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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市西城区 2022—2023 学年度第二学期期末试卷七年级数学
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必
做题，满分100分．第四大题为选做题，满分 10分，计入总分，但卷面总分不超过
100分，考试时间100分钟．
注意 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
事项
3．试题答案一律填涂成书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 实数3.1415， ， ， 中，无理数是（ ）
A. 3.1415 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可求解．
【详解】解：3.1415， ， 是有理数，无理数为 ；
故选：B．
【点睛】本题考查有理数、无理数的定义，掌握无理数的定义及常见形式是解题的关键．
2. 若 ，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：A、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
B、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
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C、若 ，则 ，选项说法正确，符合题意；
D、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
3. 如图，直线 相交于点O， ，垂足为O， ， 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由垂线的定义得到 ，进而求出 ，则由邻补角互补可得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，邻补角互补，正确求出 是解题的关键．
4. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果 ， ，那么 D. 负数没有平方根
【答案】A
【解析】
【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
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【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，
故A是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意；
C、如果 ，那么 ，故C是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．
5. 在平面直角坐标系中，点 ， ，若直线 与y轴垂直，则m的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角坐标系点的坐标性质求解．
【详解】解：由题意知， ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为方程求解是解题的关键．
6. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ）
A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查
B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查
C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查
D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说
法错误，不符合题意；
B、了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法
错误，不符合题意；
C、了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查，选取的样本不具有代
表性，选项说法错误，不符合题意；
D、了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，选取的样本具有代
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表性，选项说法错正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了样本，解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的．
7. 以某公园西门 为原点建立平面直角坐标系，东门 和景点 的坐标分别是 和 ．如图1，
甲的游览路线是： ，其折线段的路程总长记为 ．如图2，景点 和 分别在线段 ，
上，乙的游览路线是： ，其折线段的路程总长记为 ．如图3，景点 和 分别在线
段 ， 上，景点 在线段 上，丙的游览路线是： ，其折线段的路程总长
记为 ．下列 的大小关系正确的是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形三边的关系即可证明 ，根据平移的性质可证明 ．
【详解】解：根据题意可得 ， ，
∴ ；
将线段 平移，可得到线段 ，线段 移可得到线段 ，
∴ ， ，
，
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∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形
中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是（ ）
A. 72 B. 68 C. 64 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据图形提供的长和宽的关系列出方程组，解方程组，求出长
和宽，即可得到1张小长方形卡片的面积．
【详解】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
由题意可得， ，
解得 ，
∴1张小长方形卡片的面积是 ，
故选：B
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 是方程 的解，则a的值为______．
【答案】4
【解析】
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【分析】根据题意得 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．
10. 在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到两坐标轴 距的离相等，写出一个符合条件的点
P的坐标：______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意得 ．
【详解】解：∵知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴ ．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征．
11. 若一个数的平方等于 ，则这个数是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】利用平方根定义计算即可确定出这个数．
【详解】解：一个数的平方等于 ，则这个数是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
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12. 如图，在三角形 中， ，点 到直线 的距离是线段______的长， 的依据是
______．
【答案】 ①. ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明 到直线 的距离是线段是 ；在根据两点之间垂线段
最短即可证明 ．
【详解】 ，
，
点 到直线 的距离是线段为 ；
两点之间垂线段最短，
，
故答案为： ，垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键．
13. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数 ，这个点是______．
【答案】点P
【解析】
【分析】估算 的大小，进而确定 的整数位，从而确定点的位置．
【详解】∵
∴ ，
∴
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故答案为：点P．
【点睛】本题考查无理数的估算，用数轴上点表示数，利用算术平方根估算无理数是解题的关键．
14. 解方程组 小红的思路是：用① ② 消去未知数 ，请你写出一种用加减消元法
消去未知数 的思路：用______消去未知数 ．
【答案】① ② （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，根据题意，观察两式 的系数，根据① ② 即可消去
未知数 ．
【详解】解：解方程组
① ② 得： ，
故答案为：① ② （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题 的关键．
15. 如图，四边形纸片 ， ．折叠纸片 ，使点D落在 上的点 处，点C落在
点 处，折痕为 ．若 ，则 ______ ．
【答案】24
【解析】
【 分 析 】 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ， 再 根 据 折 叠 的 性 质 可 得
，然后利用平角的定义求解即可．
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【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵折叠纸片 ，使点D落在 上的点 处，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关
键．
16. 小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑
软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前 的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于 ．
