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2020－2021 学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个
1. 2020年我国的嫦娥五号成功发射，首次在380000千米外的月球轨道上进行无人交会对接和样品转移，
将380000用科学记数法表示为（ ）
A. 3.8×105 B. 3.8×104 C. 38×104 D. 0.38×106
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正
整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，解题的关键是正确确定 的值以及 的值．
2. 分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，根据它们三视图的
形状判断即可．
【详解】解：图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，
正方体的三视图都是正方形的，圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，
长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，
圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，
因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握相关知识是解题关键．
3. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. a＞b B. b＞﹣a C. a+b＞0 D. ab＜0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的乘法，数轴，有理数的加法，根据数轴上点的特征可得a＜0＜b，且|a|＞|
b|，据此逐项判断可求解．
【详解】解：由数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项错误；
∴b＜﹣a，故B选项错误；
a+b＜0，故C选项错误；
ab＜0，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的乘法及加法，掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4. 把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度．可以解释这一做法的数学原理是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 两点之间，直线最短 D. 线段比直线短
【答案】B
【解析】
【分析】由把弯曲的河道改直，就缩短了河道的长度，涉及的知识点与距离相关，从而可以两点之间，线
段最短来解析.
【详解】解：把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度．可以解释这一做法的数学原理是
两点之间，线段最短.
故选：B
【点睛】本题考查 的是两点之间，线段最短，掌握“利用两点之间线段最短解析生活现象”是解本题
的关键.
5. 如果关于x的方程3x﹣1＝kx的解为1，那么k的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程解的定义，把x=1代入关于x的方程3x-1=kx，即可得出k的值．
【详解】解：∵关于x的方程3x-1=kx的解为1，
∴3-1=k，
∴k=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把x的值代入是解题的关键．
6. 已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线AB，射线AC，连接BC．正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线、射线、线段定义判断即可．
【详解】解：A、图中有直线AC，直线AB，直线BC，故该项不符合题意；
B、图中有射线AC，直线AB，线段BC，故该项符合题意；
C、图中有射线CA，直线AB，线段BC，故该项不符合题意；
D、图中有线段AC，线段AB，线段BC，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了依据直线、射线、线段的定义作图，正确理解定义区别三者的特点是解题的关键．
7. 如图，边长为a的正方形纸片上画有正方形Ⅰ和Ⅱ．如果正方形Ⅰ的边长为b，那么正方形Ⅱ的周长为
（ ）A. （a﹣b）2 B. a2﹣b2 C. 4a＋4b D. 4a﹣4b
【答案】D
【解析】
【分析】先求出正方形Ⅱ的边长为a-b，再根据正方形的周长公式即可求解．
【详解】解：由题意可知，正方形Ⅱ的边长为a-b，
故正方形Ⅱ的周长为4（a-b）=4a-4b．
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，关键是求出正方形Ⅱ的边长．
8. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与 一定相等的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等，邻补角定义，等角的补角相等和平角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：图①，根据同角的余角相等，可得 ；
图②， ， ，∴ ；
图③，根据等角的补角相等，可得 ；
图④， ，互余．与 一定相等的是图①和图③．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
9. 2020年10月16日是第40个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机
抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是
（ ）
A. 个体 是每名学生是否做到“光盘”
B. 样本容量是100
C. 全校只有14名学生没有做到“光盘”
D. 全校约有86%的学生做到“光盘”
【答案】C
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分
个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，
首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样
本确定出样本容量．
【详解】解：A、个体是每一名学生是否做到“光盘”情况，故A不合题意；
B、样本容量是100，故B不合题意；
C、样本中有14名学生没有做到“光盘”，故C符合题意；
