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九年级数学试卷
一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京
冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是
部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解
题的关键．
2. 如图，四边形ABCD内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得， =2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3. 对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数 的性质判断即可．
【详解】在二次函数 中，
∵ ，
∴图像开口向下，故A错误；
令 ，则 ，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数 的对称轴为直线 ，故C错误；
二次函数 的顶点坐标为 ，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数 的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 或1
【答案】A
【解析】【分析】把 代入方程得出 ，再求出方程的解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)
的面积之和为( )
A. π B. π
C. π D. π
【答案】B
【解析】
【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB= =10，∴S = ．故选B．
阴影部分
6. 某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的
概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题需要两步完成，可采用列表法，列举出所有情况，看两次摸到的球相同的情况数占总情况数
的多少即可．
【详解】解：列表得：
两次摸到的球相同的情况数占总情况数的概率
故答案为：C
【点睛】此题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的
事件，解题需要注意是放回实验还是不放回实验，列举出所有情况是解题关键．
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A. A，B，C都不在 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得 为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线
性质即可得．
【详解】解：如图所示：连接BD，
， ， ，
∵
，
∴
为直角三角形，
∴
D为AC中点，
∵
，
∴
覆盖半径为300 ，
∵A、B、C三个点都被覆盖，
∴故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是
解题关键．8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交
点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛
物线的对称性得出点 的对称点是 ，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ ，故①正确；
∵抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴ ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴ ，即：b=-4a，∵ ，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点 ，
∴ ，即： ，
∴m=-9a，即： ，故③正确；
∵若此抛物线经过点 ，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ 一定是方程 的一个根，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点是B，则线段AB的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点B的坐标，再根据平面上两点间的距离公式得出答案．
【详解】 关于原点对称 的点是
,
故答案为：
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质及平面上两点间的距离公式，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
10. 将抛物线 先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】抛物线 先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，
得到的抛物线的函数表达式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．
11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，
列出方程求解即可得．
【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为： ，
∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π
设圆锥的底面圆的半径为r，则：
，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是
解题关键．
12. 点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： __________ （填“>”，
“=”或“<”）．
【答案】<
【解析】【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解．
【详解】解：由 可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵ ，
∴点A离y轴的距离小于B离y轴的距离,
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．
13. 如图， 分别切 于点A，B，Q是优弧 上一点，若 ，则 的度数是
________．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】连接 ，根据切线性质可得 ，再根据四边形的内角和为360°求得
，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 分别切 于点A，B，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答
的关键．
14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
.
【答案】1：2：3
【解析】
【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直
角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．
【详解】解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出
R，r和h的比值．
15. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同
的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析
可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．【答案】
【解析】
【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．
【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．
16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，
图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 顺时针方向转动，转一圈为 分钟．从小刚由登舱
点 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填 ， ， 或
)，此点距地面的高度为_______m．
【答案】 ①. C ②. 78
【解析】
【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了 圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂
径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了 圈
∴乘坐的座舱到达图2中的点C处
如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC于点E
由图2可知圆的半径为44m，
即
∵OQ⊥BC
∴
∴
∴
∴点C距地面的高度为 m
故答案为C,78
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.
三、解答题（共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，
第27，28题，每小题7分）
17. 解方程： ．
【答案】 或
【解析】
【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．【详解】 ，
，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．
18. 已知：如图，A为 上的一点．
求作：过点A且与 相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与 的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知 ．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴ （ ）（填推理的依据）．
∵OA是 的半径，
∴直线PA与 相切（ ）（填推理的依据）．【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理
【解析】
【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；
（2）证明：连接BA，
由作法可知 ，
∴点A在以OP为直径的圆上，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
∵OA是 的半径，
∴直线PA与 相切（切线的判定定理），
故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进
行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
的
（2）若 ，且此方程 两个实数根的差为3，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程 ，
∴
= = ．
∵ ，
∴ ．
∴ 该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程 ，
解方程，得 ， ．
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性
是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
（3）当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将 代入抛物线解析式，即可求出 的值，进而求出抛物线的表达式．
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
（3）利用函数的顶点和函数图象 轴的交点，以及代入特殊点作二次函数的图象即可求得 的取值范围
