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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市西城区 2023—2024 学年度第二学期期末试卷七年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满
分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间
100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．根
据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不能平移得到，故A不符合题意；
B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故B符合题意；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不能平移得到，故C不符合题意；
D、图形由轴对称得到，不能通过平移得到，故D不符合题意．
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
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限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．根据第二
象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0,进行判断即可．
【详解】解：点 在第四象限， 在第二象限， 在第一象限， 在第三象限，故B
正确．
故选：B．
3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、
物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判定即可．
【详解】解：A、调查对乘坐飞机的旅客进行安检，应用全面调查，故此选项符合题意；
B、调查某批次的汽车抗撞击能力，因为抗撞击能力检测属于有损检测，故应用抽样调查，故此选项不符
合题意；
C、调查某市居民垃圾分类的情况，人数众多，应用抽样调查，故此选项不符合题意；
D、调查市场上冷冻食品的质量情况，应用抽样调查，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 若 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减
去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正
数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握不
等式的性质是解决问题的关键．利用不等式的性质对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、若 ，则 一定成立，故此选项不符合题意；
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B、若 ，则 一定成立，故此选项不符合题意；
C、若 ，则 一定成立，故此选项不符合题意；
D、若 ，当 时， ，当 时， ，故此选项不符合题意．
故选：D．
5. 下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等可求得结果，正确理解平行线的性质是解
题的关键．
【详解】解：A、 是同旁内角，两直线平行，同旁内角互补，该选项不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等， 与 的对顶角互为同位角，故该选项符合题意；
C、 ，不能得到 ，该选项不符合题意；
D、 ，不能得到 ， 时，才能得到 ，该选项不符合题意；
故选：B．
6. 由 可以得到用x表示y的式子是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键．
【详解】解： ，
同乘6可得： ，
移项可得： ，
同时除以2可得： ，
故选：D．
7. 下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等
④所有实数都可以用数轴上的点表示
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解答的关键是熟知
相关的几何知识．根据平行线的判定与性质、垂线性质，实数与数轴逐个判断即可作出选择．
【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题错误，是假命题；
④所有实数都可以用数轴上的点表示，正确，是真命题；
综上分析，是真命题的有3个，
故选：C．
8. 如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围
是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到非负整数解．根据关于 x的一元一次不
等式 的两个非负整数解只能是0、 ，求出a的取值范围即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个非负整数解，
∴2个负整数解只能是0、 ，
∴a的取值范围是 ．
故选：C，
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在实数 ， ， ， 中，是无理数的是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，
据此进行判断即可．
【详解】解：在实数 ， ， ， 中，属于无理数的是 ，
故答案 ：为．
10. 的算术平方根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的求解，根据算术平方根的定义进行求解即可．
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【详解】解： 的算术平方根是 ，
故答案为： ．
11. 已知二元一次方程 ，请写出该方程的一组正整数解__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．
【详解】解：由 得 ，
∴当 时， ，
∴方程的一组正整数解为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
12. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_________________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”
的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个
角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
13. 一个样本容量为63的样本，最大值是172，最小值是149，取组距为3，则这个样本可以分成________
组．
【答案】8
【解析】
【分析】考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整
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数值就是组数．求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
【详解】解：最大值与最小值的差是： ，
则可以分成的组数是： （组），
故答案是：8．
14. 平面直角坐标系中，点 ， ，若直线 与y轴平行，则点N的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，根据题意得到点坐标的特征，即可求得结果，掌握点坐标的特征是解题的
关键．
【详解】解：∵直线 与y轴平行，
∴两个点的横坐标一样，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，点A，B，C在同一条直线上， ，且 ， ，则 ______
（用含α的代数式表示）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，用代数式表达，根据两直线平行内错角相等可求得结果，找到角度之
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间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 关于x，y的二元一次方程 ，且当 时， ．
（1）k的值是_____；
