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第 09 讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，一条细线的一端与水平地面上的物体B相连，另一端绕过一轻
质定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线固定在天花板上的 点，细线与竖直方向所成的夹角为α，
以下四种情况物体B均保持静止，则（ ）
A．若将物体B在地板上左移小段距离，α角将不变
B．若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变小
C．若OB绳与地面夹角为 ，则α角为
D．若增大小球A的质量，α角将变小
【答案】C
【详解】AB．对小球A受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T=mg对滑轮分析，受三个拉力，如
图所示，根据平衡条件可知，∠AOB=2α，
如果将物体B在水平地面上向左移动稍许，AB仍保持静止，绳子的拉力不变，则∠AOB减小，故α一定
减小；同理，若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变大，故AB错误；
C．若OB绳与地面夹角为 ，则∠AOB =60 ，可得α角为 ，选项C正确；
D．增大小球A的质量，若B仍保持不动，系统仍处于静止状态，α角不变，故D错误。故选C。
°
2．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考）筷子是我们每日所需的用餐工具。如图所示，用筷
子夹质量为 的小球，一双筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为 ，筷子夹
住小球静止不动，若小球与筷子之间无摩擦，重力加速度g取 ，下列说法正确的是（ ）A．两根筷子对小球合力大于
B．每根筷子对小球的压力为
C．仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成 ，此过程左边筷子对小球的压力逐渐增
大
D．若保持两筷子间的夹角不变，将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动 ，此过程中右边筷子对小
球的压力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．因为筷子夹住小球静止不动，小球与筷子之间无摩擦，可知小球处于平衡状态，故有两根筷
子对小球合力等于5N，故A错误；
B．因为筷子和竖直方向的夹角均为 ，受力分析可得，小球收到的筷子的弹力方向与重力的方向成
，即小球受到的左右筷子弹力方向互为 ，可知每根筷子对小球的支持力为
解得 根据牛顿第三定律可得，每根筷子对小球的压力为5N，故B错误；
C．将仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成 ，整个过程中小球保持平衡状态，由
小球受力平衡，利用矢量三角形可知，即如图所示
可得此过程左边筷子对小球的压力先减小再增大，故C错误；
D．若将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动 ，受力分析可知，此过程右边筷子对小球的压力逐
渐减小，故D正确。故选D。
3．（2023·宁夏·高三校级联考模拟）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板
MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个
装置的截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．Q对P的弹力逐渐增大 B．Q所受的合力逐渐增大
C．MN对Q的弹力逐渐减小 D．地面对P的摩擦力逐渐减小
【答案】A
【详解】ABC．对圆柱体Q受力分析，受到重力、板MN的支持力N 和半圆柱体P对Q的支持力N ，如
1 2
图所示
由图可知，随着MN缓慢向右平移，N 与竖直方向的夹角不断增大，MN对Q的弹力N 逐渐增大，P对Q
2 1
的弹力N 逐渐增大，但其所受合力一直为零，故A正确，BC错误；
2
D．对PQ整体受力分析，受到总重力、MN板的支持力N ，地面的支持力N ，地面的静摩擦力f，如图所
1 3
示
根据共点力平衡条件可知，地面对P的摩擦力始终等于N ，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，故D错误。
1
故选A。
4．（2023·北京·模拟预测）如图所示，质量为m的等腰直角三角板abc，用轻绳一端系着三角板a点，另
一端固定于天花板，在三角板的c点作用水平拉力F，当系统处于平衡状态时，细绳与竖直方向夹角为
30°，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）A．轻绳拉力大小为
B．外力F大小为
C．若保持外力F的方向不变，使三角板绕O点逆时针缓慢转动，则轻绳的拉力先增大后减小
D．若保持细绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，则外力F先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．对三角板进行受力分析，受三力（重力mg、轻绳拉力T、外力F）而平衡，三角板处于平衡
状态有 ； 解得 ； 选项AB错误；
C．三角板绕O点逆时针转动过程中，细绳与竖直方向的夹角（设为 ）增大，由平衡条件可知，轻绳拉
力的大小 故T必增大，选项C错误；
D．若保持细绳拉力方向不变，由于三角板处于平衡状态，作出力的示意图如图所示
当外力F逆时针转动时，其大小先减小后增大，选项D正确。故选D。
