文档内容
考向 07 曲线运动 平抛运动
【重点知识点目录】
1. 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
2. 小船渡河模型
3. 绳（杆）端速度分解模型
4. 平抛运动的基本规律
5. 多体平抛运动
6. 落点有约束条件的平抛运动
1．（2022•广东）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，
一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P
点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为 t。不计空气阻
力。下列关于子弹的说法正确的是（ ）
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
【答案】B。
【解析】解：当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，
子弹和小积木在竖直方向上都做自由落体，在竖直方向上保持相对静止，因此子弹将击
中P点，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故击中的时间为t＝ ，故B正确，ACD
1
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学科网（北京）股份有限公司错误；
（多选）2．（2019•新课标Ⅱ）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体
的姿态会影响下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从
离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v﹣t图象如图（b）所示，t 和t
1 2
是他落在倾斜雪道上的时刻。则（ ）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v 时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
1
【答案】BD。
【解析】解：A、根据图象与时间轴所围图形的面积表示竖直方向上位移的大小可知，
第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，故A错误；
B、由图象知，第二次的运动时间大于第一次运动的时间，由于第二次竖直方向下落距
离大，合位移方向不变，所以第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，故
B正确；
C、由图象知，第二次滑翔时的竖直方向末速度小，运动时间长，据加速度的定义式可
知其平均加速度小，故C错误；
D、当竖直方向速度大小为v 时，第一次滑翔时图象的斜率大于第二次滑翔时图象的斜
1
率，而图象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔时速度达到v 时加速度大于第二次
1
2
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学科网（北京）股份有限公司时的加速度，据mg﹣f＝ma可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔时的加速度小，故其
所受阻力大，故D正确。
（多选）3．（2022•山东）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上
击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度
为8.45m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行
墙面的速度分量不变，重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙
壁的距离d分别为（ ）
A．v＝5m/s B．v＝3 m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
【答案】BD。
【解析】解：设网球飞出时的速度为v ，
0
根据运动学公式可知竖直方向v ＝2g （H﹣h）
0y
代入数据得
v ＝12m/s
0y
运动时间t＝
根据速度的分解有：v ＝
0x
排球水平方向到P点的距离
x ＝v t
0x 0x
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
v ＝ v
0x1 0x
平行墙面的速度分量
v ＝ v
0x2 0x
3
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学科网（北京）股份有限公司反弹后，垂直墙面的速度分量
v ＝0.75v
0x3 0x1
则反弹后的网球速度大小为
v ＝
x
联立代入数据解得：v ＝3 m/s
x
网球落到地面的时间t'＝
着地点到墙壁的距离d＝v t'
0x3
代入数据解得：d＝3.9m
故BD正确，AC错误；
4．（2022•甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照
片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了
3 个影像，所标出的两个线段的长度 s 和 s 之比为 3：7。重力加速度大小取 g＝
1 2
10m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】抛出瞬间小球的速度大小为 。
【解析】解：因为每相邻两个小球之间被删去了3个影像，所以每相邻两个小球之间有
4次闪光间隔，即相邻两个小球之间的时间为：
t＝4×0.05s＝0.2s
因为第一个小球为抛出点，所以第一段运动对应的竖直位移大小为：
＝
第二段运动对应的竖直位移大小为：
＝ ＝0.6m
4
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学科网（北京）股份有限公司设小球抛出时的初速度大小为v，则s 可以表示为：
1
＝
同理s 可以表示为：
2
＝
因为s ：s ＝3：7，联立解得：
1 2
v＝
1．平抛运动的处理技巧--“补”
由平抛运动的分解规律可知，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向
的自由落体运动，我们在解答有关平抛运动的问题时，如果选择适当的位置补画这两个
方向的平面，按照这种分解规律可以给解题带来极大的方便．
斜面上的平抛运动问题的规律总结
顺着斜面平抛
方法：分解位移
x=v t
0
1
¿ y= gt2
2
y
¿tanθ=
x
2v tanθ
¿可求得t= 0
g
（2）对着斜面平抛（如右图）
方法：分解速度
5
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学科网（北京）股份有限公司v =v
x 0
¿v =>,
y
v v
¿tanθ= 0 = 0
v gt
y
v
¿可求得t= 0
gtanθ
（3）对着竖直墙壁平抛（如右图）水平初速度 v0不同时，虽然落点不同，但水平位移
d
相同．t= .
