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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023—2024 学年度第二学期北京市第三十五中学阶段检测
初三数学
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．
2.考试时间120分钟．
考生
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
须知
4.在答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔
作答．
一、选择题（本题共8道题，每小题2分，共16分）
1. 下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；
B选项为圆锥，符合题意；
C选项为三棱锥，不合题意；
D选项为球，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平
面，组成的空间几何图形叫圆锥．
2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排
二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将262 883 000 000写成 ，n为正整数的形式即可．
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【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是 ，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000 ，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1 数的，掌握 中n的取值方法是解题
的关键．
3. 如图，利用工具测量角，则 的大小为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得， ．
故选A．
【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
4. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点a在 2的右边，故a> 2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
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由数轴得： 2<a< 1.5，则1.5< a<2，1<b<1.5，则 ，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回
并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球
的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到 =0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ =0，
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∴ ，
解得 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时 >0；当一元二次方程有两个相等的实数根时， =0；当方程没有实数根时， <0，正确掌握此三
种情况是正确解题的关键．
7. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．
【详解】解∶如图，
一共有5条对称轴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样
的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
8. 如图，在正方形 中，点O是对角线 的中点，点P在线段 上（不与端点重合），连接
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并延长交 于E，过点P作 交 于F，连接 交 于G，给出下面四个结
论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论 的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ③
【答案】C
【解析】
【分析】①根据正方形性质、勾股定理可得 ，证明A，B，F，P四点共圆，推出
即可判定①；②将 绕点A顺时针旋转 得到 ，利用全等三角形
的性质即可判定②；③连接 ，过点 P 作 于 Q，过点 P 作 于 W，则四边形
是 矩 形 ， 证 明 ， 由 ， 推 出
；④先证明 可得 ，再结合解直角三角形、
三角形三边关系即可解答．
【详解】解：∵在正方形 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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取 的中点T，连接 ．
∵ ，四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误．
将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴C，B，M共线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
如图：连接 ，过点P作 于Q，过点P作 于W，则四边形 是矩形，
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在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴A，B，F，P四点共圆，
∵ 为正方形 为对角线，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵A，B，F，P四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中， ，即④正确．
综上，③④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、四点共圆、
圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角
形解决问题成为解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
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【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
11. 方程 的解为___________．
【答案】x=5
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，
再进行检验即可得解．
【详解】解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.
故答案为：x=5.
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【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.
12. 在平面直角坐标系 中，若点 在反比例函数 的图象上，则
______ （填“>”“=”或“<”）.
【答案】＞
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴ > ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
3
鞋号 35 36 37 38 40 41 42 43
9
1
销售量/双 2 4 5 5 6 3 2 1
2
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．
【答案】120
【解析】
【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．
【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，
∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
故答案为：120
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的
关键．
14. 如图，在 中， 平分 若 则 ____．
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【答案】1
【解析】
【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作 于点F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
15. 如图，在矩形 中，若 ，则 的长为_______．
【答案】1
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【解析】
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16. 如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的 处，需
要步行到位于乙路口东北角 处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步
行时间如下表所示：
人行横道交通信号灯的切换时间 小宇的步行时间
沿人行横道穿过
甲路口 每
任一条马路
在甲、乙两路口
乙路口 每
之间（ 段）
假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯
颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在 处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信
号灯均恰好转为红灯，小宇从 处到达 处所用的最短时间为______ ．
【答案】7
【解析】
【分析】甲路口出发向北走 ，等红灯 ，向东走 ，走过 用时 ，乙路口向东走
．
【详解】解：根据题意可得：
，
故答案为：7．
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【点睛】本题考查有理数的加法运算，理清时间，弄清路口是否等待是解题的关键．
三、解答题（本题共12道题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小
题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题
的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
故所给不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】５
【解析】
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【分析】先根据 ，得出 ，将 变形为 ，最后代入
求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将 变形为
，是解题的关键．
20. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一
方法二
证明：如图，过点A作
证明：如图，过点C作
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【答案】答案见解析
【解析】
【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到 ， ，从而可求证三角形的内
角和为 ．
方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为 ．
【详解】证明：
方法一：过点 作 ，
则 ， ． 两直线平行，内错角相等）
∵点 ， ， 在同一条直线上，
∴ ．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为 ．
方法二：
如图，过点C作
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∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
的
即三角形 内角和为 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
21. 如图，在 中， 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出 ， ，再根据 ，得
出 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，得出 ，证明四边形ABCD为菱形，得出 ，即可证明
结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为菱形，
∴ ，
即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和
平行四边形的判定方法，是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 ， ，且与 轴交于点 ．
（1）求该函数的解析式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写出 的
取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当 时，求出 即可求解．
