文档内容
15.1.2 分式的基本性质
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝ ＝x+y，不符合题意；
C、原式＝ ＝ ，不符合题意；
D、原式＝ ＝ ，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，据此判断即可.
2．等式 中的未知的分母是( )
A．a2+1 B．a2+a+1 C．a2+2a+1 D．a-1
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】解答: 根据分式的基本性质,分子a2+2a+1 a+1，分母也应a2-1 a-1.
分析: 分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示是： （ ）3．分式 和 的最简公分母( )
A．(a2-1)(a2-a) B．a(a2-1)
C．(a2-a) D．a(a2-1)(a-1)
【答案】B
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵a2-1=（a+1）（a-1），a2-a=a（a-1），
∴ 最简公分母是a（a+1）（a-1）=a（a2-1）.
故答案为：B.
【分析】先把分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式
的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，即可得出答案.
4．根据分式的基本性质，分式 可以变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质对各项进行变形，看能否得到 即可.
5．下列变形正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A选项，原式=- ，选项错误，不符合题意；
B选项，原式= ，选项错误，不符合题意；
C选项，原式= ，选项错误，不符合题意；
D选项，原式= ，选项正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据分式的性质，分式的分子和分母同时乘或者除以同一个不为0的数，分式的值不变，进
行判断即可。
6．不改变分式的值，使分式 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）
A．10 B．9 C．45 D．90
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要
乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90．
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不
变，据此即可解答。
7．不改变分式 的值，使分子、分母的最高次项的系数都为正，正确的变形是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
=
∴不改变分式 的值，使分子、分母的最高次项的系数都为正，正确的变形是
．
故答案为：C．
【分析】利用分式的基本性质进行计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母
同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
二、填空题：
8．下列分式① ② ③ ④ ⑤ 中，最简分式有 （填正确答案的序
号）．
【答案】①③
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴②④⑤不是最简分式，
①③不能再化简，是最简分式．故答案为：①③．
【分析】根据最简分式的的定义逐项判断即可。
9．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：
（1） ；
（2） = ．
【答案】（1）a2+ab
（2）x
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
即括号内的整数为a2+ab
（ 2 ）
即括号内的整数为x
【分析】（1）观察等式的左右两边的分母，可得出将分子分母同时乘以a，可解答。
（2）将等式左右边两边的分子分母分解因式，再观察等式右边的分母，可知将分子分母同时除以
（x+y），即可解答。
10．分式 的最简公分母是
【答案】12x3yz
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：根据分式 的分母分别是：xy，4x3，6xyz，可得它们的最简
公分母为12x3yz.
故答案为：12x3yz.
【分析】观察这三个分式的分母，都是单项式，最简公分母的求法：取各个分母系数的最小公倍数，分母中不同的字母取最高次幂，再把它们相乘，即可求解。
11．约分： .
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据分式的基本性质约分即可.
12．化简 = .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】分母a2-4a+4=(a-2)2=(2-a)2，再约分，即
【分析】本题注意将分母先进行因式分解
13．将分式 的分子和分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式
是 。
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质得： .【分析】根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以10，再进行计算，即可得出答案.
14．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则 ＝
．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
三、解答题：
15．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解： =-
（2）解： =（3）解： =
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质可知：分式的分子、分母、分式本身，同时改变其中两处
的符号，分式的值不变，据此解答即可；
（2）根据分式的基本性质可知：分式的分子、分母、分式本身，同时改变其中两处的符号，分式的
值不变，据此解答即可；
（3）根据分式的基本性质可知：分式的分子、分母、分式本身，同时改变其中两处的符号，分式的
值不变，据此解答即可。
16．若 成立，求a的取值范围.
【答案】a≠3.
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】等式的左边可变为 ，从左边到右边是利用分式的基本性质，分子和
分母都除以a-3，所以要保证a-3≠0，即a≠3.