D、全校约有86%的学生做到“光盘”，故D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是
明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包
含的个体的数目，不能带单位．
10. 如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数．对于任何一个月的月历，这5个数的和不
可能是（ ）A. 125 B. 120 C. 110 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】设框出的5个数中中间一个数为x，则同一行与同一列的其它两个数均可表示出来，则可求得其
和，根据其和的特征及“十”字型框的特点即可完成．
【详解】设框出的5个数中中间一个数为x，则同一行的另外两个数从左到右分别为x−1、x+1，同一列的
两个数从上到下分别为x−7、x+7
这5个数的和为：(x−1）+x+(x+1)+( x−7)+(x+7)=5x
因此这5个数的和是5的倍数
由于一个月最多31天，则x+7≤31，即x≤24
则5x≤120，即框里的5个数之和最大为120，显然当x=24时，5个数的和为120；当x=22时，5个数的和
为110；当x=8时，5个数的和为40；当x=25时，则这5个数分别为24、25、26、18、32，显然一个月没
有32天，这5个数的和为125．这是不可能的．
故选：A
【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，根据实际问题列出代数式关确定出x的取值范围是本题的关
键及难点．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 计算：|﹣5|＝__．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．
【详解】解：|﹣5|＝5．
故答案为：5【点睛】此题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝
对值是0．
12. 如图，圆规的张角（即∠α）的度数约为_____°．
【答案】35
【解析】
【分析】利用量角器进行测量得出答案．
【详解】解：根据图形用量角器进行测量∠α约等于35°，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了角的概念．解题的关键是能够正确估算角的度数的大小，具有观察图形的能力．
13. 写出一个只含有字母x，y的三次单项式________．
【答案】
【解析】
【分析】开放性命题，答案不唯一；单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，次数与单项式的数字
因数没有关系，故含字母x，y的三次单项式有无限多个，写的只要符合要求即可．
【详解】解：答案不唯一，含字母x,y的三次单项式是x2y；
故答案为：x2y
【点睛】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的系数、次数的概念是解题的关键．
14. 如果∠A＝34°，那么∠A的余角的度数为_____°．
【答案】56
【解析】
【分析】根据余角的定义即可求得．
【详解】解：∠A的余角为90°−∠A=90°−34°=56°
故答案为：56
【点睛】本题考查了余角的定义，掌握余角的定义是关键，这是基础题．15. 小莉用下面的框图表示解方程 的流程：其中步骤①③⑤的变形依据相同，这三步的变形
依据是__________．
【答案】等式的性质
【解析】
【分析】根据等式的性质解答即可.
【详解】解：步骤①③⑤的变形依据相同，这三步的变形依据是等式的性质，
故答案为：等式的性质．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1来解答.
16. 下面三项调查：①检测北京市空气质量；②防疫期间检测某校学生体温；③调查某款手机抗摔能力，
其中适宜抽样调查的是_____．（填写序号即可）
【答案】①③．
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似解答．
【详解】解：①检测北京市空气质量，适合抽样调查；
②防疫期间检测某校学生体温，适合普查；
③调查某款手机抗摔能力，适合抽样调查；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活
选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对
于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．17. 下表是两种移动电话的计费方式：
月使用费（元） 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
当小东某月的移动电话主叫时间是_____分钟时，选择方式一与方式二的费用相同．
【答案】270
【解析】
【分析】分三种情况讨论：当 时，两种方式的费用不相等，当 时，当 时，
再表示两种方式下的费用，列方程求解即可.
【详解】解：设小东某月的移动电话主叫时间为 分钟，
当 时，两种方式的费用不相等，
当 时，
选择方式一的费用为：
选择方式二的费用为：
解得：
当 时，
选择方式一的费用为：
选择方式二的费用为：
当
解得： 不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解分段收费的含义是解本题的关键.
18. 对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和4关于1的相对距离为5，那么m的值为_____．
【答案】3或 ##-1或3
【解析】
【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解 值．
【详解】解：由题意得 ，
即 ，
或 ，
解得 或 ，
故答案为：3或 ．
【点睛】本题主要考查绝对值，有理数的减法，属于新定义题型，解题的关键是根据新定义列算式．
三．解答题（本题共54分，第19题13分，第20题9分，第21－24题，每小题13分，第
25，26题，每小题13分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
（1）4＋（﹣23）＋21；
（2） ；
（3）﹣22×5﹣（﹣12）÷4﹣4
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：原式 ．
【小问2详解】
解：原式 ．
【小问3详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查的是乘法分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算
顺序”是解本题的关键，有理数的混合运算的运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后计算加减，有括号
先计算括号内的运算.
