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北京十二中 2022－2023 学年第二学期期中考试试题
初一数学
（满分100分，时间120分钟）
一、选择题（本题共24分，每小题2分）
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】实数4的算术平方根是 ．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平
方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
2. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断．
【详解】解：A、 是有理数，本选项不符合题意；
B、 是有理数，本选项不符合题意；
C． 是无限不循环小数，是无理数，本选项符合题意；
D． 是整数，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
如π，6， （每两个8之间依次多1个0）等形式．
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学科网（北京）股份有限公司3. 若 ，则点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解： ，
，
点 在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
4. 在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得出答案．
【详解】解：点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
故选：A．
的
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于 轴对称 点的横坐标互为相反数，纵坐标不变
是解题的关键．
5. 估算 的值在（ ）
A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的值在3和4之间．
故选：D
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到 是解题的关键．
6. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用算术平方根和立方根的求法分别计算即可判断．
【详解】解：A、 ，故错误，不符合题意；
B、 ，故错误，不符合题意；
C、 ，故正确，符合题意；
D、 ，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7. 如图，计划把河水引到水池 中，先作 ，垂足为 ，然后沿 开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
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学科网（北京）股份有限公司直
【答案】C
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一
点的连线中，垂线段最短；
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此，沿 开
渠，能使所开的渠道最短．
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂线段的定义和性质，掌握连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
是解题关键．
8. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行
.
D 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理、点到直线的距离的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，为真命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，为真命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理、点到直线的距离的定
义是解答此题的关键．
9. 如图，直线 ，直角三角板的直角顶点 在直线 上，一锐角顶点 在直线 上，若 ，
则 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，先求出∠3的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案.
【详解】如图，
∵ ， ，
∴ ，
又∵直线 ，
∴ ，
故选B
【点睛】本题考查了互为余角 的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10. 如右图，由 可以得到（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的性质，直接得结论．
【详解】解：由AB∥DC，
可得到∠2=∠4．
理由是：两直线平行，内错角相等．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线 的性质．掌握平行线的性质是解决本题的关键．
11. 当实数m，n满足 时，称点 为“创新点”，若以关于x，y的方程组
的解为坐标的点 为“创新点”，则a的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组，可到 点坐标为 ，再由创新点的定义可得
，即可求 的值．
【详解】解：方程组 ，
① ②，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入①，得 ，
，
点 创为新点，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法，理解新定义，并能将
新定义转化为所学知识解题是解决本题的关键．
12. 如图， ， ， ， ， ，…．按此规律，点 的坐标为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】经观察分析所有点，除 外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：
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学科网（北京）股份有限公司角标 =循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点 在第二象限；第二象限的点
， ， ， 观察易得到第二象限点的坐标 的坐标为 （n为正
整数），进而求解即可．
【详解】解：由题可知
第一象限的点： …角标除以4余数为2；
第二象限的点： …角标除以4余数为3；
第三象限的点： …角标除以4余数为0；
第四象限的点： …角标除以4余数为1；
由上规律可知： ，
∴ 在第二象限．
观察可得， ， ， ，
∴可推导一般性规律：第二象限点 的坐标为 （n为正整数），
∴点 的坐标为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据点坐标的特点推导出一般性规律．
二、填空题（本题共26分，每小题2分）
13. 的相反数是__________； 的绝对值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
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学科网（北京）股份有限公司的绝对值是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是
它的相反数，0的绝对值是0．
14. 64的平方根是___________．
【答案】 ##8和-8##-8和8
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：64的平方根是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的定义：一个正数如果有平方根，那么必
定有两个，它们互为相反数．
15. 已知方程 ，用含x的式子表示y，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】把 看作已知数求出 即可．
【详解】解：方程 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
16. 实数a，b满足 ，则 的值为___________．
【答案】﹣2
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性得a﹣1＝0，2a＋b＝0，先求出a的值，再求出b的
值可．
【详解】解：∵ ≥0， ≥0，
∴a﹣1＝0， ，
解得a＝1，b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，根据非负数之和等于0时，各项都等于0，
这是解题的关键．
17. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可确定出原式的值．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
18. 如图所示，数轴上表示2， 的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是______ ．
【答案】 ##- +4
【解析】
【详解】∵数轴上表示2， 的对应点分别为C、B，
∴BC= −2，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC= −2，
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学科网（北京）股份有限公司∴点A表示的数为2−( −2)=4− ，
故答案为：4− .
