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2020－2021 学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称和中心对称的定义及性质直接判断即可．
【详解】解：A选项旋转 度后与原图不重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故B不符合题意；
C选项旋转 度后与原图重合，是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故C选项符合题意；
D选项旋转 度后与原图不重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称和中心对称的判断，解题关键是熟知轴对称和中心对称定义及性质．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. ±3是（﹣3）2的算术平方根 B. ﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C. 的平方根是﹣3 D. ﹣3是 的一个平方根
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：A、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
B、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、 =9， 的平方根是±3，故此选项不符合题意；
D、-3是 的一个平方根，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根的概念，掌握相关定义，注意符号是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司3. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4 ，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知 为等腰三角形， ，由 为 中点，则 ，在
中，求出MN和BN，则根据 可求答案．
【详解】解： ， ，
为等腰三角形， ．
为 中点， ，
，
又 ，则在 中，
， ，
故 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算，熟悉等腰三角形性质和勾
股定理是解题的关键．
4. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 的面积为10 B.
C. D. 点A到直线 的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定
理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．
【
详解】解：B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°， ， ，
∴ ，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得： ，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵ ，
∴ ，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，
b，斜边长为c，那么 ．
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果
△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
.
A 8 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM=MC，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=8=AM+DM+CD=8，
∴AD+CD=8，
的
∴平行四边形ABCD 周长=2×8=16，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
6. 已知x，y为实数，xy＝5，那么x y 的值为（ ）
A. B. 2 C. ±2 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
【详解】解： ，
， 为实数， ，
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学科网（北京）股份有限公司、 同号，
当 ， 时，
原式 ，
当 ， 时，
原式 ，
由上可得， 的值是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则
梯形ABCD的面积等于（ ）
A. 6 B. 9 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】过 作 交 于点 ，再求出 ， ， ，由 为梯形
中位线，则 ，最后由梯形面积公式 得到答案．
【详解】解：过 作 交 于点 ，
则 为梯形的中位线， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
， ，
，
梯形 的面积为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质及解直角三角形，注意构造梯形的中位线是梯形中常见的辅助线．
8. 如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，若F为BC的中点，给出以
下结论：①FD∥AC；②FE＝FD； ③AB﹣AC＝DE； ④∠BAC＋∠DFE＝180°．其中正确的结论是（
）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解
答即可．
【详解】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，
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学科网（北京）股份有限公司∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG=AC，GE=CE，
同理可得，AB=AH，BD=HD，
∵BF=CF，BD=HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF= CH，
∵GE=CE，BF=CF，
∴EF= BG，
∵GB=AB-AG=AH-AC=CH，即GB=CH，
∴ GB = CH，即EF=DF，故②正确，
∴AB-AC=AB-AG=BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED=∠EDI=∠GID=90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI=ED，
∴BG＞GI=ED，
∴AB-AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED=∠BAD，∠FDE=∠HAD，
∴∠FED+∠FDE=∠BAD+∠HAD=∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD=180°，
∴∠BAC+∠EFD=180°，故④正确；
故选：A．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答．
二、填空题（每题3分，共30分）
9. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是______________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是
，由于 是无理数，则可直接输出．
【详解】解：输入 时，
的立方根是9，
的算术平方根是3，是有理数，
的算术平方根是 ，是无理数，
输出为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根的运算，熟练掌握立方根、算术平方根的求法，能看懂数值转换机
的运算流程是解题的关键．
10. 如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，
AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】求出 的长度为3，根据勾股定理求出 的长为 ，所以 ，所以
，根据完全平方公式求 即可．
【详解】解： 点表示的数为 ， 点表示的数是1，
，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的运算，勾股定理，完全平方公式，根据勾股定理求出AC的长度
是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，AB＝2 ，AC ，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到
△ABC ，连接BC ，则BC 的长为_______________．
1 1 1 1
【答案】
【解析】
【分析】由旋转可知∠BAC=90°，再用勾股定理求BC 的长即可得答案．
1 1
【详解】解：由旋转性质可知， ， ，
则在 中， ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，得到∠BAC=90°是解题关键．
1
12. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
【答案】15﹣5 .
【解析】
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，
进而可得出答案.
【详解】过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝ ＝5 ，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ，
故答案是：15﹣5 .