（2）当 时，对于每一个x的值，关于x的不等式 总成立，则n的取值范围是_____．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集、已知字母的值，求代数式的值：
（1）将 的值代入进去即可求得结果；
（2）解有关 的不等式，再根据恒成立求有关 的不等式；
正确求解是解题的关键．
【详解】解：（1）∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：3；
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（2）由（1）可得 ，
∴ ，
解得： ，
∵当 时，对于每一个x的值，关于x的不等式 总成立，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19-21题，每题9分，第22题5分，
第23题9分，第24题8分）
17. （1）计算： ；
（2）求等式中x的值： ．
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，利用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
开平方得： ，
解得： ， ．
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18. （1）解方程组 ；
（2）解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】（1） （2） ，整数解有：1，2
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组、求一元一次不等式的整数解：
（1）根据加减消元法可求得结果；
（2）先求得一元一次不等式的解集，再求得整数解即可；
正确求解是解题 的关键．
【详解】解：（1） ，
①×2﹣②得： ，
将 代入②中可得 ，
∴ ；
（2） ，
对于①移项可得： ，
解得： ，
对于②去分母可得： ，
移项可得： ，
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解得： ，
∴ ，
整数解有：1，2．
19. （1）如图1，点P是 的边 上一点．按照要求回答下列问题：
①过点P分别画出射线 的垂线 和射线 的垂线 ，F是垂足；
②线段 （填“ ”“ ”“ ”）的理由是 ．
（2）如图2，点E，F分别在 ， 上，点D，G在 上， ， 的延长线交于点H．若
， ．
求证： ．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵ ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ （ ）（填推理的依据）．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ （ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）①见解析；② ；垂线段最短；（2）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
；两直线平行，同位角相等
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【解析】
【分析】本题主要考查了作垂线，垂线段最短，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判
定定理和性质定理．
（1）①根据题意画图即可；
②根据垂线段最短进行解答即可；
（2）根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】解：①如图， 、 即为所求作的垂线；
②∵垂线段最短，
∴线段 ；
（2）证明：∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
20. 在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ．
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（1）画出三角形 ，并求它的面积；
（2）将三角形 平移到三角形 ，其中点A，B，C的对应点分别是 ， ， ，已知点 的
坐标是 ，
的
①点 坐标是_________，点 的坐标是 ；
②写出一种将三角形 平移到三角形 的方法： ．
【答案】（1）见解析；11
（2）① ； ；②先向右平移4个单位，再向下平移2个单位（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律．
（1）根据点A、B、C的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形 ，利用割补法求出三角形的面积
即可；
（2）①根据点A的坐标和平移后点 的坐标是 得出平移方式，然后求出点 和点 的坐标即可；
②根据点A平移得出点 ，得出将三角形 平移到三角形 的方法即可．
【小问1详解】
解：如图， 为所求作的三角形；
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；
【小问2详解】
解：①∵点 平移后点 的坐标是 ，
∴点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到 ，
∴点B、C分别向右平移4个单位，向下平移2个单位到 ， ，
∴点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；
②∵点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到 ，
∴将三角形 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位到三角形 ．
21. 某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285
元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．
（1）求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
（2）若该商店决定购进这两种文创产品共200件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这200件文创产品
的总费用不少于5350元，且不超过5368元，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案．
【答案】（1）30元，25元
（2）四种
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用：
（1）根据题意列得二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列得一元一次不等式组，求出解集，找到整数解即可求得结果；
正确理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：设甲种文创产品的费用为 元，乙种文创产品的费用为 元，
由题可得 ，
得： ，
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将 代入②中可得： ，
∴ ，
∴甲种文创产品的费用为30元，乙种文创产品的费用为25元；
【小问2详解】
解：设购买甲种文创产品 件，则购买乙种文创产品 件，
由（1）可得购买这些总花费为： ，
∵购买这200件文创产品的总费用不少于5350元，且不超过5368元，
∴ ，
解得： ，
则 整数值有： 四个值，
即该商店共有四种购进这两种文创产品的方案．
22. 在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了
一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，
并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图．下面给出了部分信息．
a．平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示．
频
成绩
数
m
20
n
7
3
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b．其中 这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，
84，84，85，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m= ，n= ，参与问卷调查的学生共有 人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予