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（2）根据题意 结合 解出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：将 ， 代入函数解析式得，
，解得 ，
∴函数的解析式为： ，
当 时，得 ，
∴点A的坐标为 ．
【小问2详解】
由题意得，
，即 ，
又由 ，得 ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性
质是解题的关键．
23. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙
三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
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b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越
一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分
越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填
“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】（1）
（2）甲 （3）丙
【解析】
【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．
（2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解．
（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解．
【小问1详解】
解：丙的平均数： ，
则 ．
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【小问2详解】
，
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
【小问3详解】
由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲： ，
乙： ，
丙： ，
∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高，
因此最优秀的是丙，
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位
数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．
24. 如图， 为 的直径，弦 于 ，连接 、 ，过点 作 的切线， 的
平分线相交于点 ， 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得到 ， ，证明 即
可；
（ 2 ） 根 据 圆 周 角 定 理 得 到 ， 由 垂 径 定 理 得 到 ，
，求出 ，利用勾股定理得到 ，根据 ，
， 得 到 ， 结 合 是 的平 分 线 ， 推 出 ， 易 得
，由 证明 ，得到 ，即可求解．
【小问1详解】
证明： 为 的直径， ，
， ，
在 与 中，
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，
，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
， ，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，即 ，
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．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，
证明三角形相似是解题的关键．
25. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系 ，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位： ）与到点O的水平距离x
（单位： ）近似满足函数关系 ，据调查，龙舟最高处距离水面 ，为保障安
全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 ．
的
（1）水面 宽度 _______ ；
（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为 ，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】（1）
（2）4条．
【解析】
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当 时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为 即可得到答
案．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
∴ ，
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解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：令 ，得 ，
∴
解得 ， ．
可设计赛道的宽度为 ，
∵每条龙舟赛道宽度为 ，
最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数， ．
（1）若点 在二次函数的图象上，求二次函数的表达式；
（2）当 时，二次函数 的图象与 （t为常数）的图象只有一个公共点，求t的值；
（3）已知点 ， ，若二次函数 的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写
出m的取值范围．
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【答案】（1）
（2）0 （3） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，再解方程求解 的值即可得到答案；
（2）先求解抛物线的解析式可得 ，再根据顶点坐标 ，结合图象与 只有一个公共
点，从而可得 的值；
（3）分 和 两种情况来讨论：当 时， 时， ，再解
不等式即可；如图2，当 时，先求解直线 为 ，令 ，利用 ，
可得： ，结合 时， ，可得 ，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时，二次函数关系式为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点为 ，
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∵二次函数 的图象与 （t为常数）的图象只有一个公共点，
∴ ；
【小问3详解】
①如图1，当 时， 时， ，
解得 ，
∴ ，
②如图2，当 时，∵点 ， ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
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∴直线 为 ，
令 ，整理得 ，
∵二次函数 的图象与线段 有两个不同的交点，
∴ ， 解得： ，
当 时， 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐
标特征，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
27. 如图，在等腰直角 中， ，D是线段 上一点（ ），连接 ，过点
C作 的垂线，交 的延长线于点E，交 的延长线于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
（3）若点G在线段 上， ，连接 .
①判断 与 的位置关系并证明；
②用等式表示 之间的数量关系.
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【答案】（1）补全图形，如图见解析；（2） ；（3）① DG 与 BC 的位置关系:
DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2.
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可； 如图：构造等腰Rt△BPD得
PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论.
【详解】解：（1）补全图形，如图所示：
（2） ， ，
，
，
，
交BD的延长线于点E，
，
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，
，
；
（3）① 与BC的位置关系： ，证明如下：
连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，
， ， ，
≌ ，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，
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由①得BG⊥AC，∠PBD=90°，
∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°，
∴∠ADB=∠GBP，
在△ADB和△GBP中，
,
∴△ADB≌△GBP（SAS），
∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°，
由①得 ，
∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形，
∴PD2+DG2=PD2
∵PD2=2BD2,BD=CG
∴
【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造
出全等三角形解答．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和点 给出如下定义；若直线 经
过点 ，线段 与 只有一个公共点 ，且 ，则称点 是弦 的“关联点”．
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（1）如图，点 ．在点 中，弦
的“关联点”是 ；
（2）若点 ，且点 是弦 的“关联点”，求线段 的长；
（3）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ．对于线段 上一点 ，存在 的弦
，使得点 是弦 的“关联点”．记 的长为 ，当点 在线段 上运动时，直接写出 的取
值范围．
【答案】（1）
（2）线段 的长为 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题目中关联点的定义依次判断即可；
（2）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；
（3）依题意得到 ， ，P共有2种情况：分别位于点M和经过点O的 的垂线上，
根据关联点的定义分别求出两种情况下 的临界值，再综合讨论即可．
【小问1详解】
解： 关联点C需要满足直线 经过点 ，从图形上易得，直线 和 不经过点O，
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排除点 和 ，
关联点C还需要满足线段 与 只有一个公共点 ，从图形上易得，线段 与 有两个公共点，
排除点 ，
现在来验证点 ，设直线 解析式为 ，将点 和 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ，经过点O，
， ，
直线 是垂直于x轴并且经过点 的直线，点O到直线 的距离为1，
的半径为1，
与 相切，即线段 与 只有一个公共点，
如图，连接 ，
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，
，
是等边三角形，
，
，
根据关联点的定义，点 是弦 的关联点．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图，由题意可得，点 在 轴上且 ，
即图中 和 两个位置．过 作 轴于 ，
，
，
又 在 中， ，
，
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，
同理可得 ，
，
综上所述，线段 的长为 或 ．
【小问3详解】
解： 对于线段 上一点P，存在 的弦 ，使得点P是弦 的关联点，
弦 随着P的变动在一定范围内变动，
， ，
共有2种情况：分别位于点M和经过点O的 的垂线上，
①如图，当P位于点 时，连接 ，
为 的切线，
，
，
，
，
是等边三角形， ，
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，
在 中， ，
由勾股定理有 ，
点P位于点 时， 的临界值为 和1；
②如图，当点P位于经过点O的 的垂线上时，连接 ，作 于点H，
， ，
由勾股定理有 ，
则 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理有 ，
，
在 中有 ，
即 ，
解得 ，
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， ， ，
在 中，由勾股定理有 ，
在 中，由勾股定理有 ，
当点P位于经过点O的 的垂线上时， 的临界值为 和 ．
在两种情况下， 的范围是 或 ，
综上所述，t的取值范围是 或 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练
掌握新概念“关联点”并且运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键．
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