v
0
3．类平抛运动的求解方法
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向
（即沿合外力的方向）的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动
具有等时性．
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 a分解
为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
4．涉及平抛运动的综合问题
（1）平抛运动与其他运动形式（如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动、圆
周运动等）综合的题目．在这类问题的分析中要注意平抛运动与其他运动在时间上、位
移上、速度上的相关分析．
（2）多体平抛问题：
①若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只
决定于两物体水平分运动；
②若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距
由两物体水平分运动和竖直高度差决定；
③若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距决定于两
6
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学科网（北京）股份有限公司物体水平分运动和竖直分运动．
5.小船渡河的两类模型
6.四种常见的速度分解模型
7
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学科网（北京）股份有限公司7 落点在斜面上的平抛运动
8
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学科网（北京）股份有限公司8 落点在圆弧面上的三种常见情景
如图甲所示,小球从半圆弧左边沿平抛,落到半圆内的不同位置。
由半径和几何关系制约时间联立两方程可求t。
如图乙所示,小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道,此时半径OB垂直于速度方向,圆心
角a与速度的偏向角相等。
9
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学科网（北京）股份有限公司(3)如图丙所示,小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角
0与速度的偏向角相等
9.落点在水平台阶上
如图所示,水平初速度 0。不同时,虽然落点 d不同,但水平位移 d相同,t=,注意 t并不相
等。
对于此类题目,无论落点怎样变化,其题根均为平抛运动规律的应用,解题的关键是把约束
界面的几何关系与平抛,运动规律相互结合起来。
1
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0
学科网（北京）股份有限公司一、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动的定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动．
2．曲线运动的特点：
（1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向．
（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速
运动，即必然具有加速度．
3．曲线运动的条件
（1）从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
（2）从运动学角度看：物体的速度方向跟它的加速度方向不在同一条直线上．
注意：
变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动．曲线运动一定是变速运动，因为速度方
向一定变化．曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动．
二、平抛运动
三、1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作
用下的运动．
四、2．条件：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用．
五、3．性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线．
六、4．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动．
七、5. 规律:
八、(1) 水平方向: 匀速直线运动, v =v ,x=v t,a =0.
x 0 0 x
1
九、(2) 竖直方向：自由落体运动， v =>，y= gt2,a =g.
y 2 y
十、(3) 实际动动: v=❑√v2+v2,s=❑√x2+ y2,a=g.
x y
十一、三、类平抛运动
十二、1．定义：加速度恒定，加速度方向与初速度方向垂直．
十三、2．性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线．
1
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1
学科网（北京）股份有限公司十四、3．研究方法：一般将类平抛运动沿初速度和加速度两个方向分解．
十五、4. 规律:
十六、规律: 与平抛运动类似.
十七、(1) 初速度方向：匀速直线运动， v =v ,x=v t,a =0.
x 0 0 x
1
十八、(2) 加速度方向: 初速度为雰的夺加速直线运动， v =a t，y= a t2 .
y y 2 y
十九、(3) 合运动 (实际运动) : v=❑√v2+v2,s=❑√x2+ y2,a=a .
x y y
二十、四、平抛运动的基本规律
二十一、1．速度的变化规律
二十二、（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0．
二十三、（2）任意相等时间间隔△t内的速度变化量方向竖直向下，大小
△v=△vy=g△t．
(3) 速度改变量
(4)
(5) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g ，所以做平抛运动的物体在任意相等
时间间隔 Δt 内的速度改
(6) 变量 Δv=gΔt 是相同的，方向恒为坚直向下，如图所示
.
