文档文本内容
北京二中教育集团 2022-2023 学年度第二学期
初一数学期中考试试卷
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡6
页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 在平面直角坐标系中，点P（－1，4）位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【详解】解：点P（-1，4）位于平面直角坐标系中的第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标规律是解题关键．
2. 4的算术平方根是（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】4的算术平方根是2．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
的
3. 若 ，则下列不等式成立 是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可.
【详解】A. ∵ ， ，故成立；
B. ∵ ， ，故不成立；
C. ∵ ， ，故不成立；
D. ∵-1>-2，但 ，故不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
4. 如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM= ∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题
的关键．
5. 已知 是二元一次方程 的一个解，那么 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值.
【详解】将 代入方程
得2a+2=6
解得a=2
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，
盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出
7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，列
出方程组，即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是 ， ，若线段 ，则点C所表示的实数是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 的长度，根据 ，得到 的长度，再用 加 的长度，即可解答．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C所表示的实数为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用数轴上的点对应实数表示两点之间的距离，解题的关键是利用数形结合思想
解决问题．
8. 定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分2x≥x+3和2x<x+3两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由新定义得 或 ，
解得x≥3或-2<x<3．
故选∶ C．
【点睛】此题考查的是新定义，一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，熟练求解一元一次不等式组是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根
的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
10. 如图，从位置P到直线公路 共有四条小道 、 、 、 ，若用相同的速度行走，能最快
到达公路 的小道是 ，其中蕴含的数学原理是___________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短，即可求解
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据垂线段最短得，能最快到达公路 的小道是 ，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查了直线外一点到直线的距离，熟练掌握直线外一点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
11. 已知关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先解一元一次不等式，求出解集，再观察数轴上解集为： ，通过对比即可求出 的值．
【详解】∵ ，
∴ ，
观察数轴可知： ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，通过观察数
轴确定不等式的解集．
12. 在一本书上写着方程组 的解是 ，其中y的值被墨渍盖住了，不过，我们可解得
出p＝___________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：将x=0.5代入第二个方程可得：0.5+y=1，则y=0.5，
将x=0.5和y=0.5代入第一个方程可得：0.5+0.5p=2，
解得：p=3．
故答案为：3
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学科网（北京）股份有限公司13. 如图，在宽为20米，长为30米的长方形花园中，要修建4条同样宽的长方形道路，余下部分进行绿
化．根据图中数据，计算绿化部分的面积为___________平方米．
【答案】504
【解析】
【分析】将绿化部分看作长为 米，宽为 米的长方形，根据长方形的面积公式进行计算即
可．
【详解】解： （平方米），
即绿化部分的面积为504平方米．
故答案为：504．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据平移得出绿化部分为长 米，宽
米的长方形．
14. 如图，将长方形 折叠，折痕为 ， 的对应边 与 交于点 ，若 ，
则 的度数为____．
【答案】 ##75度
【解析】
【分析】根据折叠的性质及平行线的性质求解即可．
【详解】由折叠性质可知： ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了翻折变化，解题的关键熟记翻折变化的性质．
15. 经过点 与点 的直线平行干x轴，且 ，则点N的坐标是___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题根据两点在同一平行于 轴的直线上确定点N的纵坐标，继而根据两点距离确定点N的横坐
标．
【详解】由已知得：点N的纵坐标为 ，
设点N的横坐标为 ，则M、N的距离可表示为 ，
∵ ，
∴ ，
求解得： 或 ，
故点N坐标为 或 ．
故填： 或 ．
【点睛】本题考查点坐标的求法，解题关键在于理清两点之间的位置关系，其次此类型题目通常需要分类
讨论，确保结果不重不漏．
16. 某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为
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学科网（北京）股份有限公司小时，例如，如果加工5吨原材料，则加工时间为 小时；在一天内，B生产线共加工
b吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将6吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产