20. 解方程：
（1）5x﹣2（x﹣1）＝3；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【小问1详解】
5x﹣2（x﹣1）＝3
去括号，得
移项，得
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【小问2详解】
去分母，得
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即
可求出解．
21. 先化简再求值：a2﹣3（2a＋1）＋6a＋1，其中a＝﹣1
【答案】 ，-1
【解析】
【分析】去括号、合并同类项即可化简，再把a的值代入化简后的式子中即可求得代数式的值．
【详解】解： ．
当 时，原式 ．
【点睛】本题是化简求值题，考查了整式的加减，求代数式的值，注意运用乘法分配律时不要漏乘，还有
括号前是“ ”时，去括号后，括号里的各项都要变号．这两个易错点是部分学生常犯的，希引起高度注
意． −
22. 如图，∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．
（1）依题意补全图形；
（2）完成下面的解答过程，
解：因为OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
所以∠EOB＝ ∠AOB＝45°．（角的平分线的定义）
因为OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，
所以∠BOF＝ ∠ ＝ °．（角的平分线的定义）
因为∠EOF＝∠ ＋∠ ＝ °＋ °，
所以∠EOF＝ °．【答案】（1）见解析 （2）BOC，30；EOB，BOF，45，30；75
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义画出OE、OF；
（2）先根据角平分线的定义得到∠EOB= ∠AOB=45°，∠BOF= ∠BOC=30°，然后计算∠EOB+∠BOF
即可．
【小问1详解】
解：补全图形如图，
【小问2详解】
解：因为OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
所以∠EOB= ∠AOB=45°．（角的平分线的定义）
因为OF平分∠BOC，∠BOC=60°，
所以∠BOF= ∠BOC=30°．（角的平分线的定义）
因为∠EOF=∠EOB+∠BOF=45°+30°，
所以∠EOF=75°．
故答案为：BOC，30；EOB，BOF，45，30；75．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和与差，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
23. 由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，全世界面临淡水资源不足的问题，为提高居民的
节水意识，推广使用节水龙头，小玲统计了自己家使用节水龙头前后各30天的日用水量：（单位： ），
制作了一份数学实践活动报告．下面是其中的部分图表：
根据图表信息回答下面的问题：（1）日用水量 对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全“使用节水龙头后日用水量频数分布直方图”；
（3）你认为图 （填“1”或“2”）能较好地说明日用水量 的天数多于日用水量
的天数，理由是 ；
的
（4）小玲通过数据收集、整理和描述，发现在使用节水龙头前，30天中日用水量 天数为15
天；在使用节水龙头后，30天中日用水量 的天数有所减少，她进一步分析出使用节水龙头后，一年
中日用水量 的天数大约能减少 天．
【答案】（1）72；（2）见解析；（3）2，从图2中能显然得到 和 的具体天数；
（4）122
【解析】
【分析】（1）用 乘以日用水量 对应的百分比即可；
（2）用30天分别乘以 和 对应的百分比，求出其天数，据此可补全图形；
（3）根据扇形图和频数分布直方图的特点求解，答案不唯一，合理即可；
（4）先求出在使用节水龙头前后全年日用水量 的天数，再相减即可．
【详解】解：（1）日用水量 对应扇形的圆心角度数是 ，
故答案为：72；
（2）日用水量 的天数为 （天 ，日用水量 的天数为（天 ，
补全图形如下：
（3）图2能较好地说明日用水量 的天数多于日用水量 的天数，理由是从图2中
能显然得到 和 的具体天数；
故答案为：2，从图2中能显然得到 和 的具体天数；
（4）在使用节水龙头前，日用水量 的天数约为 （天 ，
在使用节水龙头后，日用水量 的天数约为 （天 ，
的
所以一年中日用水量 天数大约能减少 （天 ．
故答案为：122．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、用样本估计总体，解决本题的关键是综合掌握以上知