2．位移变化规律
（1）任意相等时间间隔内，水平位移相同，即△x=v0△t．
（2）连续相等的时间间隔△t内，竖直方向上的位移差不变，即△y=g△t2．
3．平抛运动的两个重要推论
1
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2
学科网（北京）股份有限公司推论 I：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为 α
，位移与水平方
向的夹角为 θ ，则 tanα=2tanθ.
v gt y 1gt2 gt
证明: 如图所示，由平抛运动规律得: tanα= 1= ，tanθ= = = ，所以
v v x 2v t 2v
0 0 0 0
tanα=2tanθ.
推论且：做平抛运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位
移的中点.
证明: 如图所示，设平抛物体的初速度为 v ，从原点 O 到 A 点的时间为 t，A 点坐
0
标为 (x,y) ，B点坐标为
1 v y
(x′，0) ，则 x=v t,y= gt2，v =>¿ ， 又 tanα= ⊥= ，
0 2 ⊥ v x−x′
0
x
解得 x′= .
2
即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点．
五、运动的合成和分解
1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实
际运动即合运动。
2．运动的合成与分解
已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆
运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
（1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方
向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。
1
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3
学科网（北京）股份有限公司（2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。
4．合运动和分运动的关系
（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影
响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
5．合运动的性质与轨迹
合运动的性质和轨迹，由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。
（1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大
小或方向）变化，则为非匀变速运动。
（2）根据合加速度的方向与合初速度的方向判定合运动的轨迹：若合加速度的方向与合初
速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动。
（3）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与轨
迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。
易错题【01】
搞不清楚做曲线运动的条件等概念导致错误
易错题【02】
在运动合成分解中，将速度分解到沿绳方向和沿杆方向的问题中容易将速度分
解到水平和竖直方向
易错题【03】
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4
学科网（北京）股份有限公司对于抛体运动的一些规律掌握不到位容易错误，如平抛运动和类平抛运动中的
角度关系，合运动与分运动的关系，平时要自主多严格推到，当做二级结论掌
握。
5．（2022春•郑州期末）有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为 v 。一条
1
小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v ，去程时船头指向始终与河岸垂直，
2
回程时行驶路线与河岸垂直。若v 、v 均不变，试求去程与回程所用时间的比值为（
1 2
）
A． B．
C． D．
【答案】C。
【解析】解：设河宽为d
当船头指向始终与河岸垂直，如图1
图1
1
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5
学科网（北京）股份有限公司则有：t去 ＝
当回程时行驶路线与河岸垂直，如图2
图2
则有：t回 ＝
则去程与回程所用时间的比值为k＝ ，故C正确，ABD错误。
6．（2022春•新会区校级期中）如图所示，倾角为 的斜面放置在水平地面上。一弹性小
球从空中A点以速度v 做平抛运动，一段时间后θ小球落在斜面上的B点，且速度刚好
0
与斜面垂直。已知重力加速度为g，空气阻力忽略不计，则A点与B点之间的竖直距离
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解析】解：小球落到B点时速度方向与斜面垂直，因此把末速度分解成水平方向的分
速度v 和竖直方向的分速度v ，如图所示
0 y
1
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6
学科网（北京）股份有限公司则有tan ＝ ，
θ
解得v ＝ ，
y
由因为 ＝2gh，
得到h＝ ＝ ，故A正确，BCD错误；
7．（2022春•邯郸期中）如图所示，圆环A套在竖直细杆上，不可伸长的轻绳一端连接圆
环A，另一端跨过定滑轮与重物B相连。从M点由静止释放圆环A．当圆环A运动到N
