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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市 101 中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据横坐标大于0，纵坐标大于0，则这点在第一象限．
【详解】解：∵2＞0，3＞0，
∴（2，3）在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：
﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．
2. 把方程 改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个判断即可．
【详解】A． ， 此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B． ， 此选项计算错误，故此选项不符合题意；
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C． ， 此选项计算正确，故此选项符合题意；
D． ， 此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 若 是关于x，y的二元一次方程 的解，则m的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，把 与 的值代入方程计算即可求出 的值．
【详解】把 代入方程 得： ，
解得： ，
故选：A．
5. 如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先
利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．
【详解】解：大正方形的边长为 ，
，
，即 ，
又 ，
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，
，
，
，
与 最接近的整数是6，
即大正方形的边长最接近的整数是6，
故选：D．
6. 如图，已知 ， 平分 ，若点B可表示为 ，点C可表示
为 ，则点D可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形性质、角平分线的定义，正确理解题意所给点的表示方法是解题关键，
由题意设点D可表示为 ，其中 ，根据角角的和差关系以及角平分线的性质求得
即可．
【详解】解：由题意设点D可表示为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
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∴ ，
∴
即 ，
∴点D可表示为 ．
故选：C．
7. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中 ， 都与
地面l平行， 平分 ， ，则当 为（ ）度时， 与 平行．
A. 69 B. 64 C. 59 D. 52
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得 ，可得出
，即可求出 ，由角平分线的定义可得出 ，
即可得出当 时， 与 平行．
【详解】解：∵ ， 都与地面l平行，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∴当 时， 与 平行．
故选：B．
8. 将一副直角三角板按如图所示摆放 ， ， ，则下列结论不正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长 交 于点 ，先利用平角定义可得
， 从 而 可 得 ， 即 可 判 断 A ； 利 用 平 行 线 的 性 质 可 得
，再利用三角形的外角性质可得 ，从而可得 ，即
可判断B；利用三角形的外角性质可得 ，即可判断C；利用平角定义可得 ，
从而可得 ，即可判断D．
【详解】延长 交 于点 ，
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，
，
，
∴ ，
故A不符合题意；
∵ ，
，
是 的一个外角，
，
，
故B不符合题意；
是 的一个外角，
，
故C不符合题意；
， ，
，
，
故D符合题意；
故选：D．
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9. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 点 到x轴的距离是2
B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在数 ， ， ， ，π，0.606006中，有理数有4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了命题的真假判断，根据直线平行，同旁内角互补，平行公理，有理数以及点到直
线的距离判断即可．
【详解】解：A．点 到x轴的距离是2，正确，是真命题，故该选项不符合题意；
B． 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，正确，是真命题，故该选项不符合题意；
C． 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，是假命题，故该选项
符合题意；
D．在数 ， ， ， ，π，0.606006中， ， ，因此有理数有 ， ，
，0.606006，共4个，正确，是真命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
10. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，其中a为整数．点C在线段 上，且
点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（ ）个．
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标．分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当 时；当 时； 当 时，3种情况求解作答即可．
【详解】解：当 时，如图1，
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此时，线段 上不存在点C在y轴上；
当 时，如图2，
此时，线段 上不存在点C在y轴上；
∵ 为整数，
∴ 的取值为 ，
∴满足条件的点C的坐标有4个；
当 ，如图3，
此时，线段 上不存在点C在y轴上；
综上，满足条件的点C的坐标有4个，
故选：B．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11. 如图，两条直线相交于点O，若 ，则 ______．
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【答案】 ##37度
【解析】
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等进行计算即可．
【详解】 ， ，
，
故答案 ：为．
12. 若点 在 轴上，则a的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值即可．
【详解】解：∵点P（a+1，a-2）在x轴上，
∴a-2=0，
解得a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了x轴上点的坐标特征，需熟记．
13. 如图，点A，B，C，D在直线l上，点P在直线l外， 于点 ，在线段 ， ， ，
中，最短的一条线段是______，理由是_____．
【答案】 ①. ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查的是垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短求解即可．
【详解】 点 ， ， ， 在直线 上，点 在直线 外， 于点 ，
在线段 ， ， ， 中，最短的一条线段是 ．
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故答案为： ，垂线段最短．
14. 已知 ，则 的算术平方根为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性质，先利用非