（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了 ？答：______（填“是”或“否”）；
（2）小明共跑了 且恰好回到起点，那么他共跑了______圈．
【答案】 ①. 否 ②. 10
【解析】
【分析】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x圈，结合图形即可作答；
（2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即
可求解．
【详解】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x（x为整数）圈，
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结合图形，根据题意有： ，
即小明恰好跑3圈时，路程没有超过 ；
（2）结合图形，根据题意有： ，
解得： ，
根据题意还有： ，可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵x为整数，
∴ 为整数，
∴ ，
即 ，即小明共跑了10圈，
故答案为：否，10．
【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题14分，第19题7分，第20题9分，第21-24
题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】先求出算术平方根、化简绝对值、求出立方根，再进行实数的加减混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根是解题的关键．
18. （1）解方程组
（2）解不等式组 并写出它的所有整数解．
【答案】（1） ；（2） ；0，1，2，3
【解析】
【分析】（1）用加减消元法求解二元一次方程组；
（2）求解不等式组中两个不等式，取公共部分，求得整数解．
【详解】（1）解：
得： ， ．
把 代入①，得 ， ．
所以这个方程组的解
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（2）解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以不等式组的解集为 ．
它的所有整数解为0，1，2，3．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，掌握解不等式组和方程组的步骤是解题的关键．
19. 如图，点E，F分别在 的延长线上，直线 分别交 于点G，H， ，
．
求证：
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵ ，
∴______ ______．
∴ ______．（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴ ______．
∴______ ______．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵ ，（ ）（填推理的依据）
∴ ．
【答案】见解析
【解析】
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【分析】利用平行线的判定和性质一一判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
∴ ．（两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ ．
∴ ．（同位角相等，两直线平行）
∴ ．
∵ ，（对顶角相等）
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
20. 为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类
和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买 2本科技类图书和3本文学类图书需
131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校
用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
【答案】（1）科技类图书每本28元，文学类图书每本25元
（2）科技类图书最多能买166本
【解析】
【分析】（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
（2）设购买科技类图书a本，结合资金不超过8000元，列出一元一次不等式，解出最大值.
【小问1详解】
解：设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元．
依题意，得 ，
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①×2－②，得 ，
把 代入①，得 ．
所以这个方程组的解为 ，
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．
【小问2详解】
解：设购买科技类图书a本．
依题意，得 ．
解得 ．
所以满足条件的最大整数为166．
答：科技类图书最多能买166本．
【点睛】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式的求解，设出未知数进行求解是解题的关键.
21. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
将三角形 先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形 ，其中点D，E，
F分别为点A，B，C的对应点．
（1）在图中画出三角形 ；
（2）求三角形 的面积；
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（3）若三角形 内一点P经过上述平移后的对应点为 ，直接写出点P的坐标（用含m，n的
式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意进行平移得 ，即可得；
（2）作点 ，构造图中的四边形 ，则 ，进行
计算即可得；
（3）根据三角形 内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ，
即可得．
【小问1详解】
解：∵三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．将三角形 先向左平移5
个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴ ，
如图所示，
；
【小问2详解】
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解：如图所示，作点 ，构造图中的四边形 ，
则
．
【小问3详解】
解：∵三角形 内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平移—作图，解题的关键是掌握平移．
22. 《北京市节水条例》自 年3月1日起实施．学校组织了“珍惜水资源，节水从我做起”的活动，
号召大家节约用水．为了解所居住小区家庭用水的情况，小芸从该小区的住户中随机抽取了部分家庭，获
得了这些家庭4月份用水量（单位：t）的数据，并对这些数据进行整理和描述．数据分成5组： ，
， ， ， ．下面给出了部分信息：
a．4月份用水量的数据的扇形图、频数分布直方图分别如图1，图2所示．
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b．4月份用水量的数据在 这一组的是：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小芸共抽取了______户家庭进行调查；
（2）扇形图中， 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为______°， ______%；
（3）补全频数分布直方图；
（4）请你根据小芸的调查结果，估计该小区480户家庭中有多少户家庭年用水量超过180t．
【答案】（1）
（2） ， ；
（3）见解析 （4）估计该小区 户家庭中约有 户家庭年用水位超过
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图得 的人数有9人，占比 ，即可得；
（2） 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为： ，根据 的家庭用
户8人，可得 的家庭用户，即可得；
（3）由（2）得， 的家庭用户8人， 的家庭用户5人，即可得；
（4） ，根据被调查的 户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过 ，即可得．
【小问1详解】
解：∵根据条形统计图得 的人数有9人，占比 ，
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∴小芸共抽取的家庭： （户），
即小芸共抽取了 户家庭进行调查，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为： ，
∵ 的家庭用户8人，
∴ 的家庭用户： （人），
，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：由（2）得， 的家庭用户8人， 的家庭用户5人，
如图所示；
【小问4详解】
解： ，
被调查的 户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过 ，
（户）．
答：估计该小区 户家庭中约有 户家庭年用水位超过 ．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计整体，解题的关键是掌握这些知识点．
23. 将 三 角 形 和 三 角 形 按 图 1 所 示 的 方 式 摆 放 ， 其 中 ，
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， ， ，点D，A，F，B在同一条直线上．
（1）将图1中的三角形 绕点B及逆时针旋转，且点A在直线 的下方．
①如图2，当 时，求证： ；
②当 时，直接写出 的度数；
（2）将图1中的三角形 绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边 上时，过点E作
，作射线 平分 ，作射线 平分 交 的反向延长线于点N，依题意补
全图形并求 的度数．
【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质，运用 ， ，得出结论即
可；
（2）设 ，因为DM平分 ，EN平分 ，得出 的度数.