点时，轻绳与水平方向的夹角 ＝37°，两物体的速率之和为 7.2m/s。sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8，则此时圆环A的速度θ 大小为（ ）
A． B． C．4m/s D．
【答案】B。
【解析】解：将圆环的速度沿着轻绳和垂直轻绳分解，如图所示；
沿着轻绳方向的分速度等于重物B的速度，则：v sin37°＝v ，又v +v ＝7.2m/s，
A B A B
1
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7
学科网（北京）股份有限公司解得：v ＝ m/s，故B正确，ACD错误。
A
8．（2022•湖南模拟）如图所示，在光滑的水平面内建有一直角坐标系 xOy，一质量为m
的小球在xOy坐标系内以大小为v 、方向与x轴正方向夹角为 的速度匀速运动，当小
0
球运动到O点时对其施加大小为F、方向沿y轴负方向的恒力，α 重力加速度为g。则小
球再次经过x轴时的横坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解析】解：力F作用后小球的加速度大小为：a＝
小球再次回到x轴经过的时间为：t＝ ＝
小球在沿x轴方向做匀速直线运动，再次经过x轴时的横坐标为：x＝v cos •t
0
α
联立解得：x＝ ，故A正确、BCD错误。
9．（2022春•红山区校级期中）如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d
＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m，距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的
小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。
则v的取值范围是（ ）
1
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8
学科网（北京）股份有限公司A．v＞7m/s B．v＞2.3m/s
C．3m/s＜v＜7m/s D．2.3m/s＜v＜3m/s
【答案】C。
【解析】解：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，
此时有L＝v t
max
代入数据解得v ＝7m/s
max
恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，
则有L+d＝v t'
min
代入数据解得v ＝3m/s
min
故v的取值范围是3m/s＜v＜7m/s。
10．（2022春•长安区校级月考）如图所示，黑色小球套在一个光滑圆环上，在绳子拉力
作用下，沿着环运动，已知绳子另一端通过定滑轮，且以恒定的速度v水平向右拉动，
则当 为多少度时，小球的速度最小（ ）
θ
A．接近180°时 B．90°
C．60° D．小球速度始终不会改变
【答案】B。
【解析】解：设小球的速度为v ，把速度沿着绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示：
1
1
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9
学科网（北京）股份有限公司在沿绳方向上
v cos（90°﹣ ）＝v
1
θ
所以
由此可知，当 ＝90°时，小球的速度有最小值，故B正确，ACD错误；
11．（2022春•永θ昌县校级期中）山西刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，
一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图所示，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝
0.8m，与锅的水平距离L＝0.5m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面圈运动视为平抛
运动，要使其落入锅中，其水平初速度v 不可能为（ ）
0
A．1.25m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s
【答案】D。
【解析】解：根据竖直方向运动规律有：
解得：
因为水平位移的范围为
L＜x＜L+2R
根据x＝v t
0
可得最小速度为：
最大速度为：
由此可知4m/s不在此范围内，故D错误，ABC正确；
2
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0
学科网（北京）股份有限公司本题选择不可能的选项，
12．（2022春•凯里市校级期中）如图所示，a、b两个小球先后从倾角为 的斜面顶端水
平抛出，a球刚好落在斜面底端，b球落到了斜面上的中点，不计空气阻θ力。从小球抛
出到落到斜面上的过程中（ ）
A．a球在空中的飞行时间是b球的2倍
B．b球抛出时的初速度是a球的两倍
C．a、b两球落到斜面上时的速度方向相同
D．a球动能的变化量是b球的2倍
【答案】C。
【解析】解：A、根据
解得：
a球在空中的飞行时间与b球在空中的飞行时间之比为
，故A错误；
B、根据 ，初速度之比为
，故B错误；
C、设a、b两球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角为 、 ，根据平抛运动的
a b
推论可得： α α
tan ＝2tan
a
tanαb ＝2tanθ
则αa ＝
b
，θ故C正确；
2
α α 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
学科网（北京）股份有限公司D、根据动能定理ΔE ＝mgh
k
但两球质量未知，无法确定两球动能的变化量的关系，故D错误；