【分析】本题除了考查分式的基本性质外，还注重了考查分式的值不为0的条件。
17．直接写出下列各组分式的最简公分母：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1）解： ， ， 的最简公分母是6x
（2）解： ， ， 的最简公分母是abc
（3）解： 的最简公分母是12x3yz2
（4）解： 的最简公分母是（1﹣a）3
【知识点】最简公分母
【解析】【分析】（1）确定系数的最小公倍数与x的乘积可得最简公分母；
（2）确定不同字母的乘积可得最简公分母；
（3）确定系数的最小公倍数，相同字母的指数最高的项，所以不同的因式的乘积可得结果；
（4）转化形式为同一的1-a，然后确定最简公分母即可.
18．约分
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）解：
＝
＝ ；（2）解：
＝
＝m；
（3）解：
＝
＝ ．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【分析】（1）约去分子分母的公因式即可；
（2）将分子进行因式分解，约去公因式即可；
（3）先将分子分母分解因式，再约掉分子分母的公因式即可。
19．通分： ， ， ．
【答案】解:因为它们的最简公分母是 ,
所以,
,
,
.
【知识点】因式分解的应用；分式的通分【解析】【分析】将各个分式的分母分别分解因式，找出其 最简公分母是 , 然后根
据分式的性质，第一个分式的分子分母分别乘以3（x+3）,第二个分式的分子分母分别乘以3
（x-3），第三个分式的分子分母分别乘以（x-3）(x+3).
20．从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的
分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 或
当取①③时
∴结果为 或
当取②③时
∴结果为 或
∴化简结果为整式的分为为： 和
∴化简的结果为： ，
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） ， ，
∵要从① ，② ，③ 任选两个分别作为分子和分母∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
能力提升篇
一、单选题：
1．下列各组的分式不一定相等的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】A. ,符合题意；
B. = ，不符合题意；
C. = ，不符合题意；
D. = 不符合题意；
故答案选A.
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可.
9．若把分式 中的 、 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．缩小3倍 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不变
【答案】B【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：分式 中的 、 都扩大为原来的3倍为：
，
所以扩大为原来的3倍，
故答案为：B.
【分析】把原分式中的a、b换成3a、3b，可得分式与原分式的关系.
3．对有理数x，下列结论中一定正确的是( )
A．分式的分子与分母同乘以|x|，分式的值不变[
B．分式的分子与分母同乘以x2，分式的值不变
C．分式的分子与分母同乘以|x+2|，分式的值不变
D．分式的分子与分母同乘以x2+1，分式的值不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】解答：因为|x|≥0,x2≥0,|x+2|≥0,x2+1≥1,所以答案为x2+1.
分析: 分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示是： （ ）
二、填空题：
4．下列式子：① ；② ；③ ；④ ，正确的有
（填上序号）.
【答案】③④
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】根据分式的基本性质：“在分式的分子、分母中同时乘以（或除以）一个不为0的
数（或整式），分式的值不变”分析可知：上述式子中，正确的是③④.
【分析】根据分式的基本性质“在分式的分子、分母中同时乘以（或除以）一个不为0的数（或整式），分式的值不变”即可判断。
5．下列分式的变形中：① （c≠0）② ＝ ，③ ④
，错误的是 .（填序号）
【答案】③④
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：③原式= ，故③错误；
④原式= ，故④错误；
故答案为：③④.
【分析】 ①由分式的分子和分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变 ，可知①正确；
②左边分式的分子和分母同时除以 ,可得右边等于-1，由分式的基本性质可知②正确；
③ 左边分式的分子和分母同时乘以10不等于右边分式，由分式的基本性质可知③错误；
④ 左边分式的分子与右边分式的分子互为相反数，分母相等，故变形后应加一负号，故④ 错误,
综上可得分式的变形中错误的序号.
6．当1＜x＜2，化简 + 的值是 ．
【答案】-2
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：因为1＜x＜2，
所以 + = ，
故答案为：﹣2
【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果．三、解答题：
7．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含
有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数
小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真
分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ；
，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为 ，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