线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线___________原材料；第二天开工前，该
企业按第一天的分配结果分配了6吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨
原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n的数量
关系是___________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】设分配到 A 生产线 x 吨原材料，则分配到 B 生产线 吨原材料，根据时间相同列出
，然后求解即可； 第二天开工前，分配给A生产线 吨原材料，分配给B生产
线 吨原材料，同样根据时间相同列出 ，进而可得m与n之间的数量关
系．
【详解】解：设分配到A生产线x吨原材料，则分配到B生产线 吨原材料，
根据题意得： ，
解得： ， 此时 ，
第二天开工前，给A生产线分配了 吨原材料，
给B生产线分配了 吨原材料，
∵加工时间相同， ∴ ，
解得： ．
故答案为：2； ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23题每题5分，第20-21、24-26题每题6分，第27
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学科网（北京）股份有限公司题7分，第28题6分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质以及立方根的性质和算术平
方根的性质，准确计算．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
①×2－②，得：x=3
将x=3代入①，得：6-y=2，
解得：y=4．
所以方程组的解为：
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司19. 解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求解出不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】
，
把解集在数轴上表示出来如下：
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关
键是熟知不等式的性质．
20. 解不等式组： 并求整数解．
【答案】﹣1＜x≤2，不等式组的整数解是0，1，2．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【详解】由①得 x≤2，
由②得 x﹣2＜3x，
x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
∴不等式组的整数解是0，1，2．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司21. 如图，直线 ，点F是直线 上一点，过点F的射线 交 于点E， 平分 ．
当 时，求 的度数．
解：∵ 平分 ，
∴ ___________①（___________②），
∵ ，
∴ ．
∵直线 与 交于点E，
∴ ___________③___________ （_______________④），
∵ ，
∴ （___________⑤），
∴ ___________⑥．
【答案】① ，②角平分线的定义，③ ，④对顶角相等，⑤两直线平行，同旁内角互补，⑥
【解析】
【分析】根据题干给出的思路，结合平行线的性质即可作答．
【详解】∵ 平分 ，
∴ （角平分线的定义），
∵ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵直线 与 交于点E，
∴ （对顶角相等），
∵ ，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∴ ，
故：① ，②角平分线的定义，③ ，④对顶角相等，⑤两直线平行，同旁内角互补，⑥ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解答本题的关键．
22. 在方程组 中，若 ， 满足 ，求 的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】我们可以根据已知条件先解出题目所给的所给的方程组，然后再根据已知条件列出关于m的不等
式，求出解集即可得出答案.
【详解】解：
解得：
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的重点是求解二元一次方程组和一元一次不等式的解法，解决本题的关键在于数量掌握
二元一次方程组和一元-次不等式的解法，解题时要把两者结合起来求解.
23. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．若
三角形ABC中任意一点 ，平移后对应点为 ，将三角形 作同样的平移得到三角
形 ，点A，B，C的对应点分别为 ， ， ．
（1）在图中画出平移后的三角形 ；
（2）三角形 的面积为___________；
（3）点Q为y轴上一动点，当三角形 的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）7
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由点 的对应点 坐标知，需将三角形向左平移1单位、向上平移3单位，然
后运用此平移方式即可解答；
（2）利用割补法求解可得答案；
（3）设点Q的坐标为 ，则 ，然后用三角形的面积公式列关于a的方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵三角形ABC中任意一点 ，经平移后对应点
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学科网（北京）股份有限公司∴三角形向左平移1单位、向上平移3单位
∴据此平移方式作图如下：
即为所求；
【小问2详解】
解： 的面积 ；
【小问3详解】
解：设点Q的坐标为 ，则 ，
∴三角形 的面积为 ，
解得： 或5，
∴点Q坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
24. 如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求画图并
猜想证明：
（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；
（2）过点E画EF∥OC，交CD于点F．请你猜想∠OAB与∠CEF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）画图见解析；（2）∠OAB=∠CEF，证明见解析．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】(1)按照题目要求正确的画图即可；
(2)根据平行线的性质与判定即可得到答案.
【详解】解：(1)按要求画图如下图：
(2)∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
证明：∵AB⊥ON，CE⊥ON（已知），
∴∠OBA=∠OEC=90°（垂直定义）．
∴AB∥CE（同位角相等，两条直线平行）．
∴∠OAB=∠OCE（两直线平行，同位角相等）．
∵EF∥OC，
∴∠OCE=∠CEF（两直线平行，内错角相等）．
∴∠OAB=∠CEF（等量代换）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键在于能够熟练运用相关知识.