13．（2022春•柳林县期中）如图所示，倾角为 的斜面上有A，B，C三点，现从这三点
分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小θ球均落在斜面上的D点，今测得AB＝BC
＝CD，不计空气阻力，由此可以判断（ ）
A．从A，B，C处抛出的三个小球运动时间之比为3：2：1
B．从A，B，C处抛出的三个小球的初速度大小相等
C．从A，B，C处抛出的三个小球的初速度大小之比为
D．从A，B，C处抛出的三个小球落在斜面上时速度与斜面的夹角正切值之比为
【答案】C。
【解析】解：A、三球下降的高度之比为3：2：1，根据t＝ 知，A、B、C处的三
个小球运动时间之比为 ，故A错误。
BC、三个小球的水平位移之比为 3：2：1，根据 x＝v t 知，初速度之比为
0
．故B错误，C正确。
D、从A、B、C处抛出的三个小球距斜面最远时速度方向和斜面平行，速度方向与水平
方向夹角等于斜面的倾角，所以速度方向与水平方向夹角的正切值之比为1：1：1，故
D错误；
2
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2
学科网（北京）股份有限公司14．（2022•渝北区校级模拟）如图所示，将一小球从A点以某一初速度水平抛出，小球
恰好落到斜面底端B点，若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度
水平抛出，小球落在斜面上的D点，A、B、C、D在同一竖直面上。则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解析】解：如图，
设AB之间高度差为h，CD之间高度差为h'， ， ，
代入数据解得， ， ，
斜面倾角的正切值 ，
代入数据解得， ，
所以 ，故B正确，ACD错误。
15．（2022春•岳麓区校级月考）如图所示，竖直平面有一半径为 R的圆，圆心O 为
1
（R，0），半径O A与x轴正半轴成角 ＝60°。不计空气阻力，下列说法正确的是（
1
） θ
2
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3
学科网（北京）股份有限公司A．从O点以某一速度v 将一小球向x轴正方向抛出，小球有可能垂直击中圆周
0
B．从O点下方某点以速度v 将一小球向x轴正方向抛出，小球有可能垂直击中圆周
0
C．从 处将小球以某一速度向x轴正方向抛出，小球有可能垂直击中圆周上A
点
D．从 处将小球以某一速度向x轴正方向抛出，小球有可能垂直击中圆周
上A点
【答案】C。
【解析】解：A、根据平抛运动的规律可知，小球打在圆上时，速度的反向延长线过水
平位移中点，如果从O点以某一速度v 将一小球向x轴正方向抛出，小球垂直击中圆周，
0
则速度方向方向延长线过圆心，而圆心不是水平位移的中点，故A错误；
B、同理可证，从O点下方某点以速度v 将一小球向x轴正方向抛出，小球不可能垂直
0
击中圆周，故B错误；
2
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4
学科网（北京）股份有限公司C、从x轴上P 处将小球以某一速度向x轴正方向抛出，P与O的水平位移为
R；
过A做AA 垂直于x轴，如图所示，根据几何关系可得：O A ＝Rcos ，解得O A ＝
1 1 1 1 1
R，所以O 点为PA 的中点，从P处将小球以某一速度向x轴正方向抛θ出，小球有可能
1 1
垂直击中圆周上A点，故C正确；
D、若抛出点M在O点以上，也有可能垂直击中圆周上A点，如图所示；由几何关系可
得M点的坐标为（0， ），故D错误。
16．（2022•谷城县校级四模）从高H处的一点O先后平抛两个小球1和2，球1恰好直接
越过竖直挡A落到水平地面上的B点，球2与地碰撞n次后恰好越过同一竖直挡板后也
落于B点。设球2与地面的碰撞类似光的反射，且反弹前后速度大小相同。则竖直挡板
的高度h为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解析】解：如图所示，设球1的初速度为v ，球2的初速度为v ，设2平抛第一次运
1 2
动的水平位移为x ，由几何关系和对称性可知1的水平位移为x＝（2n+1）x 。
0 0
球1从O点飞到B点的运动时间为：t＝ ，球1从O点飞到B点在水平方向有：v t
1
2
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5
学科网（北京）股份有限公司＝（2n+1）x ①
0
由对称性可知，球2从O点飞到B点时间t 是球1从O点飞到B点的运动时间t 的
2 1
（2n+1）倍，则两球在水平方向有：
v t＝v t …②
1 22
且t ＝（2n+1）t…③
2
故：v ＝（2n+1）v ，
1 2
刚好能过M点，对球1：H﹣h＝ gt′2，x ＝v t'；
NM 1
对球2：H﹣h＝ gt′2，x ＝（2n﹣1）v t+v Δt，
NM 2 2
其中Δt＝t﹣t′＝ ﹣ ，
联立以上可解得h＝ H，故A正确，BCD错误。
17．（2022•汨罗市校级模拟）如图所示是中国航天科工集团研制的一种投弹式干粉消防车。
灭火车出弹口到高楼水平距离为x，在同一位置灭火车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，
且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v ，v 与水平方向夹角
0 0
分别为 、 ，击中点离出弹口高度分别为h 、h ，空中飞行时间分别为t 。灭火弹可
1 2 1 2 1
视为质点θ，两θ 运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说
法正确的是（ ）
A．高度之比
2
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6
学科网（北京）股份有限公司B．时间之比