19. 在同一平面内，直线 与直线 相交于点O， ，射线 ，则 的度数
为__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，根据垂直的定义，角的加减运算即可．
【详解】解：情况一，如图1，
，
，
，
，
；
情况二，如图2，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
；
综上所述， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义和对顶角的性质，分两种情况讨论是解答此题的关键．
20. 如图a，ABCD是长方形纸带 ， ，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成
图c，则图c中的 的度数是__________．
【答案】120°##120度
【解析】
【分析】由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝20°，进而得到图b中∠GFC＝140°，依据图c中的∠CFE＝
∠GFC﹣∠EFG进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
21. 在平而直角坐标系 中，已知 ，线段 轴，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司______．
【答案】2或
【解析】
【分析】根据线段 轴，可知两点纵坐标相等；再根据 列式 ，计算即可求解.
【详解】解：∵ ，线段 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 、 时， ；
当 、 时， ；
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”P到y轴的距离
为2，则点P的坐标为___．
【答案】（2，2），（-2， ）
【解析】
【分析】直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【详解】解：∵某个“美丽点”到y轴的距离为2，
∴x＝±2，
∵x+y＝xy，
∴当x＝2时，
则y＋2＝2y，
解得：y＝2，
∴点P的坐标为（2，2），
当x＝－2时，
则y－2＝－2y，
解得：y＝ ，
∴点P的坐标为（－2， ），
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学科网（北京）股份有限公司综上所述：点P的坐标为（2，2）或（－2， ）．
故答案为：（2，2）或（－2， ）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
23. 以方程组 的解为坐标的点 在平面直角坐标系中的第_________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】解二元一次方程组，利用加减消元解方程组的解，根据解确定象限。
【详解】
由①+②的
4x=8，x=2
把x=2代入①得
y=-4
点(x,y)直角坐标系中的坐标是（2，-4）
根据各象限的取值，位于第四象限
答案：四
【点睛】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数y=kx+b，y=kx+b，其图象的
1 1 1 2 2 2
交点坐标(x，y)中x，y的值是方程组 的解．
24. 若关于 的二元一次方程组 的解为正整数，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】表示出方程组的解，由方程组的解为正整数确定出正整数k的值即可．
【详解】解：方程组 ，
① ②得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
由方程组的解为正整数，得到 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，表示出方程组的解是本题的突破点．
25. 已知整点（横纵坐标都是整数的点）P在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳
跃）．例如：如图，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，但是到达不了点C．设 做一次跳马运动
到点 ，做第二次跳马运动到点 ，做第三次跳马运动到点 ，…，如此依次进行．
若已知点 ，则点 的所有可能坐标为___________．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】点 到点 经过两次运动，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化
1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，分类讨论跳马即可得到答案．
【详解】解：由题意知，点 到点 经过两次运动，则有2种情况，
一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；
另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
∴ 可能的坐标为： 或 ，
故答案为： 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查点的坐标规律，找准点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
三、解答题（本题共50分，第26题7分，第27题6分，第28－29题每题4分，第30－31
题每题5分，第32－33题每题6分，第34题7分）
26. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先去括号，再合并计算；
（2）先算开方，化简绝对值，最后计算加减法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，立方根，正确利用上述法则与性质解答是解题的关
键．
27. 解方程组：
（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元法求解可得；
（2）利用加减消元法求解可得．
【小问1详解】
解： ，
将①代入②得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
方程组的解为 ；
【小问2详解】
，
，得： ，
将 代入②得： ，
方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
28. 已知： 与 是某正数的两个不相等的平方根， 的立方根是 ．求：
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学科网（北京）股份有限公司（1） 的值；
（2） 的算术平方根．
【答案】（1） ，
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
（2）先求出 ，再计算算术平方根即可．
【小问1详解】
解：由题意可知： ，
，
的立方根为 ，
，
；
【小问2详解】
由（1）可知： ， ，
，
的算术平方根是4．
【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
29. 完成下面的证明过程：
已知：如图， ， ， ，求证：
证明：∵ ， （已知）
∴
∴ （ ）
又∵ （已知）
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学科网（北京）股份有限公司”．___ （内错角相等，两直线平行）
∴ （ ）
∴ （ ）
【答案】同旁内角互补，两直线平行；AD；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】求出∠D+∠EFD=180°，根据平行线的判定得出AD∥EF和 AD∥BC，即可得出EF∥BC，根据
平行线的性质得出即可．
【详解】∵∠D=120°，∠EFD=60°（已知），
∴∠D+∠EFD=180°，
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
又∵∠1=∠2（已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴EF∥BC（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠3=∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；AD；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
