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11.1.2 不等式的性质 分层作业
基础训练
1．（2024•上海）如果x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+5，则A不符合题意；
如果x＞y，两边同时减去5得x﹣5＞y﹣5，则B不符合题意；
如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y，则C符合题意；
如果x＞y，两边同时乘﹣5得﹣5x＜﹣5y，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
1 1 1
A．a＜0 B．a＜ C．a＜− D．a＞−
2 2 2
【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需
把（2a﹣1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向
已改变，说明运用的是不等式的性质 3，运用性质3的前提是两边都乘以（或除以）同一个负数，从
而求出a的范围．
【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，
∴不等式变号，
∴2a﹣1＜0，
1
∴a＜ ．
2
故选：B．
【点评】含有字母系数的不等式是近年来中考的热点问题，解题的关键是根据原不等式和给出的解集
的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，它是正确解一元一次不等式的
基础．
3．若a＞b，且c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．a2＞b2 B．c﹣a＞c﹣b
C．ac＞bc D．a（c2+1）＞b（c2+1）【分析】根据不等式的性质逐项求解即可.
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a2＞b2或a2＜b2或a2＝b2，原选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴c﹣a＜c﹣b，原选项不符合题意；
C、∵a＞b，
∴ac＞bc或ac＝bc或ac＜bc，原选项不符合题意；
D、∵a＞b，c2+1＞0，
∴a（c2+1）＞b（c2+1），原选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不
等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都
乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，你换一种广告语言可以是（ ）
A．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≥0.5%”
B．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＞0.5%”
C．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＜0.5%”
D．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≤0.5%”
【分析】根据“蛋白质含量至少2克”得出蛋白质含量至少占这罐饮料的百分比，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为这罐饮料净重400克，且蛋白质含量至少2克，
所以2÷400＝0.5%，
则蛋白质含量至少占0.5%，
所以只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题桌考查了不等式的定义，熟知“至少”与“≥”之间的对应关系是解题的关键．
5.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该
车道车型的最高通行车速（单位：km/h），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：km/h）．王
师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为v km/h，则车速v的范围是（ ）A．90≤v≤100 B．80≤v≤100 C．60≤v≤100 D．60≤v≤80
【分析】由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧两车道标牌上速度，
即可得出车速v的范围．
【解答】解：∵王师傅驾驶的车辆是货车，
∴王师傅应走右侧两车道，
∴车速v的范围是60≤v≤100．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据王师傅所驾车型，找出车速v的范围是解题的关键．
6．若a＜0，a+b＞0，则三个数a，b，a+b中最大的数是（ ）
A．a B．b C．a+b D．无法确定
【分析】根据不等式的性质1，由a＜0得到a+b＜b，然后利用a+b＞0可判断三个数a，b，a+b中最
大的数．
【解答】解：∵a＜0，
∴a+b＜b，
∵a+b＞0，
∴a＜a+b＜b，
即三个数a，b，a+b中最大的数是b．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．
7．用“＜”或“＞”填空：若a＜b，则﹣2a+1 ＞ ﹣2b+1．
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b．
∴﹣2a+1＞﹣2b+1．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这
个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．8．（2024•广西）不等式7x+5＜5x+1的解集为 x ＜﹣ 2 ．
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：7x+5＜5x+1，
7x﹣5x＜1﹣5，
2x＜﹣4，
x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】熟练运用不等式的性质是解题的关键．
9．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数
轴上如图表示，则k的值是 ﹣ 5 ．
【分析】根据新定义运算得出关于x的不等式，求出关于x的不等式的解集，再根据数轴上表示不等
式解集得出含有k的方程，求解即可．
【解答】解：由新定义运算的定义可知，关于x的不等式x▲k≥2，即3x﹣k≥2，
k+2
解得x≥ ，
3
由在数轴上表示的不等式解集可知，这个不等式的解集为x≥﹣1，
k+2
所以 =−1，
3
解得k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，实数的运算以及整式的加减，掌握在数轴上表示不等
式解集的方法以及解一元一次不等式是正确解答的前提．
10．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
2
（1）− x＜−2； （2）10x＞7x+1．
3
2 2
【分析】（1）根据不等式的性质，将− x＜−2的两边同时除以− 即可；
3 3
（2）首先根据不等式的性质，将10x＞7x+1的两边同时减去7x，然后两边再同时除以3即可．
2
【解答】解：（1）∵− x＜−2，
32 2 2
∴− x÷（− ）＞﹣2÷（− ），
3 3 3
∴x＞3．
（2）∵10x＞7x+1，
∴10x﹣7x＞7x﹣7x+1，
∴3x＞1，
∴3x÷3＞1÷3，
1
即x＞ ．
3
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
x−1
11．（2024•连云港）解不等式： ＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．
2
【分析】根据不等式的性质进行计算．
x−1
【解答】解： ＜x+1，
2
x﹣1＜2（x+1），
x﹣1＜2x+2，
x﹣2x＜2+1，
﹣x＜3，