C．两枚灭火弹的发射角满足 + ＝90°
1 2
D．水平距离与两枚灭火弹飞行θ 时θ间满足x＝2gt
1
t
2
【答案】C。
【解析】AB.竖直方向的初速度分别为v ＝v sin
y1 0 1
v y2 ＝v 0 sin 2 θ
根据 θ
＝2gh
可得
＝
根据
v ＝gt
y
可得
＝
故AB错误；
C.水平方向x＝v cos ＝v cos
0 1 0 2
θ θ
可得
sin2 ＝sin2 ＝sin（90°﹣2 ）
1 2 2
结合θ数学关系θ可得 θ
+ ＝90°
1 2
θ故Cθ正确；
D.水平方向x＝v cos •t
0 1 1
竖直方向 θ
v sin ＝gt
0 2 2
θ
2
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7
学科网（北京）股份有限公司结合
+ ＝90°
1 2
θ可得θ
sin ＝cos
2 1
可得θ θ
x＝gt t
12
故D错误。
18．（2022春•泸县校级期中）用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆
的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方 O点，在杆的
中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M．C点与O点距离为L，现在杆的另一
端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度 转至水平（转过了90°角），此过
程下列正确的是（ ） ω
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是 L
D．重物M的速度一直增大ω
【答案】C。
【解析】解：设C点线速度方向与绳子沿线的夹角为 （锐角），由题知C点的线速度
为v
C
＝ L，该线速度在绳子方向上的分速度就为v绳 ＝θ Lcos ． 的变化规律是开始最
大（90°ω）然后逐渐变小，所以，v绳 ＝ Lcos 逐渐变大ω，直至θ绳子θ 和杆垂直， 变为零
度，绳子的速度变为最大，为 L；然后ω， 又θ逐渐增大，v绳 ＝ Lcos 逐渐变小θ，绳子
的速度变慢，所以知重物M的ω速度先增大后θ 减小，最大速度为ωL，做θ非匀变速直线运
动，故C正确，ABD错误。 ω
19．（2022•广东模拟）甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平
方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时
2
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8
学科网（北京）股份有限公司速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，
则乒乓球击打甲的球拍的速度υ 与乒乓球击打乙的球拍的速度υ 之比为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】C。
【解析】解：由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可
知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于
乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，
在甲处：v ＝v sin45°
x 1
在乙处：v ＝v sin30°
x 2
所以： ＝ ＝ ．故C正确，ABD错误
（多选）20．（2022春•泉州期中）一快艇从离岸边25m远的河流中央向岸边行驶。已知
快艇在静水中的速度图象如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示，
则（ ）
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，经过的位移为25m
D．快艇最快到达岸边，所用的时间为10s
【答案】BD。
2
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学科网（北京）股份有限公司【解析】解：AB、两分运动一个做匀加速直线运动，一个做匀速直线运动，知合加速
度的方向与合速度的方向不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故A错误、B正确；
CD、静水速垂直于河岸时，时间最短，在垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d
＝ at2得，t＝10s；
在沿河岸方向上的位移 x＝v t＝3×10m＝30m，所以最终位移 s＝ ＝
2
m＝5 m，故C错误，D正确；
21．（2021•江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮
筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（ ）
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
【答案】D。
【解析】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看做是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜
抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初
速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；
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0