负性质求出 的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： ，
∴ ①， ②，
由①+②得：
整理得： ，
解得： ，
∴ 的算术平方根为3．
故答案为：3．
15. 如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移m格，再纵向平移n格，就能与
另一个三角形拼合成一个四边形，那么 的值为______．
【答案】6或8
【解析】
【分析】本题考查了平移的知识，根据不同的边重合合成不同的四边形可得出答案．
【详解】（1）当两斜边重合的时，把上面的三角形先向左横移2格，再向下移动4格，合成一个四边形，
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此时 ， ， ；
（2）当两直角边重合时有两种情况，①短直角边重合，把上面的三角形先向右横移2格，再向下移动4格，
合成一个四边形，此时 ， ， ；
②长直角边重合，把上面的三角形先向左横移2格，再向下移动6格，合成一个四边形，此时 ，
， ．
综上可得： 或8．
故答案为：6或8．
16. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位
于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
（1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔
发出的光束 射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线 的夹角 ，则反射光束
与天花板所形成的角 的度数为______；
（2）若（1）中镜面 的调节角 的调节范围为 ，则下列度数中，反射光束 与天花
板所形成的角 可能取到的度数为______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】 ①. ②. ①③④
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．
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（1）过点 作 ，过点 作 ，所以 ，因为 ，可
得 的度数，因为 ， ，所以 ，即 ，可得
的度数，因为 ，可得 的度数；
（2）分调节角 的调节范围在 、调节角 的调节范围在 两段讨论．
【详解】（1）过点 作 ，过点 作 ，
，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，即 ，
，
故答案为： ；
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（2）解：①当调节角 的调节范围在 时，
由（1）图可得，
，
，
②当调节角 的调节范围在 时，
，
，
可能取到的度数为：①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本题共52分）
17. 计算：
【答案】
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【解析】
【分析】】本题主要考查了实数的运算，利用立方根，算术平方根的意义化简后计算即可．
【详解】解：原式 ．
18. 求下列各式中x的值：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方根、立方根的性质．
（1）根据平方根的性质计算即可
（2）根据立方根的定义得出 ，进而求出答案．
【小问1详解】
解：
，
∴ ，
【小问2详解】
，
解得：
19. 解方程组： ．
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【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法
消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
得：
解得
将 代入①得：
解得 ，
∴方程组的解为： ．
20. 请将下面的证明过程补充完整：
已知：如图， ，且 ．
求证： ．
证明： （已知）
又
① ）
∴ ②② ）
③ （④ ）
∵
⑤ ）
．
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【答案】①同角的补角相等；②同位角相等，两直线平行；③ ；④两直线平行，同位角相等；⑤两
直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐步推理即可．
【详解】 （已知），
又 ，
（同角的补角相等），
∴ （同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
∵ ，
（两直线平行，同位角相等），
．
故答案为：①同角的补角相等；②同位角相等，两直线平行；③ ；④两直线平行，同位角相等；⑤
两直线平行，同位角相等．
21. 列方程（组）解决问题：
某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）：
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
小黑板 40
挂钟 25 2 50
门垫 30 1 30
拖把 20
倒计时墙
a 2 30
贴
合计 8 210
完成下列问题：
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（1） ；
（2）该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？
【答案】（1）15 （2）该班级购买2个小黑板，1个拖把
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）根据倒计时墙贴金额可得： ，然后进行计算即可解答；
（2）设班级购买小黑板 个，拖把 个，根据题意可得： ，然后进行计
算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：15；
【小问2详解】
设班级购买小黑板 个，拖把 个，
由题意得： ，
解得： ，
答：该班级购买2个小黑板，1个拖把．
22. 在平面直角坐标系 中，三角形 的三个顶点分别是 ， ， ．
（1）在所给 的图中，画出这个平面直角坐标系．已知点A经过平移后对应点为 ，将三角形
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作同样的平移得到三角形 ，画出三角形 ；
的
（2）三角形 面积是 ；
（3）若点P在x轴上，且三角形 的面积与三角形 的面积相等，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）见详解；见详解
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查作图一平移变换、利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可；根据平移的性质作图即可．
（2）利用网格求三角形的面积即可
（3）设点P的坐标为 ，由题意可列方程为 ，求出m的值，即可得出答
【小问1详解】
解：由 到 ，得到平移的方式为：先向右平移一个单位，再向下平移4个单位．
如图，建立平面直角坐标系以及三角形 即为所求．
【小问2详解】
三角形 的面积=
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故答案为： ．
【小问3详解】
设点P的坐标为 ，
∵三角形 的面积与三角形 的面积相等，
∴
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
故答案为∶ 或 ．
23. 如图，直线 与直线 相交于点O， ，且 平分 ，若 ，求
的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由邻补角的定义求出 ，由角平分线的定义求出 ，由对顶角相等得出
，由已知条件得出 ，再根据角的和差关系即可求出 ．
【详解】解∶∵ ，
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∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了几何图中角度的计算，角平分线的有关计算，邻补角的定义，垂线的定义以及对
顶角相等，掌握这些定义是解题的关键.