5．（2023·河南·高三名校联考）如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上，套有一质量为m的小球，一
轻绳通过光滑滑轮P连接小球A，绳的另一端用水平向左的力F拉绳，使小球缓慢上升一小段位移，图中
O为圆心， 为半径，P为 的中点。在小球上升过程中，下列说法正确的是（ ）A．绳的拉力先减小后增大
B．设 长度为L， 表示F的变化量， 表示L的变化量，则比值 不变
C．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为
D．环对小球的弹力方向是沿半径指向圆心，大小恒为
【答案】B
【详解】A．小球缓慢上升一小段位移的过程中，小球处于平衡状态，对小球进行分析受力分析如图所示
由于三角形ABC与三角形POA，可得 当小球缓慢上升一小段位移的过程中，由于AP减小，
则F减小，A错误；
B．由于小球缓慢上升一小段位移的过程中，根据分析可得 解得 ，B正确；
CD．对小球受力分析可知，环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，根据关系 解得
CD错误。故选B。
6．（2023·辽宁·校联考二模）如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为 的等腰三角形框架，
内部有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球对三边
压力的大小。此时 边恰好处于水平状态，现使框架以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到 边
竖直，则在转动过程中（ ）A． 边对球的弹力一直增大
B． 边对球的弹力一直增大
C． 边对球的弹力一直增大
D． 边对球的弹力先变小后变大
【答案】C
【详解】在转动过程中，刚开始转动角度较小时，受力分析如图1，末状态受力分析如图2
边弹力 垂直于边 ， 边弹力 垂直于边 ，由几何关系，则
在转动过程中， 不变， 由锐角变为钝角， 由钝角变为直角，由
故 边始终没有弹力， 一直增大， 先变大后变小。故选C。
7．（2022·贵州黔南·统考模拟预测）如图所示，带电性质相同且电荷量为 的A、B两小球，A球被放在
绝缘的水平台面上，B球被长为 的轻绳悬于 点， 的距离等于 的距离且夹角为 ，静电力常量为
，两球可视为点电荷，若B球的电荷量在逐渐减小的过程中，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳对B球的拉力不变
B．轻绳对B球的拉力逐渐增大C．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
D．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
【答案】A
【详解】CD.对B球受力分析
根据库仑定律可得 联立解得 故CD错误；
AB.根据相似三角形受力分析可得 则因为 ， ， 都不变，所以 不变，A正确，
B错误；故选A。
8．（2023·全国·八省八校模拟预测）如图所示，竖直绝缘杆上端固定一光滑小环O，底端紧套带电圆环B
后固定在水平面上。轻绳一端绕过光滑定滑轮 后连接沙桶C，另一端穿过O后连接一轻弹簧，弹簧另一
端通过绝缘轻绳连接带电小球A（两端细绳与弹簧的轴线共线）。当A静止时，A与C等高，小球A与B
的连线与OA垂直，OA与杆的夹角 。若在沙桶中加入（或取出）细沙的同时，将A缓慢移至另一
位置D（没有画出，OA与细杆不平行），释放后A与C仍然能够保持静止，已知A与B的电荷量不变，
弹簧始终在弹性限度内且不会与O接触，则下列说法正确的是（ ）
A．小球A受静电力的大小可能减小
B．D点可能存在的位置均处于同一圆上
C．若取出细沙，平衡后杆右侧轻绳与细杆间的夹角会大于60°
D．若加入细沙，平衡后沙桶距地面的高度必定大于小球距地面的高度
【答案】B
【详解】A．对小球进行受力分析，由相似三角形可得 由于 联立可得由于 、 及电荷量 、 均不变，可知xAB不变，即A、B间距不变，故小球所受静
电力大小不变，A错误；
B．由于A、B间距不变，所以D点可能存在的位置均处于同一圆上，B正确；
C．由于D点可能存在的位置均处于同一圆上，且已知当轻质细绳与细杆的夹角θ=60°时，细绳与该圆相切，
则此时的夹角θ=60°为细绳与细杆间夹角的最大值，即细绳与细杆间的夹角不可能大于60°，C错误；
D．由于 在沙桶中加入细沙，即mC增大时，LOA增大，小球的位置是下降的，但不知k的
具体值，沙桶高度变化不确定，D错误。故选B。
9．（2023·安徽合肥·模拟预测）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超过 的棉田都是通过机械自动化采
收。自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将
其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”形挡板上，两板间夹角为
固定不变，“V”形挡板可绕P点在竖直面内转动忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，在使BP板由水平
位置逆时针缓慢转动 的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当AP板水平时，棉包受到三个力的作用
B．棉包对AP板的压力一直增大
C．棉包对BP板的压力先减小后增大
D．当BP板转过 时，棉包对AP板的压力大于棉包对BP板的压力
【答案】B
【详解】A．当AP板水平时，若BP对棉包有弹力，则棉包将向左运动，不能够保持平衡，因此BP对棉
包没有弹力作用，可知当AP板水平时，棉包受到重力与AP板弹力两个力的作用，A错误；
BC．对棉包受力分析如图所示
则有 棉包在转动过程中，夹角 增大， 减小，可知作用力 增大， 减小，根