25. 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
A种型号 B种型号 销售收入
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价．
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能
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学科网（北京）股份有限公司采购多少台？
【答案】（1） ， 两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元
（2）超市最多采购A种型号电风扇10台
【解析】
【分析】（1）设 ， 两种型号电风扇的销售单价分为 元， 元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设采购 种型号电风扇 台，则采购 种型号电风扇 台，根据题意，列出不等式，进行求解
即可．
【小问1详解】
解：设 ， 两种型号电风扇的销售单价分为 元， 元，
由题意，得 解得
答： ， 两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元．
【小问2详解】
设采购 种型号电风扇 台，则采购 种型号电风扇 台．
依趣意，得 ，解得 ．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确的列出方程组
和不等式，是解题的关键．
26. 对任意的非负实数m有如下规定：用 表示不大于m的最大整数，称为m的整数部分，用 表示
的值，称为m的小数部分．例如： ， ， ， ．请回答下
列问题：
（1） ___________， ___________；
（2）当 时，以下四个命题中为真命题的是___________（填序号）；
① ；
② ；
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学科网（北京）股份有限公司③ ；
④若 （a为整数），则 ．
（3）当 时，解关于x的方程 ．
【答案】（1） ，
（2）①②④ （3） 或者
【解析】
【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；
（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;
（ 3 ） 根 据 ， ， 即 ， 可 变 为 ：
，整理： ，则有 ，根据 ，
可得 ，即有 ，或者 ，问题随之得解．
【小问1详解】
根据题意： ，即： ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
∵ 表示 的值，称为m的小数部分，
∴ ，即①正确；
根据定义可得： ，即②正确；
∵ ，
∴ ，
∴即③错误，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴即④正确；
故正确的有：①②④；
【小问3详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，可变为： ，
整理： ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，或者 ，
当 时， ，即 ，
∴ ；
当 时， ，即 ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司即： 或者 ．
【点睛】本题是阅读理解题，还考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，
求出不等式组的解集．
27. 如图，点P为直线 外一点，过点P作直线 ．现将一个含 角的三角板 按如图1
放置，使点F、E分别在直线 、 上，且点E在点P的右侧， ， ，设
．
（1）填空： ___________ ；
（2）若 的平分线 交直线 于点H，如图2．
①当 时，求 的度数；
的
②在① 条件下，将三角板 绕点E以每秒 的转速进行顺时针旋转，同时射线 绕点P以每秒
的转速进行顺时针旋转，射线 旋转一周后停止转动，同时三角板 也停止转动．在旋转过程中，
当 ___________秒时，有 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）① ，② 或者
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补以及直角三角形中两锐角互余等知识即可作答；
（2）①先求出 ，根据 ，可得 ，即可得
，再根据 平分 ，可得 ，结合
、 ，可得 ；②根据①先求出 ，分类讨论：
旋转中，当点 旋转至直线 上方时，存在 ，根据运动特点可知，
， ，根据 ，即可列方程，解方程问题得解；旋转中，
当点 旋转至直线 下方时，存在 ，根据运动特点可知， ，
，同理可列方程，解方程问题得解．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
①∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②中有： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴初始时 ，
如图，旋转中，当点 旋转至直线 上方时，存在 ，
根据运动特点可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即当 秒时，有 ；
如图，旋转中，当点 旋转至直线 下方时，存在 ，
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司根据运动特点可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即当 秒时，有 ；
综上：当 或者 秒时，有 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等知识，理解运动的特点，
掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
28. 对于平面直角坐标系中的任意一点 ，给出如下定义：记 ， ，则称
点 为点P的“ 阶斜映点”．
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学科网（北京）股份有限公司例如图1中，点 的“2阶斜映点”为点 ．
（1）点 的“ 阶斜映点”的坐标是___________；
（2）已知点 ， ，
①若线段 上存在点P，其“3阶斜映点” 恰好落在y轴上，求n的取值范围；
②如图2，正方形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，若对于线
段 上任意一点P，都存在a，使点P的“a阶斜映点” 恰好落在正方形 的边上，直接写出n
的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②n的取值范围是 或
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；
（2）①设点 ，根据点P在线段 上， ， ，得出 ，得出点P
的“3阶斜映点” ，根据点 在y轴上，得出 ，求出 ，得出 ，
求出n的取值范围即可；
②先根据新定义得出点P 的“a阶斜映点” ，分四种情况讨论：当点 在正方形
的边 上时，当点 在正方形 的边 上时，当点 在正方形 的边 上时，当点
在正方形 的边 上时，分别求出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：点 的“ 阶斜映点”坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：①设点 ，
∵点P在线段 上， ， ，
∴ ，
根据新定义可知，点P的“3阶斜映点” ，
在
∵点 y轴上，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
即n的取值范围是 ；
②根据新定义可知，点P的“a阶斜映点” ，
当点 在正方形 的边 上时， 且 ，
由 得 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
当点 在正方形 的边 上时， 且 ，
由 得 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ；
当点 在正方形 的边 上时， 且 ，
由 得 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
当点 在正方形 的边 上时， 且 ，
由 得 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
综上分析可知，n的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解题的关键是理解题意，列出相应的不等式
或不等式组，准确计算．
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