“阅读达人”称号．已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号．
【答案】（1）5，15，50
（2）见解析 （3）396
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量：
（1）结合频数分布直方图、频数分布表以及数据的个数可得到结果；
（2）根据（1）中的信息补充频数分布直方图即可；
（3）根据数据中所占的百分比可得到结果；
结合频数分布直方图、频数分布表得到结果是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据频数分布直方图可得： ，
根据其中 这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，
84，84，85，89，
可得： ，
∴学生共有： 人，
故答案为：5，15，50；
【小问2详解】
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解：由（1）可得 ，补全频数分布直方图如下图：
【小问3详解】
解：∵成绩在 的人数为：7人，
成绩在 的人数为：3人，
成绩在 的人数为：10人，
∴每天阅读时长在75分钟及以上的学生人数为： ，
∴990名学生中获得“阅读达人”称号的人数为： 人，
∴该年级共有396名学生获得“阅读达人”称号．
23. 如图，直线 ，直线 与直线 ， 分别交于点E，F， 的平分线交 于点
P．
（1）求证： ；
的
（2）点G是射线 上一个动点（点G不与点P，F重合）， 平分线交直线 于点H，过点
H作 交直线 于点N，
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①当点G在线段 上时，依题意补全图形，用等式表示 和 之间的数量关系，并证明；
②当点G在线段 的延长线上时，直接写出用等式表示的 和 之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ②
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质：
（1）根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的性质可得到结果；
（2）先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果；
熟悉几何图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明；∵ ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于点P，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①当点G在线段 上时，如图所示：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
②当点G在线段 的延长线上时，如图所示：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中，已知点 (点 不与原点 重合)，将点
称为点 关于点 的“ 倍平移点”．
（1）已知点 的坐标是 ，
①若点 ，则点 关于点 的“ 倍平移点”Q的坐标是 ；
②点 ， ，点 在线段 上，过点 作直线 轴，若直线l上存在点 关于
点 的“2倍平移点”，求r的取值范围．
（2）点 ， ， ， ，以 为边在直线 的上方作正方形 ，点
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在正方形 的边上，且 ， ，对于正方形 的边上任意一点 ，若线段
上都不存在点 关于点 的“ 倍平移点”，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，新定义运算，坐标与图形，解题的关键是理解题意，数
形结合，正确计算．
（1）①根据题目中提供的定义进行解答即可；
②根据点 ， ，点M在线段 上，设点M的坐标为 ，根据“2倍
平移点”的定义得出Q点的坐标为： ，求出 ，得出 ；
（2）先求出点C的坐标 ，点D的坐标为 ，根据点 在正方形 的边上，且 ，
，得出 ， ，先求出当点P的横坐标最小时，点P关于点 的“k倍平移点”
的横坐标为 ，当点P的纵坐标最小时，点P关于点 的“k倍平移点”的纵坐标为 ，
判断得出当点P的横坐标或纵坐标最小时，点 向右或向上平移的最大距离为 ，结合点 的坐标列
出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵点P的坐标是 ，点 ，
∴点P关于点M的“2倍平移点”Q的坐标是： ，
即点Q的坐标为 ；
②∵点 ， ，点M在线段 上，
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∴设点M的坐标为 ，
∴点P关于点M的“2倍平移点”为： ，
即Q点的坐标为： ，
∵ ，
∴ ，
∵过点 作直线 轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点 ， ，以 为边在直线 的上方作正方形 ，
∴点C的坐标 ，点D的坐标为 ，
∵点 在正方形 的边上，且 ， ，
∴ ， ，
当点P的横坐标最小时，点P关于点 的“k倍平移点”的横坐标为 ，
当点P的纵坐标最小时，点P关于点 的“k倍平移点”的纵坐标为 ，
∵ ， ，
即当点P的横坐标或纵坐标最小时，点 向右或向上平移的最大距离为 ，
当点 向右平移的距离大于 时，点P关于点 的“k倍平移点”一定不在线段 上，
即 ，
解得： ，
当点 向上平移的距离小于 时，点P关于点 的“k倍平移点”一定不在线段 上，
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{−1+k<4
即 ，
k>0
解得： ，
即当 或 时，线段 上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”．
四、选做题（共10分，第1题4分，第2题6分）
25. 将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，当n为非负整数时，①若 则 ：
②若 ，则 如 ， ， ．
（1） ；
（2）若 ，则满足条件的实数t的值是 ．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，绝对值的非负性：
（1）根据题意可得到结果；
（2）根据绝对值的非负性可求得结果；
正确理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵ ，
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∴ ，
故答案为：3
【小问2详解】
解：∵ ，
当 ，即 时，此时不适合题意；
当 ，即 时，此时 ，解得 矛盾；
当 ，即 时，此时 ，解得 ；
综上， ，
故答案为：2．
26. 在平面直角坐标系 中，给定n个不同的点 ，若 ， ，…，
， ， …， 中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值．图形F上任意n个不同的点
中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值．
（1）点 ， ， 的特征值是 ；
（2）已知正方形 的四个顶点分别为 ， ， ， ，
①直接写出正方形 的4阶特征值的最小值：
②若正方形 的5阶特征值的最小值是3，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）4 （2）①2；②
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，解不等式组，解题的关键是理解新定义，数形结合．
（1）根据特征值的概念进行解答即可；
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（2）①根据图形F的n阶特征值特点进行解答即可；
②根据正方形的四个顶点坐标得出正方形的一条边在 x轴上，一条边在直线 上，边长为2，根据正方
形 的5阶特征值的最小值是3，得出 ，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：∵点 ， ， 中有 ，1，2，3共4个数，
∴点 ， ， 的特征值是4．
【小问2详解】
解：①当 时，正方形 的四个顶点分别为 ， ， ， ，
此时正方形 的4阶特征值最小，且最小值为2；
②∵正方形 的四个顶点分别为 ， ， ， ，
∴正方形的一条边在x轴上，一条边在直线 上，边长为2，
∵正方形 的5阶特征值的最小值是3，
∴当 ， 在正方形 上时，取点 ， ， ，此时正方形 的5阶
特征值最小为3，
∴ ，
解得： ．
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