据牛顿第三定律可知棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，B正确，C错误；D．当BP板转至 时，根据上述受力分析图可知 此时棉包对AP板的压力等于棉包对BP板的
压力，由于棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，可知，当BP板转过 时，棉包
对AP板的压力等于棉包对BP板的压力，D错误。故选B。
10．（2023·山东·青岛高三调研）如图，为某装配车间自动安装设备，配件P吸附在电磁铁 上，O为水
平固定转轴，配件与电磁铁间磁力大小不变，方向垂直于 ；电磁铁 绕转轴O逆时针缓慢转至其左
侧对称位置 处，释放配件并安装到位，转动过程中配件相对 保持静止。在电磁铁缓慢转动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．配件与电磁铁间的弹力先减小后增大 B．配件与电磁铁间的摩擦力先减小后增大
C．配件所受弹力与摩擦力的合力大小逐渐减小 D．配件对电磁铁的作用力逐渐减小
【答案】C
【详解】AB．在电磁铁旋转到竖直线之前，设配件与电磁铁间磁力大小为F，OM与水平夹角为θ，配件
受力如下图，由受力平衡可知
由于θ在增大，所以f在增大，N在减小；在电磁铁旋转到竖直线之后，OM与水
平夹角为θ，配件受力如下图，由受力平衡可知
随着θ减小，所以f在减小，N在减小；所以，在电磁铁 绕转轴O逆时针缓慢
转至其左侧对称位置 的过程中，配件与电磁铁间的弹力一直减小，摩擦力先增大后减小。AB错误；C．由平衡条件知，配件所受弹力与摩擦力的合力大小始终与配件重力、电磁铁磁力的合力等大反向，由
于重力与磁力二力大小不变，夹角一直增大，所以二力合力逐渐减小，C正确；
D．电磁铁对配件的作用力与配件的重力等大反向，保持不变，所以配件对电磁铁的作用力保持不变，D
错误。故选C。
11．（2023·陕西·高三模拟预测）两个相同的灯笼由轻质细绳连接悬挂起来， 为悬挂点，现在对灯笼
施加一拉力（图中未画出），使 段细绳偏离竖直方向的角度为 。已知两灯笼的质量均为 ，虚线Ⅰ
与细绳 段垂直，虚线Ⅱ与细绳 段垂直，虚线Ⅲ沿水平方向，虚线Ⅳ沿 方向。不考虑其他外力，
若要使对 球施加的拉力最小，则此拉力（ ）
A．方向沿虚线Ⅰ，大小为 B．方向沿虚线Ⅱ，大小为
C．方向沿虚线Ⅲ，大小为 D．方向沿虚线Ⅳ，大小为
【答案】B
【详解】将两个灯笼看成一个整体，整体受到重力2mg、细绳OA的拉力及对B施加的拉力处于平衡状态，
如图所示
可知当对B施加的拉力与细绳OA垂直，即沿虚线Ⅱ时，拉力最小，为 故选B。
12．（2023·天津·模拟预测）质量均匀分布的光滑球A与B通过轻绳连接，跨过两轻质定滑轮悬挂于平台
两侧，初始状态A球与水平面接触且有挤压，B球悬于空中，如图所示，不计轻绳和滑轮间的摩擦，若A
发生均匀的少量膨胀后，两球仍能保持静止状态，则（ ）
A．两球的质量不可能相等 B．水平面对平台一定有静摩擦力的作用
C．膨胀后平台侧面对A弹力变大 D．膨胀后A对地面压力会变大【答案】CD
【详解】A．对B分析，受到绳子的拉力和重力，则 对A分析，受到重力m g、绳子斜向右上的拉
A
力T、平台的弹力F、水平面的支持力N，设 为绳子与竖直方向的夹角，如图所示，该拉力T在竖直方向
上的分力大小与地面的支持力N的合力大小等于其重力m g，则有
A
即 即 由上式可知，则有两球的质量有可能相等，A错
误；
B．对平台及A、B为整体，则整体在水平方向不受力作用，水平面对平台没有静摩擦力的作用，B错误；
CD．膨胀后， 变大，则根据共点力平衡条件可得 ； 由此可知，膨胀后 变大，
T不变，地面对A的支持力N变大，由牛顿第三定律可知，A对地面压力会变大；膨胀后平台侧面对A弹
力F增大，选项CD正确。故选CD。
13．（2023·福建·高三预热卷）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一
个质量为 的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一
个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角 ，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°
且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F一直减小
B．BC间的摩擦力先减小再增大
C．物体C对地面的压力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力的最大值为
【答案】AC
【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，
如图所示通过分析可得 先增大再减小，F一直减小，A正确；
B．初始状态，对A分析可得绳子拉力 ，对B分析，可发现 即一开始B与C间的
静摩擦力为零，故当绳子拉力 从 先增大再减小到 ，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先
增大再减小，B错误；
CD．将B、C看成整体，竖直方向有 由于 先增大再减小，故 先减小再增大，
故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确；
D．水平方向上有 当 最大时，即此时F水平，对A分析可计算得 所以
故D错误。故选AC。
14．（2023·湖南·高三期末）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹
簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且oa与竖直方向的夹角为 ，已知弹簧的劲
度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】根据题意，以小球a、b整体为研究对象，分析受力，作出F在几个方向时整体的受力图
