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14.2.2 完全平方公式
夯实基础篇
一、单选题：
1．计算： ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式＝y2﹣y+ ，
故答案为：A．
【分析】将式子利用完全平方公式进行展开即可得到答案。
2．利用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对A，C，D作出判断；再利用平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2，可对B作出判断.
3．如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可
以验证的公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由阴影部分的面积可得：
如图，把4个小正方形平移到组成1个边长为 的正方形，
阴影部分的面积为：
所以
故答案为：C.
【分析】由阴影部分的面积可得a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2，把4个小正方形平移可组成1个边长为a-b
的正方形，根据正方形的面积公式可得阴影部分的面积，据此解答.
4．对于任整数n，多项式（4n+5） -9都能（ ）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；提公因式法因式分解；因式分解的应用
【解析】解答：（4n+5） -9= 16n + 40n + 25 - 9 = 16n + 40n + 16 = 8(2n + 5n + 2) 因为 n
是整数 所以 2n + 5n + 2 也是整数 所以 8(2n + 5n + 2)一定能被8整除，所以 (4n + 5) - 9
一定能被8整除.
分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
故选C.
5．若m+n=7，mn=12，则m2-mn+n2的值是（ ）
A．11 B．13 C．37 D．61
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=m2+2mn+n2-3mn=（m+n）2-3mn=49-36=13.
故答案为：B。
【分析】将原式进行变形，构造完全平方公式，将m+n的值以及mn的值代入求值即可
6．如果 是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．-7 C．-5或7 D．-5或5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式，
∴（m-1）x=±2•x•3，
∴m-1=±6，
∴m=-5或7，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方式的含义，即可得到m的值。
7．已知a﹣b=10，ab=5，则a2+b2的值为（ ）
A．95 B．110 C．90 D．105
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用【解析】【解答】解：∵a﹣b=10，ab=5，
∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=102+2×5=110，
故选B．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
8．若 , ,则ab的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a2＋b2＝5，a－b＝3，
∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab，即9＝5－2ab，
解得：ab＝-2.
故答案为：D.
【分析】 解答本题的关键是熟练掌握公式的特征及整体代入的数学思想.
把a-b＝3 ，a2+b2＝5 代入(a﹣b)2＝a2+b2﹣2ab，得9＝5－2ab ，即可求出ab的值．
二、填空题：
9．计算 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab=b2”计算即可求解.
10．计算：（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1）= ．
【答案】4x+5
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】原式=
== .
故答案为： .
【分析】先用“完全平方公式和平方差公式”进行计算，再合并同类项即可.
11．若a2+2a=1，则（a+1）2= ．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（a+1）2= a2+2a+1=1+1=2.故填：2
【分析】利用完全平方公式计算得出．
12．若a2+ab+b2+M=（a﹣b）2，那么M= ．
【答案】﹣3ab
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+ab+b2+M=（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∴M=﹣3ab．
故答案为：﹣3ab．
【分析】直接利用完全平方公式将原式展开进而求出M的值．
13．已知 是完全平方式，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 是完全平方式，
∴-m=±2×2×3=±12，
∴m=±12．
故答案为：
【分析】利用完全平方式求出-m=±2×2×3=±12，再求出m的值即可。
14．已知： ，则 ，xy＝ ．
【答案】9；4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ，∴
∴
故答案为：9，4
【分析】利用完全平方公式将已知等式化为 ，利用①-②可求
出 的值，利用①＋②可求出 的值.
15．已知a+b=5,ab=4,则2a2+2b2= 。
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】首先利用 ，得出 ，进而得出 ，进而得出答案．
16． ，则 。
【答案】21
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（a+b）2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=（a-b）2+4ab，
将a-b=3，ab=3代入得原式=32+12=21.
【分析】先根据完全平方公式先将原式展开，再结合完全平方公式化成含有已知式子的形式为（a-
b）2+4ab，然后将已知式子的值整体代入计算.