【小问1详解】
∵ 抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 该抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
由（1）知抛物线的表达式为∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵抛物线与 轴只有一个公共点，
∴只需向上平移 个单位，顶点变为 ，此时满足题意，
∴将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点，
故答案为：1．
【小问3详解】
函数 图象如下图所示：
通过图象可知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式、函数图象的平移和二次函数图象，熟练利用
待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图象整体平移的情况，会画二次函数的图象是解决该题的关键．
21. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球
都是红球的概率记为 ；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个
球，两次摸出的球都是红球的概率记为 ．
请你猜想 ， 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
【答案】 ，验证过程见解析
【解析】
【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】活动1：
红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2）
∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
活动2：
红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2） （白，白）
∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为
∴
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重
点需要注意球放回与不放回的区别．
22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场
决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出
2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？
【答案】每件衬衫应降价20元
【解析】
【分析】设每件衬衫应降价 元，则每件所得利润为 元，但每天多售出 件即售出件数为
件，因此每天赢利为 元，进而可根据题意列出方程求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价 元，
根据题意得 ，
整理得
解得： ， ．
因为要扩大销售，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度 （单位：m）与行进的水平距离 （单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位
置 与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地
面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点 的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；
（2）设抛物线 的解析式为： ，从而求出a的值，再把x=0代入解析
式，即可求解．
【详解】（1）由题意得：点 坐标为（4.5，3.05）， 的坐标为（3，3.3），
故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；
（2）设抛物线的解析式为： ，
把点 坐标（4.5，3.05），代入 得 ，
解得： ，
∴
当x=0时， ，
答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．
【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．
24. 如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直
径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性
质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得 AOD≌△AOC（SAS），得到
∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论； △
（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO，由切线长定理得到AD=AC，再根据勾股定理，
即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴ △AOD≌△AOC，
∴ ∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴ ∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴ ，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中， ，
即： ，
解得：AC=6；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握
性质定理是解题的关键．
25. 阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
… …
… …
其中 ______；
（2）在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图
象；（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当 时，则y的取值范围为______．
②直线 经过点 ，若关于x的方程 有4个互不相等的实数根，则b的取
值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）① ；②
【解析】
【分析】（1）把 代入函数解析式即可得 的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数 的图象关于y轴对称；当 时，根
据函数图象可得到 ；
②根据函数的图象即可得到b的取值范围是 ．
【小问1详解】
将 代入函数 得：
．
故答案为：
【小问2详解】
根据表格：… …
… …
描点法作出函数 的图象如下图所示：
【小问3详解】
①根据函数图象可知：
当 时，y的取值范围是 ；
故答案为： ；
②由函数图象知：∵关于x的方程 有 个互不相等的实数根，
∴b的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）若 ， 为抛物线上两个不同的点．
①当 时， ，求a的值；②若对于 ，都有 ，求a的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴
（2）① ②
【解析】
【分析】（1）抛物线 经过点 ，可得 ，解得 ，则抛物线为
，利用抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）①由 ， 为抛物线上两个不同的点， 时 ，可得二次函数图像
的对称轴为直线 ，利用抛物线对称轴公式 可得 的值；
②对于任意的 ， 随 的增大而减小，分类讨论 和 时 的取值范围，当 时不能满足
对于 ，都有 ，当 时可以满足对于 ，都有 的条件，使得
即可，从而可得a的取值范围．
【小问1详解】
解： 函数图像经过点 ，
，
，
，
，
抛物线的对称轴是 ；【小问2详解】
解：① 时 ，
二次函数图像的对称轴为直线 ，
，
；
②由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，
在对称轴左侧，在直线 的右侧可满足题意，而在对称轴右侧则有 都有 ，故
不可能；
当 时， ， 在对称轴右侧，都有 ，当抛物线对称轴在直线 左侧，即
抛物线对称轴， ，
整理得： ，
．
【点睛】此题考查了抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对
称轴列不等式，掌握抛物线解析式和对称轴公式是解题关键．
27. 在正方形 中，点E在射线 上（不与点B、C重合），连接 ， ，将 绕点E逆时
针旋转 得到 ，连接 ．（1）如图1，点E在 边上．
①依题意补全图1；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图2，点E在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②过点F作 ，交 的延长线于H，证明 得到 ，
，则 ，在 中，利用勾股定理即可求解；
（2）过点F作 ，交 的延长线于H，证明 得到 ，
，则 ， 和 都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即
可．
【小问1详解】
①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F作 ，交 的延长线于H，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ．【小问2详解】
结论： ，理由如下：
过点F作 ，交 的延长线于H，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确
作出辅助线，构造全等三角形．
28. 如图1，对于 的顶点P及其对边 上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心， 为半径的
圆与直线 的公共点都在线段 上，则称点Q为 关于点P的内联点．
在平面直角坐标系 中：
（1）如图2，已知点 ，点B在直线 上．
①若点 ，点 ，则在点O，C，A中，点______是 关于点B的内联点；
②若 关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点 ，点 ，将点D绕原点O旋转得到点F，若 关于点E的内联点存在，直
接写出线段EF长度的取值范围．
【答案】（1）①O，C
②
（2） ．
【解析】
【分析】（1）①分别以B为圆心， 、 、 为半径作圆，观察图像根据线段 与圆的交点位置，
可得结论；②如图，当点 时，此时以 为半径的圆与线段 有唯一的公共点，此时点O是 关于点B
的内联点；当点 时，以 为半径的圆，与线段 有公共点，此时点A是 关于点B的内
联点；
（2）如下图，过点E作 轴于H，过点F作 轴于N，利用相似三角形的性质求出点F的坐
标，再根据对称性求出 的坐标，当 时，设 交 于P，再求出 的坐标，结合图像
可得出结论．
【小问1详解】
①如下图中，根据点Q为 关于点P的内联点的定义，观察图象可知，点O，点C是 关于点
B的内联点
故答案为：O，C；
②如下图中，当点 时，此时以 为半径的圆与线段 有唯一的公共点，此时点O是 关于
点B的内联点，
当点 时，以 为半径的圆，与线段 有公共点，此时点A是 关于点B的内联点，观察图像可知，满足条件的n的值为 ；
【小问2详解】
如下图，过点E作 轴于H，过点F作 轴于N，
∵
∴ ， ，
∴
当 时，点O是 关于点E的内联点，
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴此时
观察图象可知当 时，满足条件；
作点F关于点O的对称点 ，
此时
当 时，设 交 于P，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
在 中，则有 ，
解得 ，
∴ ， ，
可得 ，
此时
观察图象可知，当 时，满足条件；
综上所述，满足条件的 的取值范围为 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质以及相似
三角形的判定和性质等，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