学科网（北京）股份有限公司C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度
比B在最高点的速度大，故C错误；
D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故
D正确。
（多选）22．（2022•河北）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心，R
1
和R 为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管、其上端水平喷水嘴的高度、出水速
2
度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中，依次给内圈和外
圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用 h 、v 、 和h 、
1 1 1 2
v 、 表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变ω，忽略喷
2 2
水嘴ω水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若h ＝h ，则v ：v ＝R ：R
1 2 1 2 2 1
B．若v ＝v ，则h ：h ＝R 2：R 2
1 2 1 2 1 2
C．若 ＝ ，v ＝v ，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
1 2 1 2
D．若ωh
1
＝hω2 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
1
＝
2
【答案】BD。 ω ω
【解析】解：A、若h ＝h ，根据竖直方向上自由落体的运动特点可知，水的运动时间
1 2
相等，在水平方向上，x＝vt，则v ：v ＝R ：R ，故A错误；
1 2 1 2
B、若v ＝v ，根据水平方向的运动特点可知，t ：t ＝R ：R ，结合竖直方向自由落体
1 2 1 2 1 2
的公式 可知，h ：h ＝R 2：R 2，故B正确；
1 2 1 2
C、若 ＝ ，v ＝v ，喷水嘴各转动一周，因为旋转的时间相同，则喷出的水量相等，
1 2 1 2
但因为ω外圈的ω花盆数量比内圈数量多，则落入每个花盆的水量不相同，故C错误；
D、根据上述分析可知，若h ＝h ，则v ：v ＝R ：R ，因为内圈花盆的数量和外圈花
1 2 1 2 1 2
盆的数量也是R ：R ，为了保证落入每个花盆的水量相同，则喷水的时间要相等，因为
1 2
＝ ，故D正确；
1 2
ω ω
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学科网（北京）股份有限公司23．（2021•山东）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，
利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量 m＝0.1kg的鸟蛤，在H＝20m的高度、
以v ＝15m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝
0
10m/s2，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间△t＝0.005s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到
的平均作用力的大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度 L＝6m的岩石，以岩石
左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为 20m，速度大小在
15m/s～17m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
【答案】（1）碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小为500N；
（2）为保证鸟蛤一定能落到岩石上，释放鸟蛤位置的x坐标范围为（34m，36m）。
【解析】解：（1）设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v．竖直方向
分速度大小为v ，
y
根据速度﹣位移关系可得：v 2＝2gH，解得：v ＝20m/s
y y
根据运动的合成与分解得： ，解得：v＝25m/s
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得：﹣F△t
＝0﹣mv
解得：F＝500N；
（2）若释放鸟蛤的初速度为v ＝15m/s，设击中岩石左端时，释放点的坐标为x ，击中
1 1
右端时，释放点的x坐标为x ，
2
鸟蛤下落的时间为t，则有：H＝ ，解得：t＝2s
根据平抛运动的规律可得：x ＝v t＝15×2m＝30m
1 1
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学科网（北京）股份有限公司根据几何关系可得：x ＝x +L＝30m+6m＝36m
2 1
若释放鸟蛤时的初速度为v ＝17m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x ′，击
2 1
中右端时，释放点的x坐标为x ′，
2
根据平抛运动的规律可得x ′＝v t＝17×2m＝34m
1 2
根据几何关系可得：x ′＝x ′+L＝34m+6m＝40m
2 1
综上得x坐标交集的区间为（34m，36m）。
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