30. 已知：如图，在直角 中， ，点D为线段 上一点，过点D作 ，垂足为
E；过点D作 ，交 于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）依题意补全图形；
（2）请你判断 与 的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）根据 得到 ，再根据平行线的性质得到 ，等量代换即可证
明．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，能综合应用这些定理是解题的关键．
31. 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 个 小 方 格 的 边 长 代 表 1 个 单 位 长 度 ， 已 知
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）请在如图所示的坐标系中描出点 并画出 ；
（2）将 向左平移3个单位长度，则在平移的过程中，线段 扫过的图形的面积为_______．
（3）若D为y轴上一点，且 的面积为4，则点D的坐标为_________．
【答案】（1）见解析 （2）6
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据点 即可在网格中画出 ；
（2）根据 向左平移3个单位长度，即可求出线段 扫过的图形面积；
（3）根据D为y轴上一点，且 ，即可求出D点坐标．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
；
【小问2详解】
解：线段 平移扫过的图形：是一个以3为底，2为高的平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ；
故答案为：6；
【小问3详解】
解：设点D到 的距离为h，
∵D为y轴上一点，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴点D到 的距离为2，
∴点D的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、三角形的面积、坐标与图形变化-平移，解决本题的关键是掌
握平移的性质．
32. 【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形： ，即 ，把方程①代入③得： ，所
以 ，将 代入①得 ，所以原方程组的解为 ．
【解决问题】
（1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组 ；
（2）已知x，y满足方程组 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，求得 ，再整体代入 即可得到答案．
【小问1详解】
解： ，
将方程 变形得： ，
把方程 代入 得： ，
所以 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解： ，
把方程 变形，得到 ，
然后把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左
边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个
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学科网（北京）股份有限公司未知数．
33. 已知： ，P为平面内任意一点，连接 ．
（1）如图1，若点P为平行线之间一点，且满足 ，则 的度数为_____；（直
接写出答案）
（2）拖动点P至如图2所示的位置时，试判断 和 之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，设点E为 延长线上一点，作 和 的角平分线交于点Q，请你试
写出 与 之间的数量关系，并简要说明理由．
【答案】（1）75
（2）∠BAP=∠APC+∠C，见详解
（3）∠AQC+ ∠APC=90°，见详解
【解析】
【分析】（1）过点P作PF∥AB，根据平行线的性质即可得解；
（2）延长BA交PC于点G，根据平行线的性质、三角形外角性质求解即可；
（3）设CQ交AB于点M，根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质求解即可．
【小问1详解】
解：过点P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PF，
∴∠APF=∠A=30°，∠CPF=∠C=45°，
∴∠APC=∠APF+CPF=75°，
故答案为：75°；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：∠BAP=∠APC+∠C，理由如下：
延长BA交PC于点G，
∵AB∥CD，
∴∠PGA=∠C，
∵∠BAP=∠APC+∠PGA，
∴∠BAP=∠APC+∠C；
【小问3详解】
∠AQC+ ∠APC=90°，理由如下：
设CQ交AB于点M，
∵AB∥CD，
∴∠QCD=∠AMQ，
∵CQ平分∠PCD，
∴∠QCD= ∠PCD，
∴∠AMQ= ∠PCD，
∵AQ平分∠BAE，
∴∠MAQ= ∠BAE= （180°-∠PAB）=90°- ∠PAB，
由（2）知，∠PAB=∠APC+∠PCD，
∴∠MAQ=90°- （∠APC+∠PCD），
即∠MAQ=90°- ∠APC-∠AMQ，
∵∠AMQ=∠AQC-∠MAQ，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠MAQ=90°- ∠APC-（∠AQC-∠MAQ），
∴∠AQC+ ∠APC=90°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
34. 在平面直角坐标系 中，对于给定的两点 P，Q，若存在点M，使得 的面积等于1（即
），则称点M为线段 的“单位面积点”．
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系 中，点P的坐标为 ．
（1）在点 中，线段 的“单位面积点”是________；
（2）已知点 ，将线段 沿y轴方向向上平移 个单位长度，使得线段 上存在
线段 的“单位面积点”，则t的取值范围为__________；
（3）已知点 ，点M，N是线段 的两个“单位面积点”，点M在第一象限且M的纵坐标是
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学科网（北京）股份有限公司3，若 ，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）B （2） 或
（3）满足条件的点N的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“单位面积点”的定义判断即可；
（2）当点D为线段 的“单位面积点”时， ．当点E为线段 的“单位面积点”时，
，解方程即可解决问题；
（3）由点M是线段 的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3，推出M点坐标，构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴点B是线段 的“单位面积点”，
故答案为：B．
【小问2详解】
解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司当点D为线段 的“单位面积点”时，
，
解得 或 ，
当点E为线段 的“单位面积点”时，
，
解得： 或 ，
∴线段 上存在线段 的“单位面积点”，t的取值范围为 或 ；
故答案为： 或 ；
【小问3详解】
解：如图，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， 轴，
∵点M是线段 的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3，
∴ （不合题意，舍去）或 ，
当 时，设 ，
由题意， ，
解得 或5，
∴ 或 ，
综上所述，满足条件的点N的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟
练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键．
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