根据平衡条件可知，F与F 的合力与整体重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与
T绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为 根据胡克定律有F =
min
kx
min
解得 即弹簧的形变量的取值范围为 故选AC。
15．（2023·山东日照·统考三模）一质量为 的物块恰好能沿倾角为 的足够长斜面匀速下滑。物块在沿
斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力 ， 与水平方向的夹角为 ，斜面始终处于静止状
态，如图所示。已知重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若 ，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若 ，物块仍沿斜面匀速下滑
D．若 推着物块沿斜面匀速上滑，则 的最小值为
【答案】BC
【详解】ABC．未加F时，物块匀速下滑，受力平衡，物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，由平衡条
件得 解得物块与斜面间的动摩擦因数 物块匀速下滑过程中，整体水平方向
受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若 ，对物块施加一个水平方向的力，物块下滑过程中对斜
面压力和摩擦力成比例增加，即物块对斜面的作用力方向没有变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若
，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F、摩擦力增加
，如图所示
根据几何关系可知 故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零，在竖直
平面内给物块一任意方向的外力F，此力F可以分解为垂直于斜面方向的力和沿斜面方向的力，而这两个
分力对斜面的摩擦力均为零，所以无论施加什么方向的力，在B停止运动前，地面对斜面的摩擦力为零，
物块仍沿斜面匀速下滑，故A错误，BC正确；
D．若 推着物块沿斜面匀速上滑，设F与斜面夹角 ，根据平衡条件得解得
所以 故D错误。故选BC。
16．（2023秋·陕西榆林·高三校考）如图，在竖直墙壁的左侧水平地面上放置一个边长为a、质量为
M=4kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置半径R=0.5m、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静
止。球的球心为O，OC与竖直方向的夹角为θ，正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数
μ=0.5.已知重力加速度g= 10m/s2，sin37°=0.6， cos37°=0.8， 最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若θ=37°、m=2kg，求正方体M受到地面的摩擦力大小；
（2）若θ=37°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求光滑球质量的最大值；
（3）改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体的右侧面BC到墙壁的距离小于某个值L时，无论球的质量
是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，求L的值。
【答案】（1）15N；（2）8kg；（3）
【详解】（1）以球为研究对象，受力如下图所示，小球受力平衡可知 对整体受力分析
可得
（2）以正方体和球整体为研究对象，竖直方向受重力（m+M）g和地面的支持力F ，水平方向受墙壁的
N
弹力N 和地面的摩擦力 ，根据平衡条件有 所以 得出
2
（3）根据无论mg多大，只要 就不可能动起来，即
通过几何关系解得 代入数据得1．（2022·湖南·统考高考真题）如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，
其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，
其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（
）
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ与电流I成正比
D．sinθ与电流I成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；
BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有 ，F = mgcosθ则可
T
看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cosθ减小，静止后，导线对悬线的拉力F 减小，BC错误、
T
D正确。故选D。
2．（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑
轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉
动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方
向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐
增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故
本题选BD．