三、解答题：
17．计算：
(1) (2)
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：原式=
=
=0
18．化简： ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式及平方差公式进行求解即可．
【详解】解：原式=
= ．
【点睛】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
19．先化简，再求值 ， 其中
【答案】 ，－4
【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式，合并同类项化简括号内的，然后根据多项式除以单项式
进行化简，最后将字母的值代入计算即可求解．【详解】解：原式
当 时，原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
20．已知 +x-2022＝0，将下式先化简，再求值：（2x+3）（2x-3）-x（5x+4）﹣
【答案】﹣2（ +x）﹣10，-4054
【分析】先将已知 +x-2022＝0变形为 +x＝2022，然后根据整混合运算法则化简整，最后整代入计算
即可．
【详解】解：∵ +x﹣2022＝0，
∴ +x＝2022，
∴（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣
＝4 ﹣9﹣5 ﹣4x﹣ +2x﹣1
＝﹣2 ﹣2x﹣10
∵ +x-2022＝0，
∴ +x＝2022，
∴原式＝﹣2（ +x）﹣10
＝-4054．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整运算法则，平方差与完全平方公是解题的关键，注意整体思
想的运用．
21．已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式得到 ＝ ，然后整体代入即可；
（2）利用完全平方公式得到 ＝ ，然后整体代入即可；
（3）根据多项式乘以多项式运算法则将原式进行计算，代入即可．
（1）
解：原式＝
＝
＝
＝ ；
（2）
原式＝
＝
＝
＝ ；
（3）
原式＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式以及相关变形，结
合整体代入的思想解题是解本题得关键．
能力提升篇一、单选题:
1．关于 的多项式 的最小值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原式＝
∵ ， ，
∴原式≥－1，
∴原式的最小值为－1，
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可.
2．已知 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
即
∴ =7，故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的恒等变形，由 = 即可算出答案.
二、填空题:
3．已知 ， ，则 .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，
∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，
①-②得：2ab=-2，即ab=-1，
则原式=a2+b2+2ab=8-2=6，
故答案为：6.
【分析】由于a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，利用①+②求出a2+b2=8，利用①-②可求出ab=-1，由于
(a+b)2=a2+b2+2ab，然后代入计算即可.
4．已知 ， ， 为 的三边长，且 ，其中 是 中
最短的边长，且 为整数，则 ．
【答案】3或4
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次幂的非负性
【解析】【解答】∵a2+b2=8a+12b-52
∴a2-8a+16+b2-12b+36=0
∴（a-4）2+（b-6）2=0
∴a=4，b=6
∴6-4＜c＜6+4
即 2＜c＜10，
且c≤4．
∴整数c可取3或4．
故答案为：3或4．
【分析】由a2+b2=8a+12b-52，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们
之和，则b-a＜c＜a+b，即可得到答案．5． ，则 的值为
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，即 =7.
【分析】将已知等式两边除以a变形求值即可.
三、解答题:
6．试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：
方法（一）：____________；
方法（二）：____________；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：____________；
利用你发现的结论，解决下列问题：
如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a＋b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
【答案】 ， ； ；27
【分析】方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积 两个小长方形面积；进而由题意可直接得到；
然后由阴影部分面积 正方形边长为 的面积 正方形为 的面积-2个三角形的面积，可求阴影部分的面
积．
【详解】解：由题意可得：
方法 ，方法 ，
故答案为： ， ；
，
故答案为： ；
阴影部分的面积
，
阴影部分的面积
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是用代数式表示图形的面积．
7．阅读材料：若 ，求m，n的值．
解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知： ，求 的值；
(2)已知： 的三边长a，b，c都是正整数，且满足： ，求 的最大边c
的值；(3)已知： ，则 ________．
【答案】(1)1
(2)9或10或11或12或13
(3)5
【分析】（1）已知 ，应用配方法得到 ，再结合非负数的性质
求出x、y的值，进而得到2x+y的值；
（2）已知 ，应用配方法得到 ，再结合非负数的性质求出a、
b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出 ABC的最大边c的值；
△
（3）把 变形为 代入 ，再应用配方得
，求得 ，再代入 可求出结果．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+y=0，且y+1=0，
∴x=-y，y=-1，
∴x=1，
当x=1，y=-1时，2x+y=2-1=1；
（2）
解：∵
∴
∴
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
又∵a，b，c都是正整数，
∴△ABC的最大边c的值为9或10或11或12或13．
（3）
解：∵
∴
代入 得：
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是配方法的应用及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
