵点 ，点 ，设 ，
当 时，
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①当 ， ，
解得： 或 ， ，
∴ 或 ； ，
∴ 的最大值为 ，最小值为 ；
当 ， 时，
解得： 或 ， ；
∴ 或 ， ；
∴ 的最大值为 ，最小值为 ；
综上： 的最大值为 ，最小值为 ；
【小问3详解】
解：如图，当 在第四象限时，
当 时，满足条件，
∴此时 ，即 ，
如图，当 在第二象限时，
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由平移可得： ，
此时 满足条件，
∴ ，即 ，
综上： ；
【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，平移的性质，理解新定义的含义，熟练的利用数形结
合的方法解题是关键．
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