识．
24. 列方程解应用题：
青藏铁路是中国新世纪四大工程之一，是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，青藏铁路格尔木至拉萨
段全线总里程约为1140km，其中有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段和非冻土地段的行驶速度分别是
100km/h和120km/h，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5h，那么冻土地段约有多少千米？（结果
精确到个位）【答案】冻土地段约有545千米．
【解析】
【分析】可设冻土地段有x千米，根据等量关系：列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5h，列出方
程计算即可求解．
【详解】解：设冻土地段有x千米，依题意有：
，
解得x≈545．
答：冻土地段约有545千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
25. 课上，老师提出问题：如图，点O是线段上一点，C，D分别是线段AO，BO的中点，当AB＝10时，
求线段CD的长度．
（1）下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程；
思路方法 解答过程 知识要素
因为C，D分别是线段AO，BO的中
未知线段
点，
所以CO＝ AO，DO＝ ． 线段中点的定义
线段的和、差
因为AB＝10，
等式的性质
所以CD＝CO＋DO
已知线段
…… ＝ AO＋＝
＝ ．
（2）小明进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段AB的延长线上，CD的长度是否会发生变
化？请你帮助小明作出判断并说明理由．
【答案】（1）BO，BO，AB，5
（2）不变，见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及解答过程中的每步推理即可完成；
（2）由线段中点的定义及线段的差即可完成．
【小问1详解】
因为C，D分别是线段AO，BO的中点，
所以CO＝ AO，DO＝ ．
因为AB＝10，
所以CD＝CO＋DO
＝ AO＋ BO
＝ AB
＝5．
故答案为：BO，BO，AB，5
【小问2详解】
不会发生变化：
理由如下：如图
因为C，D分别是线段AO，BO的中点，所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和、差等知识，掌握这些知识是关键．
的
26. 点M，N是数轴上 两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线
段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：
（1）当a＝﹣1，b＝5时，求线段AB的“和谐点”所表示的数；
（2）当b＝a＋6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，
直接写出此时a的值．
【答案】（1）3或11；
（2）a的值为-12，-9，-4，-3．
【解析】
【分析】（1）：设线段AB的“和谐点”表示的数为x，根据a＝﹣1，b＝5，分三种情况，①当 时，
列出方程 ．②当 时，列出方程 ．③当 时，列出方程
解方程即可．
（2）：点O为AB的“和谐点”OA=2OB，列方程 或 ，根据b＝a＋6且a＜
0，可得 或 解方程，当A为OB的“和谐点”当b＜0时，AB=2AO，
即6=-a，不合题意，当b＞0时，AO=2AB，a=12＞0，不合题意，当点B为AO的“和谐点”BA=2BO，点B
在点O的左边，6=2（-a-6），点B在点O的右边，6=2（a+6），解方程即可．
【小问1详解】
解：设线段AB的“和谐点”表示的数为x，
①当 时，
列出方程 ．解得 ．（舍去）
②当 时，
列出方程 ．
解得 ．
③当 时，
列出方程
解得 ．
综上所述，线段AB的“和谐点”表示的数为3或11．
【小问2详解】
解：点O为AB的“和谐点”OA=2OB，
或 ，
∵b＝a＋6且a＜0，
，
解得 ，
，
解得 ，
当A为OB的“和谐点”，
当b＜0时，a＜-6，AB=2AO，即6=-a，
解得a=-6，不合题意，
当b＞0时，AO=2AB，即a=2×（b-a），
∵b＝a＋6，
解得a=12＞0，不合题意，
当点B为AO的“和谐点”BA=2BO，
点B在点O的左边，6=2（-a-6），
解得：a=-9，点B在点O的右边，6=2（a+6），
解得：a=-3，
综合a的值为-12，-9，-4，-3．
【点睛】本题考查新定义线段的和谐点，数轴上两点距离，一元一次方程，线段的倍分关系，掌握新定义
线段的和谐点，数轴上两点距离求法，解一元一次方程，线段的倍分关系是解题关键．