【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
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学科网（北京）股份有限公司13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，BC的中点为E，连接EF，EF⊥AB．连接
DF，DE，则△DEF的面积为______．
【答案】16
【解析】
【分析】延长 交 的延长线于点 ，由中点性质可得 ，利用 证明 ，从
而 ， ，由勾股定理可得 ，最后可根据 来计算面
积得到答案．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点 ，
由四边形 为平行四边形，
，
，
又 中点为 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键在于正确
寻找全等三角形，学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题，属中考常考型．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，
则平行四边形ABCD的面积是_______．
【答案】72
【解析】
【分析】连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，可得四边形AEBF为平行四边形，
BF=AE=9，AF=BE=5，DF=15．再运用勾股定理逆定理证明△DBF为直角三角形，可求出DF边上高h为
，最后根据S =AD•h求面积即可得到答案．
ABCD
【详解】解：连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，
∴四边形AEBF为平行四边形．
∴BF=AE=9，AF=BE= BC= AD=5，
∴DF=AD+AF=10+5=15，
又BD=12，92+122=225=152，
即BD2+BF2=DF2，
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学科网（北京）股份有限公司∴△DBF为直角三角形．
则设DF上的高为h，根据面积公式有DF•h=BF•BD，
即15h=9×12，解得h= ，
∴S =AD•h=10× =72．
ABCD
故答案为：72．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的面积计算，平行四边
形的面积计算，过点B作BF∥AE，构造直角三角形DBF是解题关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，
F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出
BC即可．
【详解】解：∵CB=BE，DF=FE，
∴CD=2BF=6，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=12，
∴BC= = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出
AB的长，再利用勾股定理求解．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长
为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，
则DF的长为___________________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=CD，
由题意可得AE=EC=AD，
∴AE=EC=AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=12，AC=16，
∴BC= =20，
∴AH= ，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CD=CE，
∴S =EC•DF=CD•AH，
菱形ADCE
∴DF=AH= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等，掌握直角三角形斜边中线的性
质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司17. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE
＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为_______．
【答案】120
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO，BD=2DO=10，求得AD=AE=AO+OE=1+OA，由勾股定
理可求AO=12，由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2DO=10，
∵AD=AE，
∴AD=AE=AO+OE=1+OA，
∵AD2=OD2+AO2，
∴（1+OA）2=25+AO2，
∴AO=12，
∴AC=24，
∴菱形ABCD的面积= = =120，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理列方程求得AO=12是本题的关键．
18. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接
EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为_________________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明
∠ETG=90°，推出点G在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小，进一步即得答案．
【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=45°，
∴∠BEF=∠TEG，
在△EBF和△ETG中，
，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC=8，BE=2，CD=6，
∴CE=CD=6，
∴∠CED=∠BET=45°，
∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ=TE=BE=2，
∴CJ⊥DE，
∴JE=JD，
∴CJ= DE= ，
∴CG=CJ+GJ= ，
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学科网（北京）股份有限公司∴CG的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（共46分）
19. 计算：
（1）（ 2 ）0 （ 1）2＋|1 |；
（2） （ ） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
的
【分析】（1）由二次根式 混合运算的运算顺序，先算乘方并化简，再算加减法．
（2）根据二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减．
【详解】解：（1）
．
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查零指数幂、乘方、绝对值、分母有理化以及二次根式的混合运算，熟练掌握零指数
幂、乘方、绝对值、分母有理化以及二次根式的混合运算是解决本题的关键．
20. 如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
【答案】（1）见解析；（2）8-
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到CB=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C=∠A=45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直
角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC=FC，
∴BF=DE；
（2）∵∠A=45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=45°，AG∥BC，
∴∠CBG=∠G=45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
∵BE=CE=4，
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学科网（北京）股份有限公司∴BC=AD= ，
∵∠A=∠G=45°，
∴AB=BC，∠ABG=90°，
∴AG=8，
∴DG=AG-AD=8- ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别
图形是解题的关键．
21. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且 .
（1）求证： ；
（2）连结AC，若 ，求 的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【解析】
【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，
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学科网（北京）股份有限公司∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵
∴∠BCF+∠ECD=∠ECF= ∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，
∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方
法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，
必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22. 如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于
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学科网（北京）股份有限公司点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，证出 是 的中位线，得 即可；
（2）先证 ，得 ，则四边形 是平行四边形，再证 ，即可
得出结论；
（3）设 ，则 ， ，证 是等腰直角三角形，得
，再证 是等腰直角三角形，得 ，然后在 中，由勾
股定理得出方程，解得 ，即可求解．
【详解】解：（1）证明：连接 ，交 于点 ，如图所示：
四边形 是平行四边形，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司是 的中位线，
，
即 ；
（2）证明：如图所示：
由（1）得： ，
， ，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 ，
，
平行四边形 是矩形；
（3）设 ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是正方形，
， ， ，
， 是等腰直角三角形，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质
和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 如图1，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，
连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．依题意补全图1，并解答下列问题：
（1）当BE＝CE时，直接写出旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如
果不变，请写出∠BEF的度数，并证明；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）30°；（2）不变，45°，见解析；（3）DE= AF，见解析
【解析】
【分析】（1）证 是等边三角形，得出 ；
（2）由等腰三角形的性质可得 ，
，故 ，即， 的度数不变
始终是 ；
（3）设 与 交于点 ，过点 作 与 的延长线交于点 ，过点 作 与
交于 ，过点 作 于 ，证四边形 是正方形，得出 ，根据 证
，得 ，再根据 ，得出 ．
【详解】解：补图如图1所示，
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学科网（北京）股份有限公司（1）在正方形 中， ，
由旋转可知， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
（2）不变， ，证明如下：
在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
；
（3） ，证明如下：
如图2，设 与 交于点 ，过点 作 与 的延长线交于点 ，过点 作 与
交于 ，过点 作 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司则四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
，
，
矩形 是正方形，
，
，
，
，
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【点睛】本题主要考查图形的旋转，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质等，利用辅助线构造正方形和全等三角形是解题的关键．
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