【小问1详解】
解：①证明：∵ ，
∴ ．
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∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
② ,理由如下：
过点 作 ,如下图所示，
∵ ，
∴ ,
∴ ， ，
∴ .
【小问2详解】
解：补全图形，如图．
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过点N作 ，设 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线和角平分线 的性质，掌握这些性质是解题的关键.
24. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，对于点 ，将点 称为点 关于点
的关联点．
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（1）点 关于点 的关联点 的坐标是______；
（2）点 ， ，以 为边在直线 的下方作正方形 ．点 ， ，
关于点 的关联点分别是点 ， ， ．若三角形 与正方形 有公共点，
直接写出 的取值范围；
（3）点 ， 关于点 的关联点分别是点 ， ，且点 在 轴上，点 为原
点，三角形 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
（3）点 的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）根据新定义即可求解；
（2）根据新定义得出 ， ， ．根据题意列出不等式组，解不
等式组即可求解；
（3）根据新定义得出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．根据点 在x轴上，可
得 ，即 ．根据题意列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，点 关于点 的关联点 的坐标是 即 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵点 ， ，以 为边在直线 的下方作正方形 ．
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∴ ，则 ， ，
∵点 ， ， 关于点 的关联点分别是点 ， ， ．
∴ ， ， ．
∵三角形 与正方形 有公共点， ，
∴ 或
解得： 或 ；
【小问3详解】
解：∵点 ， 关于点 的关联点分别是点 ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∵点 在x轴上，
∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∴ 或 ．
∴ 或 ．
∴点 的坐标为 或 ．
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【点睛】本题考查了坐标变换，坐标与图形，一元一次不等式组的应用，数形结合是解题的关键．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25. 在边长为1的正方形网格中，网格线交点称为格点，顶点都在格点上的多边形称为格点多边形．将格
点多边形边上（含顶点）的格点个数记为 M，内部的格点个数记为 N，其面积记为S，它们满足公式
．小东忘记了公式中a，b的值，他想到可以借助两个特殊格点多边形求出 a，b的值．小
东画出一个格点四边形 （如图1），它所对应的 ， ， ．
（1）请在图2中画出一个格点三角形 ，并直接写出它所对应的M，N，S的值；
（2）求a，b的值．
【答案】（1）见解析， ， ， ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）画一个符合题意的三角形 ，即可；
（2）构造二元一次方程组，求解即可．
【小问1详解】
解：格点三角形 ，如图所示．
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；
， ， ；
【小问2详解】
解：依题意，得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．
26. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 ， ， 给 出 如 下 定 义 ：
．
（1）已知点 ．
①若点Q与点P重合，则 ______；
②若点 ，则 ______；
（2）正方形四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，其中 ，在正方形
内部有一点 ，动点Q在正方形 的边上及其内部运动．若 ，求所有满足条件
的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
（3）若点 ， ， ，且 为奇数，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①1；②0
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（2）面积为
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）根据所给的定义进行求解即可；
（2）设点Q的坐标为 ，则 ，然后讨论x、y的取值
范围，去绝对值，根据 确定x、y的取值范围，从而求出答案；
（3）求出 ，然后讨论k的取值范围，去绝对值，然后根
据 ，且 为奇数进行求解即可．
【小问1详解】
解：乙由题意得：
，
故答案为：1；
②由题意得：
，
故答案为：0；
【小问2详解】
设点Q的坐标为 ，
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∴ ，
∴当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
∵ ，
∴ ， ，
∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为 ．
【小问3详解】
解：由题意得，
，
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
又∵ 为奇数，即 为奇数，
∴ ；
当 时， ，
此时满足 且 为奇数，
∴ ；
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为奇数，即 为奇数，
∴ ；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，化简绝对值，整式的混合运算，正确理解题意，分类讨论是解题的
关键．
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