x＞﹣3．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解不等式，要注意在不等式两边都除以一个负数时，要改变不等号的方向．
能力提升
x
12．关于x的不等式m− ≤1﹣x有正数解，m的值可以是 0 （答案不唯一） （写出一个即可）．
2
【分析】解含m的不等式，根据题意求得m的取值范围，然后写出一个符合题意的m的值即可．
1
【解答】解：原不等式整理得： x≤1﹣m，
2解得：x≤2﹣2m，
∵原不等式有正数解，
∴2﹣2m＞0，
解得：m＜1，
则m的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查解不等式，结合已知条件求得m的范围是解题的关键．
13．关于x，y的二元一次方程2y＝x+1的解满足x﹣y≤2，则x的最大值是 5 ．
x+1
【分析】根据2y＝x+1和x﹣y≤2，可得关于x的不等式x− ≤2，解不等式即可得出答案．
2
【解答】解：∵2y＝x+1，
x+1
∴y= ，
2
∵x﹣y≤2，
x+1
∴x− ≤2，
2
解得x≤5，
∴x的最大值是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解不等式，二元一次方程的解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
14．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若 a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b
＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法
解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用 4块A型钢板，8块B型钢板；方案
二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积
记为S ，方案二总面积记为S ，则S ＜ S （填“＞，＜或＝”）．
1 2 1 2
【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B
型钢板，用式子表示为：s ＝4x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s
1 2
＝3x+9y，用s 减去s ，结果与0比较即可；
1 2
【解答】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，
方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s ＝4x+8y；
1
方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s ＝3x+9y，
2
∵s ﹣s
1 2＝4x+8y﹣3x﹣9y
＝x﹣y，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴s ＜s ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简
即可．本题难度中等略大．
15．赵军说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以 a，就会出现2＞3这样的错
误结论．你同意他的说法对吗？若同意说明其依据，若不同意说出错误的原因．
【分析】根据不等式的性质2和3，不等式的两边都除以一个数时要考虑这个数是正数还是负数判
断．
【解答】解：他的说法不对．
∵a的值不确定，
∴解题时对这个不等式两边不能同时除以a，
若2a＞3a，
则2a﹣3a＞0，
﹣a＞0，
则a＜0．
所以，赵军错误的原因是两边除以a时不等号的方向没有改变．
【点评】本题考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数
不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
16．我们把符号“
|a)b)
”称为二阶行列式，规定它的运算法则为
|a)b)=ad−bc，例如，
c d c d
|2)3)=2×5−3×4=−2．
4 5
|2)3−x)
（1）求不等式 ＞0的解集；
1 x
|n)x)
（2）若关于x的不等式 ＜0的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围．
2 1
【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可；n n
（2）根据题意解出x＞ ，再根据条件列出 ≥1，解出n的取值范围即可．
2 2
【解答】解：（1）根据题意得式
|2 3−x)=2x−1×(3−x)＞0，
1 x
解不等式得：x＞1；
|n x)
（2）∵ ＜0，
2 1
即n﹣2x＜0，
n
∴x＞ ，
2
|n x)
∵关于x的不等式 ＜0的解都是（1）中的不等式的解，
2 1
n
∴ ≥1，
2
∴n≥2．
【点评】本题考查了解不等式，熟练掌握不等式的解法是关键．
拔高拓展
{ x，x＞0 ) |x| x |x| −x
17．阅读下列材料：|x|= 0，x=0 ，即当x＞0时， = =1，当x＜0时， = =−1，
x x x x
−x，x＜0
运用以上结论解决下面问题：
b
（1）当 ＜0时，若b＜0，|a|＜|b|，则a+b ＜ 0；
a
a
（2）当abc＞0时，若 ＞0，则b ＞ 0；
c
|a| |b| |c|
（3）已知a，b，c是非零有理数，则− − − = ± 3 或 ± 1 ；
a b c
（4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程）
【分析】（1）根据有理数的除法法则和加法法则即可确定；
（2）根据有理数的乘除法法则即可确定；
（3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，
当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可；
（4）a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论分别计算a+b的值即可．b
【解答】（1）解：∵ ＜0，b＜0，
a
∴a＞0，
又∵|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
故答案为：＜；
a
（2）解：∵ ＞0，
c
∴a，c同号，
∴ac＞0，
∵abc＞0，
∴b＞0，
故答案为：＞；
（3）解：分以下四种情况：
当a、b、c均为正数时，
|a| |b| |c| a b c
∴− − − =− − − =−1−1−1=−3；
a b c a b c
当a、b、c均为负数时，
|a| |b| |c| −a −b −c
∴− − − =− − − =1+1+1=3；
a b c a b c
当a、b、c中有两个正数一个负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，
|a| |b| |c| |a| |b| |c| a b c
∴− − − =−( + + )=−( + + )=−(1+1−1)=−1；
a b c a b c a b −c
当a、b、c中有一个正数两个负数时，
设a＞0，b＜0，c＜0，
|a| |b| |c| |a| |b| |c| a b c
∴− − − =−( + + )=−( + + )=−(1−1−1)=1；
a b c a b c a −b −c
|a| |b| |c|
综上所述，− − − 的值为±3或±1，
a b c
故答案为：±3或±1；
（4）解：∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，
∴分以下四种情况，
当a＝1，b＝0时，有a+b＝1+0＝1；当a＝0，b＝1时，有a+b＝0+1＝1；
当a＝﹣1，b＝0时，有a+b＝﹣1+0＝﹣1；
当a＝0，b＝﹣1时，有a+b＝0+（﹣1）＝﹣1，
综上所述，a+b的值为±1．
【点评】本题考查了有理数的乘除法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键．