24. 研究发现：由于 ，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时， 为有理数的条
件是 （其中t为正整数）．
（1）若正整数a使得 ，则a的值为 ；
（2）已知a、b、c是正整数，且 ，当 时，称 为“团结数组”．
①若 为“团结数组”，且 ，则 ；
②若 为“团结数组”，且 ，则 ， ；
③“团结数组”共有 个．
【答案】（1）168 （2）①378，②1512，168，③3
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将 转化为几
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个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）①由 可得 ，即可解答；② ， ，（t，m为正整
数，且 ），由已知条件可得 ，进行求解即可；③设 ， ， （x，
y，z为正整数而且 ），可得 ，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论
求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为：168．
【小问2详解】
①∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为：378．
②∵
∴ ，
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由①
∴
设 ， ，（t，m为正整数，且 ）
∴ ，即 ，则 ，
∵ ，而 时， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1512，168．
③设 ， ， （x，y，z为正整数而且 ），
∵
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
当 时， ，此时 ， ，
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当 时， ，∴ ，
当 时，同②， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
综上所述，“三元数组”共有3个．
故答案为：3．
25. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， 、 ， ，定义：
为点 、 的折距离．若点 满足 ， ， ，则称点C为
点A、B的m生成点；若图形W的所有点都是点A、B的m生成点，则称图形W为点A、B的m生成图形．
（1）已知 ，
①点E、F的折距离是 ；
②若点 是点E、F的m生成点，求m的值；
（2）已知 、 ， ， ， ， ，连接点
、 、 、 得到正方形 ，把正方形 记作图形 ．若图形 是点 、 的8生成图形，
直接写出n的最大值和最小值．
【答案】（1）①3；②5
（2）n的最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】本题考查新定义问题，直角坐标系中点坐标．
（1）①根据折距离定义即可作答；
②根据折距离定义即可作答；
（2）设 ， 的8生成点为 ， ，分别表示出 ， ，和为8，结合数轴上的距离即
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可 ， ，的范围，根据矩形的性质即可作答．
【小问1详解】
①由题意知， ，
故答案为：3；
② ，
，
， ， ，
的值为5；
【小问2详解】
设 ， 的8生成点为 ， ，
则 ，
，
则有 ， ， ，
，
，
将 看作数轴上表示 的数到 和1的距离之和，
则 ，
将 看作数轴上表示 的数到4和1的距离之和，
则 ，
又 ，
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， ，
， ，
则正方形 在以 ， ， ， 为顶点的矩形内（含边界），
由题知， ，则 轴，则正方形 与坐标轴平行，
， 在 上方，
， 在 左侧，
则有 ，即 ，
，
，即 ，
，
有 ，即 ，
，
，即 ，
，
的最大值为 ，最小值为 ．
26. 已知直线 ，点B、C是直线b上的两个定点，点M、N是直线a上的两个动点，射线
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交于点G．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点A在直线a上，满足 ． 与 交于点D， 与 交于点
E，若 ，且 ，则 °；
（3）射线 同时从如图2所示的位置开始转动，射线 绕点B以5度/秒的速度逆时针转动，
射线 绕点C以3度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为t秒（ ）．
①当 秒时， ；
②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于 度的角为两条直线的夹角”．设直线 与直线
的夹角为 度，直线 与直线 的夹角为 度，当 时，直接写出转动时间t的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）① ；② 或
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 作 ， 可 得 根 据
即可求证；
（2）设 ，可得 ，根据题意得
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，即可求解；
（3）①根据题意画出对应图形，根据 即可求解；②根据
题意画出对应图形，可得 ，
，据此即可求解；
【小问1详解】
证明：作 ，如图所示：
∵ ，
∴
∴
∵
∴
【小问2详解】
解：设 ，
∵
∴
由（1）可知：
∴
∴
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∴
由②③可得：
将 代入①得： ，
解得： ，
∴
故答案为：
【小问3详解】
解：①如图所示：
由题意得：
由（2）得：
∵
∴
即：
∴
解得：
②如图所示：
则 ，
∴
由（2）得： ，即 ；
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，即 ;
∴
解得： 或
【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是
解题关键．
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